Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 59
Текст из файла (страница 59)
в) Прелположим. что Л вЂ” целое число ) О. Пусть 2' — надпространство в 2 (Л), порожденное элементами е„, л ) Л. Показать, что 2' есть й.подмолуль чолуля 2 (Лй пзоморфпый модулю 2 ( — Л вЂ” 2), и фактормодуль 2 (Л)/2' пзоморфеп простому В-модулю )т (Л), Показать, что елипствепнымя й-подмодулямп модуля 2 (Л) яяляются модули О. 2' и 2 (Л). 3) Пусть Š— векторное пространство с базисом (е„)я Пусть а(л) =ая+а л, Ь(л) =Ьс+ Ь л, с(л) с„+с~а — трп афиипые функции с коэффппиептамн в иоле й.
Определим зпдоморфизмы Х+ Х, Н пространства Е с помвцью форчул Хтек а (л) еи ь Х е„Ь (л) е„+ь Не„с(л) е„. Доказать, что лли того чтобы при этом па пространстве Е была определена структура й-молуля. необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия а,Ь| — — 1, с, = — 2, се= — асЬ, — а,Ьс. При каких условиях этот модуль прост? ч( 4) Пусть й — алгебра Лн; й.модуль Е называется локально калечным. если оп является объединением своих коиечномерных й-полмодулей. Другпмп словами, это значит, что любой О-подмолуль модули Е конечного типа (как (? (О)-модуль) коцечпоиерен.
кпг'тжнппмй а~ Пусть П -э Е -> Е -э Е" ы и — точная последовательность й-модулей. Покачать что есчи молулн Е н Е" локачьно конечны то н ыодуль Е локально конечен ~свестн к случаю когда Š— чо.суль конечного типа, п использовать тот факт чт> унпверсалюсая обертывакшгач алгебра (/сй) нетерова, см. гл. 1. й 2 п'6).
б) Предположим, что алгебра Лп О нолупроста. Показать. что модуль Е локально конечен тогда и только тогла когда он является прямой сумчой простых конечномерных О-модулеи. в) Предположим, что О = й. Показать, что молуль Е локально конечен тогда и только тогда, когда выполняются следусопсссе условия: в,) Е обладает базисом, образованным собственными векторами эндоморфизма Н, вт) эпдоморфизмы Х и Х локально ннльпотентны. (Сначала показать.
что еслч молчаь Е удовлетворяет условкяи в~) н в.) и не равен О, то он сочерюгт прнчнтниный этечент е вес котор го равен и+ с целому числу т -и 0: затея доказать. что Х е = 0 и стсдонательпо, Е содержит модуль (г (гп). доказательство завершается применением утвержде. пня а) к иаксиияльному локально конечноиу подыолулю Р модуля Е.) 6) Пусть Š— локально конечный й-модуль (упражнение 4) Для любого т ) 0 обозначим через Ею векторное пространство й-гомоморфизмов иа (г( ) вЕ, а) Построить изоморфизм модулей Е и ® ьм З )г(т). б) Обозначим через Фю инвариантную билинейную форму па простраи. стае )г(ш), определенную в п'3. замечание 3.
Пусть дтя любого пг сж Ы Ьш — некоторая билинейная форма на пространстве Ею, а Ь вЂ” билинейная форма на пространстве Е, которая соответствует при азоморфизме из утверждения а) прямой сумме форм Ьм З српь Показать, что форма Ь инвариантна и что любая инвариаитная билинейная форма на пространстве Е представляется так единственным образом. Для того чтобы форма Ь была сичметрической (соотв. знакопеременной), необходимо и достаточно, чтобы при четных т формы Ьм были симметрическими (соотв.
знаконеремеянычи) и чтобы при нечетных гп формы Ьгп были анакопеременнычи (соотв. симметрическими). Чтобы форма Ь была вевырождепнос), необходимо и достаточно, чтобы формы Ьм были невырожденными. в) Предположим, что Š— конечночсриый модуль. Показать, что он тогда и только тогда является моногениым (как () (й)-модуль), когда б(гп ьпг ~( щ + 1 при всех гп ~) О. 6) Если Š— конечномерный Ф-модуль, а и — целое число, то обозначим через а„размерность собственного подпрострапстна эидоморфизма Н„, отвечающего собственному значению и. Обозначим через с (Т) элеиенг кольца Й(Т, Т 1 определенный равенством с (Т) = ~ п„Т".
