Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Эти флаги находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми совершенными порядками на множестве )1. Это соответствие устанавливается следующим образом: каждому полному упорядочению !э на множестве )) поставим в соответствие флаг (В'!, ..., ((г!), где ((7! — векторное подпространство, порожденное первыми ! элементами множества р относительно порядка лл. Так как имеется (1+ 1)! совершенных порядков мнолкества р, то мы получаем также, что существует (1+ 1)! подалгебр Бореля расщепленной алгебры Ли (81(Г), (1 ) 5 3, и'3, замечание).
Пусть у — флаг в пространстве Г. Так как у содержится в максимальном флаге, то множество р элементов алгебры Ли й, относительно которых устойчивы элементы флага у, — параболическая подалгебра алгебры Ли й. Покажем, что единственными нетривиальными векторными подпространствами, устойчивыми относительно р, будут элементы флага у. Для этогб предположим, что у= (Г!и ..., Г! ), где 1(л, « ... лч(~1. Положим лз — — О, 1ч+! — — !+ 1. Непустые отрезки (!а+ 1, л,), (!', + 1, л,), ..., (лч+ 1, 1чл!) задают разбиение множества (1, ..., 1+ 1), что позволяет записать каждую квадратнуо матрицу порядка 1+ 1 в виде 1 $ 1З РАСШЕПЛЯЕМЫЕ АЛГЕЕРЫ ЛИ КЛАССИЧЕСКОГО ТИПА 939 блоков (Х,е)1 .
А .,1. Алгебра рт совпадает, таким образом, с множеством Р,, элементов (Х,А)1, „, алгебры Ли 41(1+1, й), таких, что Х, =О прн а> Ь. Так как р, 1 ~Ь, то нетривиальным векторным подпространством, устойчивым относительно эндоморфизмов нз р, является одно из 1 пространств 1'.; если 1', <1<1 „,, то алгебра П, содержит А АЭ! элемент Е,; и подпространство Г1 не сохраняется под дей- ««1 станем этой алгебры, откуда следует наше утверждение.
Таким образом, 2' флагов, содержащихся в максямальном флаге (1',, 1'1), дают нам 2' попарно различных параболических подалгебр, содержащих подалгебру Ь. Так как существует в точности 2' параболических подалгебр, содержащих Ь (3 3, п'4, замечание), то отсюда следует, что у «» — биективное отображение множества флагов пространства Г на множество параболических подалгебр алгебпы й. Более того, р ~1 . тогда и только тогда, когда у ~ у. т' Рассмотрим параболическую подалгебру Р = Р, (1 ( 11 «...
1„< 1). Пусть В (соотв. и) — множество таких элементов (Х,А)1 ., <,+1 алгебры Ли б((/+1, /г), что Х„=О при а Ф Ь (соотв. а>Ь). Ввиду предложения 13 из $3, п'4, мы получаем, что р =Фарп и подалгебра 6 редуктнвна в пространстве й, а п является сразу и наибольшим нильпотентным идеалом, и нильпотентным радикалом алгебры Ли й. (1Ч) Пусть й,=а, + ... + Е„при г= 1, 2, ..., й Тогда й, (Н„) = Ьп, а следовательно, й, — фундаментальный вес, соответствующий корн1о а,. Пусть о — тождественное представление алгебры Ли й в пространстве Г. Внешняя степень Д'и представления а действует в пространстве Е = Д')/. Пусть (еи ..., е,„,) — фиксированный базис в пространстве 1Л Элементы е;, Л ... ЛЕ1, где 1', « ...
1„ образуют базис в пространстве Е. Если Ь ~ Ь, то (Д'а)(Ь).е1, Л ... Л е1 =(в1, + ... +Е1)(Ь)е; Л ... Л а1, Следовательно, каждый вес имеет кратность 1, й, — вес представления Л'а, и любой другой вес имеет вид й, — р, где и — положительный радикальный вес. Таким образом, й, — старший вес представления Д'и и е1 Л ...
Л е, — примитивный элемент, отвечающий данному старшему весу. Вследствие и'7 (!Х) гл. Ч1, 9 4, группа Вейля в рассматриваемом случае отождест- 240 Гл. УН1. РАсп1еплен11ые полупРостые АлГеБРИ ли вляется с симметрической группой элементов (Е„..., Е1+1). Следовательно, орбита веса й, относительно группы Вейля со- стоит из всех весов Б1 + ... +Б1, где 1, « ...
