Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(1у) Ввиду гл. Ъ'1, 5 4, и'6 (Ъ'1), фундаментальными весами, соответствующими аи .., аи будут й;=е~+... +а; (1(1(1). Мы покажем, что фундаментальное представление о„соответствующее весу й„можно реализовать как подпредставление представления ех'а, где а — тождественное представление алгебры Ли й в пространстве У.
Для этого изучим разложение представ»ения ела алгебры Ли й во внешней алгебре ДУ. Пусть (еа) — базис пространства У", дуальный к базису (е;). Знакопеременную билинейную форму Ч' можно отождествить с элементом Г*ен ДеУ' (А1п., с)тар. П1, $11, и'5), и легко проверить, что Г'= — ~ е", А, е', 1=! Пусть Ч'" — форма, обратная к форме Ч' (Алг., гл.
1Х, 2 1, п'7), Ясно, что Ч'"(еи е") = 0 при 1Ф вЂ” !' и Ч'*(еи е,.)= — 1 при 1~~1К1. Если отождествить форму Ч'* с элементом Ген ДАУ, то Г=~ е;ГАе и Обозначим теперь через Х эндоморфизм внешнего умножения слева на элемент Г в пространстве ДУ, а через Х,— 9 Еаиеаии звя гл, ъпь глсгдгплвнпыг полэпгостыв ллгсггы ли эндоморфпзм внутреннего умножения слева на — Г в пространстве Л)«: Для того чтобы вычислить Х+ и Х, рассмотрим следуюп[ий ба!ис в пространстве Л)«: для любой тройки (А, В, С), образованной тремя неперееекающимпег! подмножествами отрезка 11, !!, положим ел,в,с=еаЛ...Лг; ЛемЛ ..Ле,„Ле,,Ле,Л... ...Ле, Ле,, 'л где (аь ..., а,„) (соотв.
(Ь,, Ь„), (сь ..., се)) — элементы нз Л (соотв. В, С), расположенные в возрастаюшем порядке. Таким образом, мы получаем базис пространства Л)х, и простые вычисления показывают, что Х- ° ел,е,с= Х ел, е, свв!, !ж(!, !). !млпвис Хь.ел е, с= — Х ел в, с-и !яс (8) (9) Пусть Н вЂ” эндоморфизм пространства Л)«, который на под- пространстве Л')! сводится к умножепгпо на (1 — «) (0(«(21).
Легко проверить (см. упражнение 19), что [х,,х)= — н, [Н, Х„.]=2Хэ, [Н, Х [= — 2Х Иначе говоря, векторное пространство Ф, порожденное Х+, Х и Н, — подалгебра Ли в Епд(Л)«), изоморфная е((2, !!), и Л'1' — подпространство элементов веса 1 — «. Обозначим че- рез Е, надпространство в Л')«, образовангюе примитивными элементами, т.
е. Е,=(Л'(«) ПКег Хь, Из 5 ! следует, что при «(1 о!раничение оператора Х на Л')«инъективно и что при « =...! пространство Л'1«разлагается в прямую сумму Л'1! = Е, Е Х (Е,,) В Х! (Е,,) (Р ... = =-е,в х-(л' з)') /2!Х / 21 Зто показывае!, в !а:тпо'ти, что 81!пЕ,=[ )' — 1 ) прп [,«/ 1« — 2, О (-! (!.
е а (3 Рлсшепляемые АлГеБРы ли клАссическОГО типл 959 С другой стороны, само определение алгебры Ли Бр('!') показывает, что элемент Г аннулируется второй внешней степенью представления, дуального к представлению о. Аналогично, элемент Г аннулируется представлением 7чео.
Из этого сразу следует, что эндоморфизмы Х», Х, а следовательно, и Н перестановочны с эндоморфизмами До® при и е= й. Следовательно, подпространства Е, при 0(г(! устойчивы относительно Л о. Покажем, что ограничение представления 7|» о на пространство Е, — 4унда.пентальное представление о, веса й, (1 ( г ( 7). Прежде всего заметил(, что веса представления Д'о относительно подалгсбры Картана (> имеют внд е, + ... +е;»вЂ” — (еь+ ...