пмх а) Определим пространство Ею. как в упражнении б. Показать, что б!щ!-пс=ам — ипгьг для любого целого числа нг эО, Вывести отсюда, что ск(Т) = скг(Т) тогда и только тогда, когда модуля Е и Е изоморфпы. Получить этот результат. используя упражнение 18д) из гл, ьгП, $3. б) Показать, что сдф„—— си+се и с в„—— с .с . в) доказать, что с), (Т) =(Тм+' — Т "' г]((Т вЂ” Т ') гл 1'!1! Рхащгплг10!ыг полупроцтын л,лгпи!11 Л11 й ! 270 г) Вынести из утвсрмгденнй а) — в), что если т.".
т'>О, то 8-модуль !' (и1) ® У (т') нзоморфеа модулю У (т + т') (.:Б 1' (т + т' — 2) Я У (т + т' — 4) д) ... О+ У (т — т'). Если т > О, то ст-!пичул!, Бт)' (пг) изоморфеп молулю У (2т ) О+ У 12т — 4) 'е У (2 т — 8) (-Н ... ® ~ У (0), сслн т четно, У (2), если и печстио, а й-модуль йН' (т) нзоиорфен модулю У (2т — 2) ~0 У (2пг — 6) Я У (2т — 10) Я ... Я ( ( У (0), если т иечетпа.
7) Пусть Š— й-модуль конечной размерности. Показ!!ть. что модуль, дуальный к модулю Е, пзоморфен модулк! Е. 8) Показать, жо 8-модуль У (т) можно реализовать как пространство однородных многочленов ) (и, а) степени т от двух переменных, в котором операторы Хт, Х и Н заданы формулами Х )= — и —, Н)=и — — о —, д) .
д) д) ди ' ди да' !(( 9) Присоединенное дщйетвие алгебры 7!и й определяет действие этой алгебры на своей универсальной обертывающей алгебре (7, а так ке на своей симметрической алгебре 8 = ЕЕ 8". а) Определить веса й-модуля 8". Вывести с их помощью следующие изаморфнзмы й-модулей: Ве-и 1' (2л) ЕЭ У (2п — 4) Д+1'(2л — 8) Сф ... ~~+1'(0), п четко, 8" -ь У (2п) СП! У (2п — 4) Д+ 1'(2л — 8) ~® ...
Я У (2), п нечетно. форма; положим 0; = —, 0= ~ Ь(10!0), где (ЬП) — матрица, обратная д дХ1 ' з, 1-1 к матрице (и! ). а) Показать, что на 8 существует, 1 а-модуля, лля которой Х+! = — 0 (Й 2 если ! — одноролпый мпогочлен степени и притом единственная, структура Х )= — Ф) п !1)'= — — (и!72+ и)), ! 2 п. В частности, элементы пространства 8", инварнаптные относительно действия алгебры Ли й, образуют надпространства размерности 1 (соотв. 0), если л четна (соотв. иечетно). б) Показать, что подалгебра алгебры 8, образованная инвариантными относительно й элементами, совпадает с алгеброй миогачленов й(Г), где Г = =Н' — 4Х Хь, Л1одуль 8"!Г.З" з изоморфен модулю У(2л).
в) Показать, что центр алгебры 0 совпадает с алгеброй многочленов й(С). где С вЂ” элемент, определенный в упражнении 1 (использовать б) и теорему Пуанкаре — Биркгофа — Витта). !0) ПУсть и! — целое число >О, 8 — гРадУиРованнаЯ алгебРа й(Х!, ..., Хт) т и и... „и — элементы из й". Пусть Ф = Ъ и .Х.Х вЂ” квадратичная и''" и л !! ! 1, )-1 уппажыгпмя б) !)оложяч Ач.= $";)Кег (з, 11оказатж, чт~ прогара стао Ья совпадает с прямой суммой подпрострааств срл. Аз, где 2д+ 4 =я. Вывести отсюда тождество гЛ (А"! 7"-11+ 7)7(! — 7) -'. я-0 в) Если ) — ненулевой элемент пространства А", то элементы грд(, р ) О, образуют базис простого й-подмодуля в 8, которыа нзоморфеп модулю lп 2 (- — — и) из упражнения 2. 2 г) Разобрать случай т = 1 и т =.2.