1,. Таким образом, весами простого модуля, порожденного примитивным элементом е, 1А ... 1А, е„будут веса вида а,, + ... + е;, и, сле- довательно, сам модуль совпадает с Е. Поэтому Л'а — непри- водимое представление го старшим весом й,. Таким образом, представления Л'а (1 < г < !) фундамен- 1'1+ 11 тальные.
Прн этом бнп Л'а =1 Г (у) Имеют место равенства ю0(а,) = — а1, 020(аэ) = — а, (гл. Ъ'1, $4, и'7 (Х1)); следовательно, ~0 (Ы1) — Ы1, ШО (012) — Ы1 1, Пусть ы=п1й1+ ... +п,й, (и„..., и, ен 5() — некоторый доминантный вес. Тогда для того, чтобы неприводнмое представление со старшим весом гз было ортогональным или симплектическим, необходимо и достаточно, чтобы П1 = П! П2 = П1-1 (2 7, и'5, предложение 12). В частности, если ! четно, то нн одно фундаментальное представление алгебры Ли 01(!+ 1, й) не является ни ортогональным, нн симплектическим, Если ! нечетно, то представление Л1а при 1Ф(!+!)12 не является ии ортогональным, ни симплектическим.
Вследствие п'7 (Ч1) гл. Ъ'1, $4, сумма координат веса й„цр относительно системы простых корней (ап ..., а,) равна — (1+2+...+ )+ + (1+2+...+ + )~= =1+2+ ... + —.+ 4 !†! !+! так что представление Л! "а является ортогональным при (1+%2 ! = — 1 (Гпоб 4) и симплектическим при 1= 1 (Гпоб 4) ($7, и' 5, предложение !2). Этот последний результат можно уточнить следующим образом. Выберем ненулевой элемент е в простран. стве Л+' )1. Умножение во внешней алгебре модуля )г определяет билинейное отображение пространства Л""е р Х Ли"'2 р ! 4 13 Рмтщепляемые АлГеБРы ли клАссическОГО типА о41 на пространство /х Ч, которое записывается в виде 141 (и, и) ~Ф(и, п)е, где Ф вЂ” билинейная форма на простран- стве /)1' ~ ' К.
Непосредственно проверяется, что Ф вЂ” не- нулевая 9-инвариантная (а следовательно, невырожденная, сим- метрическая, если (1+ 1)/2 четно, и знакопеременная, если (1+ 1)/2 нечетно, форма). (Ч!) При всех х ен 9 характеристический многочлен эндомор. физма а(х) =х записывается в виде Т'~ ' + /о (х) Т' ' + /о (х) Т' + ... + /11-1 (х), где /„..., /,„, суть 9-инвариантные полиномиальные функции 5 8, и 3, лемма 2). Если х = $1Е „+ ...
+ Б141Е „1 141 с- =9, то с точностью до знака функции /,(х) совпадают с элементарными симметриче- скими функциями от $1...., $1+1 степеней 2, ..., 1+ 1 соответ- ственно. Ввиду и'7 (1Х) гл. Ч1, 5 4, функции /, ~$ порождают алгебру, состоящую из элементов в 8(9'), инва риантных относи- тельно группы Вейля, и они алгебраически независимы. Таким образом (5 8, и'3, предложение 3), функции /„ /о, ..., /1+1 порождают алгебру инвариантных полиномиальных функций на 9 и являются алгебраически независимыми.
(ЧИ) Пусть фо(д)=ф(й) прн любом йен Ы(1+ 1, /4)— автоморфизм х ахй-1 алгебры Ли 9. Тогда ф — гомоморфизм группы ОЕ(1+ 1, й) в группу АИ1(9). Имеет место равенство ф(Я. (1+ 1, /4)) = Ац(,(9) (ЧП, $3, и'1, замечание 2). Пусть я — алгебраическое замы- кание поля Й. Тогда О1 (1+ 1, й) = й*.
Я. (1 + 1, й); следовательно, фА(СЕ(1+1, /4))=фх(ЬЕ(1+1, Й))=Ап1,(9 Эой). Отсюда следует, что ф(О1. (1+ 1, й)) с: Ац(о(9). С другой сто- роны, Ац(о(9) с:ф(О1.(1+1, й)) ввиду предложения 2 из 5 7, и' 1, примененного к тождественному представлению алгебры Ли 9, Значит, Ац(о(9)=ф(С1. (1+ 1, й)). Ядром гомоморфизма ф является множество элементов группы СЕ(1+1, й), перестановочных со всеми матрицами порядка 1+ 1, т. е, множество й' обратимых скалярных матриц.
