Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 62
Текст из файла (страница 62)
м О м О А Ргг подалгебры с и алгебре Лн а. Подалгебра о'(с1 редуктпвпа в О (гл. ЧП. й 1, и'5), и ее подалгебры Картапа являются полалгебрами Кэртана алгебры Лн а(гл. ЧП, э 2, и'Э). Показать, что р — параболическая подалгебра М алгебры Лп а н а — множество ннльпотентиых элементов из радикала М алгебры Ли р . (Воспользоваться тем, что алгебра Ли с содержится в под- М алгебре Картапа алгебры Ли О и, расширив поле скаляров, свести все к случаю, когда эта подалгебра расщепляющая.) б) Сохраним обозначения и предположения из п. а) и предположим, кроме того, что алгебра о расщепляема Показать, что с содержится в расщепляюшей подалгебре Картапа алгебры Ли а (Рассмотреть расщепляющую подалгебру Картава Г) алгебры Лп а, содержащуюся в алгебре Лн р .
ТаМ кнм образом, существует единственная подалгебра Картана 0' алгебры Ли аэ(с), такая, что подалгебра 1) содержится в Г)'чего . Показать, что !)'— М расшепляющая подалгебра Картана алгебры Лн и и 1)' содержит с.) 11) Пусть а = П( а — произведение конечного числа полупростых алгебр Ли. Подалгебра П алгебры Ли а является параболичсской подалгеброй (соотв, подалгеброй Бореля) тогда и только тогда, когда она имеет вид й Д 01, гле 0 — параболическая подалгебра (соотв, подалгебра Бореля) алгебры Лп а, для каждого 1. ч( 12) Пусть й' — конечное расширение поля й, о' — полупростая й'-алгебра Лн и а — соответствующая й-алгебра Лн. Г!оказать, что у алгебр Ли а и а' одинаковые параболические подалгебры (соотв. подалгебры Бореля).
(Расширить поле скаляров до алгебраического замыкания поля й и воспольноваться упражневием 11.) 13) Пусть р и 0 — две параболические подалгебры полупростой алгебры Ли а, и пусть п — ннльпотептный радикал подалгебры р. Показать, что нг (рПО)+и — параболическая подалгебра алгебры Ли а. (Снестя к случаго, когда а — расщепляемая алгебра Ли, а и — подалгебра Бореля, выбрать подалгебру Картана Г) содержащуюси в рПЯ, и определить такое подмножество Р соответствугощей системы корней, что ш «+ 9 .) и г 286 Гл. и))!. РАсшеплееыые полупРООтые АлГеиры ли У 4 !4! Воспользуемся обозкачениями нз упражнения 9 а) Пусть а ям В. Показать, что п П Кег ад уо — прямая сумма пространств 3 .
где Р пробегает чножестяо таких элементов из й+ для которых н а + () зи В ь. б) Вывести ото)ода. что если алгебра Ли и прас~а, го пентр подалгебры п равен йа, где а — наибольп)нй корень системы Вь В об)пем случае размерность центра ал)ебры Ли и равно числу простых компонент алгебры Ли 3 Алгебры Ли, рассматриваемые в этом параграфе, пе обязательно конечная)ерпы.
1) Воспользуемся обозначениями нз п'2. Пусть Х ям Й Каждому корню а се В поставим в соответствие такие эндоморфизмы Х, Н, Хп векторл л л ного пространства Е, что Х'п(ао ..., а )=(а ап ..., а ), л и'. ! ° , ", .) — (я ( ) — Х ! „ )) ), Ы ! В:ктор Х (а... „а„) онределяетсп индукцией по и с помощью формулы л Хп (аг ... а ) =(Х „Хо ба а! а) (гяз' ''" ап)' где 鄄— символ Кропексра, условимся. что если (а, ..., а„) — пустой набор, то вектор Хо (а, .... а„) ранен пулю.
л Показать что утверждения лемм! и 2 оста)отся справедливыми для этих эндоморфизмов. Мы получаем. таким образоя), представление р„: а -ь 31(Е), для которого Р) (хп) — Х ' Рл (Ьп) Н, рл (х и) Х $ 2! В жпользуемся обозначениями из и'3. Предположим, что )п — идеал в алгебре Лп и. а) Пуст» а и (! — два различных элемента из В Предполо)кнм, что для достаточно большого А' элемент (ад х„! хб принадлежит нлеалу ш ПокаМ зать, что хор ш и (Применить результаты в 1, п'2, к факторалгебре и/и), снабженной подходящей структурой 61(2, й)-!!скуля.) б) Показать, что и+ Оп — наименьший идеал конечной коразмерности в алгебре Лн а.
