Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Отождествим группу весов Р с произведением групп Р()гг) и снабдим каждую группу Р(111) отношением порядка. определенным базисом В! В П )г1. а) Пусть ы=(ы,.), — элемент множества Рьь Ц Р++(В1). Пока' !му !ы1 зать, что простой Я-модуль Е (ы) нзоморфеи теизорному произведению простых К,.-модулей Е(в,.) б) Пусть лу (соотв..171) — множество элементов из множества Рте (соотв. множества Р++ ()71)), которые обладают эквивалентными свойствамн (!), (И), (!!!) и (!У) из предложений 6 и 7. Показать, что ай = Ц Мг, иначе гы1 говоря, что ыщлг тогда и только тогда, когда для каждого 1щу вес ы — нли нуль, или микровес системы корней Е.. Вывести отсюда, что 1 М вЂ” множество представителей в группе Р элементов из группы Р!О.
в) Пусть Š— простой О-модуль, а уп — множество его весов. Показать, что множество аэ содержит единственный элемент из Х, причем его кратность равна максимуму кратностей элементов аа. 3) а) Пусть Е есть 2-модуль. Показать эквивалентность следующих условий: (!) Ранг полупрямого произведения алгебры Лн О на Е строго больше ранга алгебры Ли й. (И) Π— вес модуля Е. (!И) У модуля Е имеется радикальный вес (т е. вес, принадлежащий группе 17) б) Предположим, что модуль Е прост. Показать, что условия (!), (И), ((П) энвнвалеитны такому условию: (га) Старший вес модуля Š— радикальный вес. Если эти условия выполнены, то па пространстве Е не существует никакой знакопеременной инвариаитной билинейной формы, отличной от нуля.
(Воспользоваться предложением 12 и предложением 1 (!!) нз $6.) 1О Бурбаки 294 ГЛ. УП!. РАСЩЕПЛЕН>1ЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ зт 4) ПУсть й' — РасшиРение полЯ Ь и 8' 8(а,1. Показать, что каждый й'-модуль получается расширением поля скалярои из некоторого й-модуля, определенного однозначно с точностью до изоморфизма б) Пусть Е есть й.модуль Показать эквивалентность следующих условий: (!) Модуль Е точен (т. е.
каноническое отображение алгебры Ли 8 в 91 (Е) ииъещ явно). (И) Каждый корень алгебры Ли й представляется в виде разности двух весов модуля Е. Ч( 6) Пусть ф — инволютивный автоморфизм алгебры Лн 8, ограничение которого на подалгебру Картана 1) равно — Уй Показать, что если Е есть й.модуль, то иа Е существует такая невырожденная симметрическая билинейная форма Ч, что Чг(х.а,Ы+Ч(а,ф(х).Ь) О, где хай, а, ЬщЕ (Свести к случаю, когда модуль Е прост Показать, что модуль получаюпгийси из Е под действием автоморфизма ф, изоморфен модулю Е', дуальчому к модулю Е, откуда следует существование невырожденной билинейной формы Ч', удонлетаоряющей приведенному выше условию. Показать затем, что если з — примитивный вектор пространства Е, то Ч'(е, е) Ф О.
Вывести отсюда, что Ч' — симметрическая форма,) 7) Если Азы Р++, то обозначим через р: 0(8)-ьЕпб(Е(Л)) представление, определенное простым 8-модулем Е(Л). Имеет место равенство 1п1 (р ) Еп<$ (Е(Л)); положим ш =Кег(р ). а) Показать, что идеалы тп попарно различны и что это единственные двусторонние идеалы тп алгебры У(йй такие, что 0(й)/ш — простая.конечномерная Ь-алгебра.
б) Если / — конечное подмножество множества Рее, то положим п! г П шаг Показать, что каноническое отображение 0 (8)/ш -и П У(8)/!и— Хм/ Ают изоморфизм и что каждый двусторонний идеал алгебры У(8) конечной коразмерности имеет внд ш и этот вид определен однозначно. в) Показать, что главный аитнавтоморфизм алгебры У(8) переводит ш в тпх„гле Л' = — юсй (см. предложение 11). Ч) 8) Пусть 8 — полупростая алгебра Ли (в виде исключения в этом упражнении мы не предполагаем, что алгебра Лн 8 расщеплиемая). Пусть й — алгебраическое замыкание поля Ь и я: Са! (Ь/Ь)-РАп((/7, Е) — гомоморфизм, определенный в в б, упражнение 8.
С помощью гомоморфнзма и мы определяем действие группы Са! (Ь/Ь] на множестве Р++ доминантных весов системы А' относительно базиса В; пусть И вЂ” система представителей элементов фактормножества Рь+/бл! (Й/Ь). а) Положим й = й За 8. Тогда если / — конечное подмножество множества Р+ь, устойчивое относительно группы Са! (Ь/йй то двусторонний идеал ш алгебры 0(8), ассоциированный с множеством / (см. упражнение 7), имеет вид й !х) ш, где ш — двусторонний идеал алгебры 0(6). Показать, что мы получаем таким образом точно по одному разу все двусторонние идеалы алгебры У(8) конечной кораэмерности.
УПРАЖНЕНИЯ б) Пусть ыщЯ, /(ы) — орбита этого веса ы под действием группы Оа! (й/й) н Он — его стационарная подгруппа. Пусть йм — подрасширение расширения Й, соответствующее, согласно теории Галуа, группе би. Показать, что (/(9)/шг!н! — простая алгебра, центр которой изоморфен полю йн, Каждый такой двусторонний идеал ш алгебры (/(9), что (/(9)/ш — простая конечномерная алгебра, совпадает с одним и только одним нз идеалов ш ! в) Благодаря гомоморфнзму л группа Оа! (й/л) действует на кольце /7(9).