Использовать случай т = 3 для другого доказательства упражнения 9. 11) Прсдположим, что поле й алгсбран ~ескн замкнуто. Пусть 9 — алгебра Ли. У вЂ” простой 9-модуль и  — тело эидоморфизмоз 9-модуля У, Показать, что если поле й несчетно '), то В= й. (Если это ие так, то тело 0 содержит поле, язоморфное полю й (Х), где Х вЂ” независимая переменная, я мы получаем, что гйщз(З) Нс, откуда б)гпз )г> (йс, что невозможно, поскольку У вЂ” моногепный (7 (9)-модуль.) 12) Пусть 4 ~ й, и пусть )Р— векторное пространство с базисом (гя, ен еэ ...).
а) Показать, что существует единственное предстааление рс алгебры Ля й в пространстве )р, для которого 71 ~я рч (Н) е„= 2ея» о ря (Хе) е„= ( — р» (Н) — 1) ем /1 чн рч(Х )ел=~2 рч(Н)+1) ( — йеа+с~+аз). Тогда рч(С) 4ф где С=Н'+2Н вЂ” 4Х-Хь (см. упражнение 1). Представление р иеприводимо. Элементы х ~ Ф, для которых эндоморфизмы рч(х) имеют собственные заачения, пропорциональны Х+. Эидоморфнзм рч(Х+) имеет собственное значение 1 кратности 1.
б) Пусть р — такое простое представление алгебры Ли й. что р(С) =44 и что эндоморфизм р (Хе) имеет собстаеиное значение 1. Показать, что представление р эквивалентно представлению рч. 13) Предположим, что й С. Пусть С = Н'+ 2Н вЂ” 4Х-Хч, см. унражненне 1. Представление р алгебры Ли В й! (2, С) называется Н-днагонализируемым, если пространство предстазления р имеет базис, образованный собственными векторамн эидоморфнзма р(Н).
Пусть 4~ С н о щй)/Х. а) Предположим, что в пространстве 5 имеется базис (ем)м с, занумерованный элементами из С. Пусть 8„= ~ Сем. Существует единственное представление рэ,ч алгебры Ли й в пространстве Яя, такое, что ч ря ч (Х+) ем=(4 — вз — в)'ее.ьы рюч(Х )ем=(д — в + ю) е,-„ 2 з р„, ч (Н) е, = 2вгм, ') Утверзклепие остается верным. даже если поле й счетно; см. ()п)11сп 1)., ()и !Пе епдощогр!Озго г)пй ог а з1~пр)е гпобп!е оаег епче)ор)пй а19еЬга, атос. Атег.
МаГМ Ьос., ХХ! (1969) 171 — 172. 278 гл лп! Рлкц!Гплпип!6 полупРОстыь ллгвврь! зц! 4 ! (Усг!свил!ся, что црп всех а щ С х'* — квадратный корень из элемента х аргучент которого прнналлелкнт отрезку (О, и).) Обозначим через 5э ' и-ли!гуль. апреле.!еппый аредставлецием рэ ч. Тогда р„ч (С) = 4д. 6! Если !голл'+ и прц л!обью и лы и, то молуль 5„ч прост. в! Прсдцоложцч, что 2п Ф О н д имеет вил из+ и, гле и лц и (что однозначно опрглслясг элем! пт и). Пусть 5,, (гоств. 5„ч) — векторное подпрострапство в 5„. лоро кленпое элементами ем при ю ~и (соотв. при щ> и), Тогда 5„п 5„— простые й-подмодули модуля 5 г) Прещтоложпы, что 2п = О и что д имеет вид из+ и, где и лж и, и ~~О (что однозначно определяет элемент и). Пусть 5„ Гсоотв.
5в , 5'! векторпыс цодпрострапства в 5„, порожденные элементами ем при ю < — и (соотв, прц — и ~(и' ~(и, ю >и). Тогла 5э . 5в „п 5г ч — простые йзлодмодулц модуля 5„ч. 1 д) Прсднололкплл, !то и — „+ х н что !7 — 4. Пусть 5 ( соотн. 5 , „ ) — векторное подпространство пространства 5 ,, порожден+ 1 ! Х цое э.юмецтачи е, при ц ~ — — (соотв. при ю> — — ). Тогда 5 м 2 (, 2 7' — ул. ')л и 5+,, явл!потея простымн й-подмодулями модуля 5 е) Обозн через р„„, р„представления, соответствующие модулям 5=,, 5! . В случае б) элементы х св д, для которых эиломорфнзч р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