Показать, что это также наименьший идеал, содержащий векторы (ад х„)4 хв н (ай х „)' х 3) Пусть (и, 1)) — расщепленная полупростая алгебра Ли, (г — соответствующая система корней и  — базис системы корней Й. Пусть ллл л)обого корпя а!а В (соотв любой пары (а, ()) )ж Вз! В(а) (соотв. И(а ())) — замкнутое пзляшо)кество в )г, образованное корнями ~ а (сиота, наименьшее за!)кнутов подмножество системы В, содержащее ~ а и ~ 3). Пусть 3 (а) (соотв.
й (а, ())) — производная алгебра алгебры () + йн (") (соотв Г) + 3" (о' ")), см. 3 3. а) Показ:ыь. что 3 (а) = АНоЯ йп Я 3 и; она изоморфна 61 (2, й). б) Показать, что алгебра Ли 3 (а, ()) полупроста н пора кдается подалгебрами 3 (а) и 3 (()). Ее система корней отождестплвется с )((а, ()). упрлжыгыпя в) Пусть и — алгебра Ля 1не обязательно копечиомериая). /)уст~ прп всех и щ В,'з — гомомоРфизч алгебРы Ли 9 Га) в 6 ПРедположпм, что длЯ любой паРы (а.
()) сУшествУет гомомоРфизм Гвр. 9 (а 9) ь й, котоРый пРодолжает и гомоморфпзм (ш и гомочорфизч Гр. Показать что тогда сушествует единственный сомом< р(шзм Г; Я -ь 6, который продолжает все гомо. морфизмы (я Воспользоваться предложением 4 ()).) 4) Пусть 9 — расщепляемая полупростая алгебра Ли и и — автоморфпзм поля й. Пусть йе — алгебра Ли, полученная из алгебры Лп 9 заменой паля скаляров с помощью автоморфизчз а.
Показать, что алгебра Лв йя язоморфиа алгебре Ли 9 (Воспользоваться следствием предложения 4.) б) а) Пусть 9 — простая алгебра Ля и й, — коммутант присоедяпенпого представления алгебры Ли й. Показат~, что й; — поле, ян.тяюшесся коиечпьюг расширением поля й. я что 9 — абсолютно простая й -алгебра. Наоборот.
если й, — конечное расшпреяие поля й и 9 — абсолк тио простая йыал~ебра Лп, то 9 — простая й-алгебра Лп, и коммутант ее присоединенного представления отождествляется с полем йь б) Пусть й' — расширение Галуа поля й, содержащее поле йг Показать, что 9(ь, — пРоизведение абсолютно УРостык алгебР Ли в количестве, Равном ]й,: й]. Поскольку алгебра Ли 9(х Г расщепленная, то эти алгебры Ли попарно иэоморфны (воспользоваться упражнепяеч 4). 6) Пусть А — коммутатпвиое кольцо, и пусть и есть А-алгебра Ли, определенная семейством образующих (х, д) и соотношепиями [х, [х, УЦ = О, [у.
[у. [д, х] Ц = О. Показать, что и — свободпый А-модуль с базисоч (х, д, [х, у), [у, [х, УЦ). Если А Ф, показать, что алгебра Ли и иэоморфпа алгебре Ли а+/и соответствующей системе корней типа Вз. $7) Пусть А — коммутативпое кольцо, е котором элемент 2 обратищ и пусть и есть А-алгебра Ли, определенная селгейством образующях (х, д) и соотношениями [х, [х, уЦ О, [ у, д, [д, [у, х] Ц ] = О, Показать, что и — свобадиый А-модуль с базисом (х, д, [х, д], [д, [х, УЦ, [д, [д, [х, уЦ], [х, [у, [д, [х, д]ЦЦ Когда А =й, показать, что алгебра Ли и изоморфпа алгебре Ли а+Гп, соответствующей системе корней типа Оз, 1) Индекс подгРУппы Ап1з (9) в гРУппе Ап((9) конечен. 2) Вели 9 — Рас~цеплнемаз пРостал алгебРз Ли типа О,.
д~ пли Ес то Ап(г (9) = Апг (9) 3) Пусть Г) — расшепляюшая подалгебра Картава алгебры Лв 9, б — подалгебрз Бореля расщепленной а.псбры Ли (9, ()), и = [5, Ь] и йг = ехр а4я п Тогда Лп((9) = й( . Ап((9, Г)) . йг. Пусть з зм Ап1(9) Применить предложение 10 из 5 3, п'3, к ал~ебрс Ли Дз(6), затем применить теорему 3 иэ НГ УН, $3, п'4) 288 ГЛ ЩП. РЛОШЕПЛЕНПЫЕ ПОЛУПРООГЫЕ ЛЛГГБРИ ЛИ уз 4) Пусть « — подалгебра Картана алгебры Ли 9 и з — такой элемент из группы Ац! (9, «), что зН ча Н при ясех отличных от нуля элементах Н из «Показать, что з — элемент конечного порядка (Свестн к случаю, когда « — расщепляю!цая полалгебра Картана, и выбрать такое целое число и ~1, что е (з)а=) Тогда существует такой элемент ф щ Т, что ! (ф) = за. Пусть и — эпдоморфизм. сопряженный к эндоморфизму з !».