Обозначим через Е (9) "" подкольцо кольца Е (9), образованное элементами, инварнантными относительно группы Оа!(Й/й). Показать, что отображение [Е] ь-ь [й 8 Е] продолжается до инъектнвного гомоморфизма кольца /((9) в кольцо /7(9)' , коядро которого — группа кручения; этот гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда„ когда для любого веса ы гм О алгебра (/(9)/шг „! нзоморфна алгебре матриц над полем йи. По. казаты что это так, когда в алгебре Лн имеется подалгебра Бореля ').
9) Пусть а, и а, — алгебры Ли. Показать, что существует единственный гомоморфизм /: Е (о!) бйх Е [а,) -ь Е (а, Х аз), такой, что /([Е,](а[Ее])=[Е!(й) Е,], где Ег есть и -модуль (!=1,2), П . казать, что гомоморфнзм / инъективен и что он биективен, если а, или сз— расщепляемая полупростая алгебра Ли, 1О) Пусть à — подгруппа группы Р, содержащая группу О. Такая под- группа устойчива относительно группы Вейля (У. а) Показать, что если Лщ Р++(]Г, то все веса модуля Е(Л) прииад. лежат Г. б) ПУсть Ег (9) — подгРУппа гРУппы /! (9) с базисом, обРазованным [Л] где Лир++юГ. Если Е есть й-модуль, то [Е]гиЕР(9) тогда и тольно тогда, когда все веса модуля Е принадлежат Г. Вывести отсюда, что /(г(9)— подкольцо кольца )7 (9).
в) Показать, что гомоморфизм сйн )2г (9) -ь 2 [Г] — изоморфизм кольца Е (9) на подкольцо кольца 2[Г], образованное (Р'-инвариантными элемен- тами. (Использовать теорему 2 (П).) г) Описать кольца Е(9) н Ег(9) при 9 =91(2, /г) и Г= О. 1] 11) Сохраним обозначения п' 7.
Для любого целого т. э! обозначим через йг"' эидоморфизм кольца 2[/Г], который переводит е в е~ . Мы по- лучаем, что %" =10 и йгы йг«=Чг Пусть Е есть Ь-градуированное конечномерное векторное пространство, Для каждого «)О обозначим через а„Е (соотв. з„Е) «.ю внешнюю (сгэотн. симметрическую) степень модуля Е, снабженную естественной градуировкой, а) Показать, что «сЬ (зяЕ) = ~ йгю (с)! (Е)) с)г (зя-ыЕ) «с)з(а„Е) ~' ( — 1)~ ''р'"(с(з(Е))сй(а„- Е).
') Подробности относительно этого упражнения см. в статье: Т1!з )., ((ергйзеп!а!!опз Впеа1гез !ггйбпс!!Ыез б'цп йгоцре гебцсРЛ ьцг цп согрз йне1- сопйие, /. г(е СгеНе, ССХ(.1/И (1971), 196 — 220. 296 ГЛ. ЧП1. РАСШЕПЛЕЫНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ зт Вывести отсюда, что с)г(з»Е) н сп(а„Е) выражаются в зиле многочле- нов от ЧЯЯ»(сЬ (Е)) с рацнональнымн коэффициентами, 1гик..
яе. Например, выполняются равенства сй (я,Е) — сЬ (Е)'+ — 'Р' (сЬ (Е)), 1, 1 с(г (а,Е) — сЬ (Е)' — — Ч'Я (сЬ (Е)). 1, 1 2 2 б) Доказать следующие тождества (в алгебре формальных степенных рядов от одной переменной Т с коэффициентами из (1(А) ): ( оя Г.яя„я)' ..я( Гя.яя(яяя",.) » о т 1 т,я»я)г -,,( т ~-»"-'я" яя~яя я 1 ). » Лт 1 в) Предположим, что а — группа; зто дает возможность определить Ч"»' для любых гл ем 3, Показать, что если Е' — дуальпый градуированный модуль 1) модуля Е, то с(г (Е') Чя 1 (с(1 (ЕИ. г) С помощью гомоморфнама сЬ отождествим Е(9) с подкольцом кольца 2(Р). Показать, что кольцо Е(9) устойчиво отиоснтелвно Чяю, т яма, н что это же утверждение справедливо для подкольца ЕГ(9), определенного в предыдущем упражнении.
12) Пусть Лги Р++, и пусть !й — множество весов модуля Е(Л). Показать, что в общем случае включение яе с Л вЂ” Р++ не выполняется. (Рассмотреть, например, присоединенное представление алгебры Ли 91(3, й).) 13) ПУсть Л ~ ааа — элемент из Рч ю Обозначим чеРез 1и» пРи аяян и О, 1, ...
множество таких весов р модуля Е(Л), что вес р — Л равен сумме и элементов из В. Пусть з„— сумма кратностей элементов из гп» (рассматриваемых как весавмодулеЕ(Л)). Пусть Т 2 ~ а .Показать, что аюВ а) Т вЂ” целое число >01 б) е„ О при и > Т и з „ = з„; в) если г — целан часть Т(2, то з, (зя ( ... ~;з +ь ч( 14) пусть лги Р++, РА — наибольший собственный подмодуль мо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