+е, „), где |ь ..., Г„(соотв. 7(...,, )„») — Различныс элементы отрезка (1, 7). Следовательно, старший вес представления Д'о равен й,=а, + ... +е„ и векторы веса й, — векторы, пропорциональные вектору е, Л... ... Л е, =еп, „,| е|,.„. Формула (9) показывает, что е, Л ... ... Л е, ~ Е„. Достаточно, следовательно, показать, что ограничение представления Д'о на пространство Е, неприводимо. Если з~ Вр(ЧГ), то продолжение эндоморфизма з на пространство д(г (соотв. Л(г") переводит элемент !' (соотв.
Г") в себя и, следовательно, перестановочно с эндоморфизмами Х+ и Х, а подпространства Е, устойчивы относительно этого продолжения. Следовательно, Е, содержит подпространство Ее порожденное векторами, получающимися из е, Л ... Л е, под действием группы Вр(Ч'). Как показывает теорема Витта, это такие ненулевые разложимые г-векторы, что соответствуюшие векторные подпространства пространства )г вполне изотропны, Такие г-векторы мы будем называть изотропными. Лел|ма 2.
Пусть Е„1 (г ( 7, — надпространство в Д')г, порожденное изотропными г-векторами. 7'огда л~-Б ~ х (л' г(-л|(ь*, и -,) лл' 'г. ч| | Покажем сначала, как из леммы 2 следует наше утверждение. Так как Е„(."Е, и Е„ПХ (/~" '1')=(О), то из леммы 2 вытекает, что Е, =Е,. С другой стороны, пусть з ~ зр(Ч'); тогда автоморфнзм а | вав ' пространства Епд((г( оставляет й устойчивой и индуцирует на ней некоторый автоморфизм из Аь(ь(й) (см. (Л1)).
Следовательно, он переводит каждое неприводимое представление алгебры Ли й в эквивалентное представление (9 7, п'1, предложен '* 2). Так как вектор г( Л ... Л е, принадлежит неприводимой компоненте представления Д'о и »60 гл чш, глсщсплньиын полгпгостын ллгевгы ли з пространство Е, = Е„порождено образами вектора е, Л ... Ле, при преобразованиях из группы Зр(Ч'), то представление алгебры Ли а в пространстве Е, изотипно. Однако кратность старшего веса й, равна 1, поэтому представление неприводимо. Осталось доказать лемму. При г = 1 она очевидна. Будем доказывать ее по индукции; пусть г)~2.
По предположению индукции нам достаточно доказать, что Е -~ Л )г ~ Е. + Г Л гз )' или что если у — разложимый (г — 1)-всктор и х ~ )г, то г = у Л х ен Е, + Г Л Л" ')г. Пусть ();),<,<, — такой базис Витта пространства )г, что у= =), Л ... Л ~,, Достаточно провести доказательство в случае, когда х=)ь Если 1че(! — г, — 1), то г-вектор ~, Л ... ... Л 1, ~ Л 1; изотропен.
В противном случае можно предположить с точностью до перенумерации элементов )о что 1= = 1 — г. Тогда Г = ~ 1'1 Л ) 1, откуда следует, что г.=! »-з 1 ~,, л~,-,—,, „(г-Е~,п ~, » ~- К е,, » ~,, — ~, » с,)). / Г а= ГЛ1,Л ... Л1г-~+ 1 +... ~~ (1, Л ... Л 1,,) Л (1,, Л 1,, — 1, Л '1,). 1-г Но ),, Л~,,— ),Л~,=(~,,+УЛ(~,,-),)- -),Л~, „+~,,Л1,. и мы сразу же получаем, что при г» 1~(1 г-векторы Р,Л ... Л),,Л(У,,+1,)Л(1,,— У,), ~,Л ... Л),,Л~,Л)...