Показать, что 1+ а+ пз+ ... + пп =О, и вывести ото~ода, что з" =1.) $ 5) а) Пусть а щ Ац1(9) п п — нильпростраиство эпдоморфизма а — 1 Показать, что следу!ошие условия эквивалентны: (!) Кег(а — 1) — подалшебра Картана алгебры Ли 9. (1!) и — подалгебРа КаРтаиа алгебРы Лн 9 и а ~ж Ац1е (9). (П!) ГВш и = гй(9) и а щ Ац!е(9) б) Предположим тепергь что поле й алгебраическн замкнуто. Пусть Ч вЂ” векторное пространство, )! — система корней в пространстве Ч, Т е группа Нош ((г(й), й*), и — целое число ~ ~1 и ҄— подгруппа группы Т образованная элементами, порядок которых делит л Пусть 5 — примитивный корень степени и из еш!ницы а поле й. Пусть для любого Н ья Р ()(Ч) ф (Н) — элемент уь-ь Ьт ! ! из группы Т . Отображение ф — гомоморфизм т (н! су группы Р()(У) на группу Т„, ядро которого равно иР()сх) Пусть (щ Т„ и С вЂ” альков в пространстве Р()тч) ® (1 Тогда существуют такие ю ьн йг ()9) 1 и Н щ Р()г ), что — Н гж С и ф(мН) = !.
(Воспользоваться гл Ч1, $2, и'1.) и в) Пусть « — подалгебра Картана алгебры Ли 9 и )9 — система корней расщепленной алгебры Ли (9, «) Пусть л, 5, ф такие же, как в б), а ( — как в п'2. Пусть Н щ Р()тх) Множество элементов из алгебры Ли 9, инварнантпых относительно 1(ф (Н)), равно»+ ~ 9а, гле Я' — множество таких пыл' корней а щ )1, что а (Н) гн иХ, и ( (ф (Н)) удовлетворяет условиям п а) тогда ° 1 и только тогда, когда элемент — Н принадлежит некоторому алькову. и г) Предположим теперь, что алгебра Лн 9 проста. Пусть «и Я такие же, как в утвержлении в), (ап ..., а ) — базис системы Р, й — число Кокстера системы Я, 5 — примитивный корень степени Ь из единицы в поле й н Н вЂ” такой элемент нз подалгебры Картана», что а,.
(Н) = 1 при !' = 1, ..., !. Доказать, что выполняются следующие условия: (1) Гомоморфизм у ь-ь ьт (н! группы 13 ()9) в й" опрелеляет элемент группы Ац1(9, »), который удовлетворяет условняч утверждения а! и порядок которого равен 6 (Воспользоваться утверждением в), а также предложением 5 из гл. Ч1, 9 2, и предложением 31 нз гл. Ч1, $ 1.) (В) Порялок каждого автоморфизма конечного порядка алгебры Ли 9, который удовлетворяет условиям и. а), не меньше й. (Воспользоваться б) и в).) (ГП) Автоморфизмы порядка й алгебры Ли 9, которые удовлетворяют условиям и а), образуют класс сопряженных элементов в группе Ап1, (9).
(Воспользоваться предложением 5 из ц'3) д) Пусть «н )г такие же, как в в), н пусть а — преобразование Кокстера из группы !Ч Я). Пусть з !и Ац1(9, «) — такой автоморфпзм, что в (з) = ш, Показать, что автоморфизм з удовлетворяет условияч и. а) я его порялок равен й (Воспользоваться предложением 33 пз гл. Ч1, 3 1, гл. Ч, $ б, и' 2, и црсл.!оженпсн 9 пз гл. ЧП, $1.) упп \ж!!щп!я 289 е] Еслн з щ Ап! (96 то следующие условия эквэзалептны: (1) автоморфизн з удовлетворяет условняч утверждения а) п имеет порядок Ь! (11] существует такая подалгебра Картава () алгебры Ла 9, устойчнвая относнтсльно автоморфнзма з, что ограннченпе з ! 1) — ппеобраэованне Кокстера нз группы Всйля расщепленной алгебры Лп (й, ()) (Воспользоваться пп, г) и д].] ж) Характср~стпчесний многочлен антоморфнзнз из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