Следовательно, группа Ац(о (9) отождествляется с группой О1. (1 + 1, е)//4' = РОЬ(1+ 1, й). Ядро гомоморфизма 11' = =ф| Я. (1+ 1, й) равно р,41(е), где р1„1(й) — множество корней (1+ 1)-й степени из единицы в поле й. Следовательно, группа 242 Гл. Р1н, РАсшспленные полупРостые АлгеБРы ли ! Ац1, (й) отождествляется с группой Я. (! + 1, й)/Й141(й) = = Р51.
(!+ 1, й). С другой стороны, имеется точная последовательность 1-РЯ-(!+ 1, Ф) — Р С(. (!+ 1, й) — !. й' — >1, и образ й" при гомоморфизмс 1(е! совпадает с и*1' '. Отсюда вытекают канонические изоморфизмы Ац!о(й)/Ац!е(й) Р Рб('(!+ ! /1)/РЯ (/+ 1 Ф) -Ы(!+1, й)Р*,ВЬ(!+1, й)- й"Р*+1, Если й = 11, мы видим, что Ац!Б(й) = Ац1,(й) при нечетном ! + 1 и что группа Ац1„(й)/Ац1,(й) изоморфна Х/2Е при четном !-1-1. В обозначениях й 5 /(То) есть множество автоморфнзмои алгебры Ли й, индуцирующих па подалгебрс 5 тождественное отображение, и, следовательно, это множество равно 1р(0), где 0 — множество диагональных матриц группы б!. (!+ 1, й) ($5, предложение 4).
Пусть 0' — множество диагональных элементов в группе 5!.(!+1, 11). Из предложения 3 $5 и из определения группы Ац1,(й) следует, что /(д(ТР)) ~!р(0'). Покажем, что !(11(ТР)) =ер(0'). Пусть о О !.! — элемент из 0'. Существует такой элемент ~с= Ноя! Я(/7), я*) = =То, что ~(е1 — е!) = Х1Х! при любых 1 и !. Легко проверить, что /(~)=ер(4(). Ввиду и'7 (!11П) гл. Ъ1, $4, группа ео(й) порождена множеством 1,"е(/!) и элементом е=е„образ кото.
рого в факторгруппе Р(!!)/!!(!!) имеет порядок 1+ 1. Но ~ ((! + 1) е) = Г ((Б, — е ) + (Б! — Бз) + ... + (е! — Б141)) =- -1 — 1 -1 1+1 — е1Х~ еа ., е1+! е! следовательно, гомоморфнзм с продолжается до гомоморфнзма группы Р (/!) в а*. Это доказывает, что ' 1к- е) (Тр), откуда ер (е!) Бн / (е/ (Тр)). Напомним 5 5, и' 3, следствие 2 предложения 5), что Ац!(й)=Ац!4(й) при 1=! и что группа Ац!(й)/Ац(4(й) изоморфна Х/2Е при 1 =э 2. Отображение й: х — ех является автоморфизмом алгебры Лн В((!+ 1, !1), н а,= й!!! Ф )1г, если !~2 (гл.
!г1, % 4, и'7. Х!); следовательно, класс элемента а„ в факторгруппе АН1(й)/Ац!Р(й) — нетривиальный элемент этой факторгруппы 6 5, и' 2, предложение 4). 2 Э !3 РЛС!ИЕПЛЯЕМЫЕ АЛГЕБРУ Л11 КЛАСС1!ЧЕГКОГО Т1!ПА ззз (121П) Ограничение формы Киллинга на подалгебру Картана !с имеет вид Ф(Р!!+ " +В!+!Ею+!,с+! В!Ес!+ " +э!+!Ею+1,1+!)= = 2е ($1 — Б)(Б,.—" )=2„(сс — " ")(»,— Б)= =(!+ 1)Х:,э',+(!+ 1)ЕУ,' — 2(Еэ,)(Х~,')= = 2 (! + 1) ~, Ц,'.. (1Х) При 1(1 < )(! + 1 положим Хе -е. = Есс, Хе.— е. = Ес! Тогда для любого аеи)т выполняются равенства (Х„Х е) = — Н, и 0 (Х,) = Х „(где 0 — автоморфизм х — 'х, введенный в (12 И)).
Следовательно, (Х,),, — система Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, !с). Положим й = А1. Дозволенными решетками в подалгебре Картана сс 5 12, и'6, определение 1) являются те, которые содержатся между Е-модус!ем С'Ся'с), порожденным элементами Ен — Е;,1 с+1, т. е. образованным диагональными матрицами из э!(!+ 1, х), и х-модулем Р(й'2), порожденным множеством Я(ст'~) и Еп — (1+ 1) ~ Е„(гл. 121, 5 4, п" 7, Ъ'П1), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