~,Л ... Л~,,Л~, изотропны. Следовательно, генЕ,+ Г Л /~' ')г, что завершает доказательство. (Ъ") Так как ве= — 1, то любое неприводимое конечномер- ное представление алгебры Ли а ортогональное или симплек- 2 2 1х РАс!цяпл5!амыг АлгевРы ли клзсс1!чсского типА 2В5 тическос. Вследствие п'6 (Ч1) гл, Ч1, $ 4, сумма координат веса а„относительно базиса (аь ..., а1) равна 1+ 2+ ... +(г — 1)+ г+ г+ ... + + — ", так что представление 55, ортогональное при четных г и симплектпческое при нечетных г. Так как векторы е, Л ... Л е, и е, Л ...
Л е, принадлежат подпространству Е, и 5р1,1(е1 Л ... Л е„, е 1 Л ... Л е,) = 1, то ограничение формы 11'и5 на пространство Е, является ненулевым; с точностью до постоянного множителя это инвариантная относительно о, билинейная форма, симметрическая, если г четно, и зпакоперемеиная, если г нечетно. (Ч1) Для любого х еи й характеристический многочлен эндоморфизма о(х) имеет вид Тм+/, (х) Т21-1+ ... +/„(х), где /1, ..., /21 — иивариаитные полиномиальные функции на алгебре Ли й. Если х=-$1Н1+ ...
+ С1Нген ч, то с точностью до знака функции /;(х) равны элементарным симметрическим функциям от Б1 ° . Б1* — Б1,, — Б1. В нечетных размерностях эти функции равны нулю, поэтому т21+/2(х)т2'-1+ +/1(х)=(т2 — р ... (Т2 — И). Как и в и'2 (Ч1), мы получаем, что /1=/,=/з= ... =0 и (/2 /М /21) — алгебраически независимое семейство, порождающее алгебру инварнантных полиномиальных функций на алгебре Ли й. (Ч11) Так как тождественное отображение — единственный автоморфизм графа Дынкина, то Ац1(й) =Ап12(й). Пусть 2. — группа преобразований подобия пространства У относительно формы Ч' (Ллг., гл. 1Х, э 6, конец и' 6).
Как и п'2 (Ч1!), можно показать, что автоморфизмы алгебры Ли й имеют вид к зхз-', где з ен 2, так что группа Ап1(й) = = Ац(,(й) отождествляется с Х//2". Для любого з ен 2 пусть 12(з) — коэффициент подобия элемента з. Отображение з — 12(з) гвоздя"2 группы Х в группу /г"/й' является гомоморфизмом А, ядро которого содержит й'. 1; следовательно, А — гомоморфизм группы Х/52' в группу /2'/Й 2, 262 гл. ш!! Расщепленные полупгостые ллгеБРы лп В Прп этом Ьр(Ч')() к'=(1, — 1). Рассмотрим последовательность ГОМОМОРфи1МОВ 1 5р('1!)/(1, — 1) ~ 2/11' ~к 'и "/и ! 1, (10) Отображение ! инъектпвно, и !гп(!) <: Кег)., так как коэффициент подобия элементов из Яр(Ч!) равен !. Если коэффициент подобия элемента з ее Х вЂ” элемент из к*', то существует такой элемент т е й", что тз я Бр (Ч1). Следовательно, ! и! (!) = Кег ().).
Таким образом, последовательность (10) точна. Отождествим Бр(Ч1)/(1, — 1) с подгруппой группы е//г*. Так как группа /г*//г"' кочмутативна, то группа Яр(Ч')/(1, — 1) содержит производную группу группы т/1г'. Следовательно, Лн(,(й) содержится в группе Яр(01)/(1, — 1) 8 ! 1, в*2, предложение 3). В действительности они совпадиог, я группа Лц1(й)/Лц1,(й) отождествляется с группой к'//е"' (уира'кнснне 9). (у'!!1) Каноническая билинейная форма Фк на пространстве !! задается формулой ФРЯе, + ... + 61е1, Ь,е! + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
