Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Положим и-1 Мы получаем, в частности, что хо в) =1, х1' в) =х. Будем счи- тать, что хм Го =О для целых чисел и < О. Положим Х Х)и) Х'и, 01 и) ' (2) х ) „ ~ х 1х — 1) ... (х — и + 1) ( )="""= и/ и! ПРедложение 1. Пусть А — биалгебра с копроизведением с, и пусть х — ее примитивный элемент (гл. П, З 1, и'2). Тогда с(хы в')= Х х)Р в1®х)е "1, ран, дан, Р.~-'в=и (4) При п(О утверждение тривиально. Докажем наше предложение индукцией по и. Если для некоторого п формула (4) верна, то (и + 1) с (хм+ ' и)) = с (х — с(п) с (хм ю) = =(х91+ 1Зх — дп1З1)с(х1" е))= [хх)Р ">®х)х в)+х)Р ") охх)и ")в Рви=и — (р+ в) дх)Р, в) 12) х)а в)) З1Г, Гл. Унс РАсщепленные полупРостые АЯГеБРы ли э $ >е порядк>1 шевьлле (х — рН)х>р >оЗх>ь а+ Х хр ">З(х — цд)х>ь ">= р+р=-и я+ я =й (р+ 1)х>Р+' л> Зх>Я г>+ р+д-ь + )' (ц+1) 4р азх(д+! г>= р+д-ь — тх>, г>Зх>, г>+ ~ эх>, г>Зх!., г> г+ь-н+! т+ь ь+! =(и+1) Х хо аЗх" "'.
~+э-и+! Следовательно, формула (4) верна и для и+1. 8. Целочисленный вариант теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта Пусть й — конечномерная алгебра Ли над полем Я, а У(й) — ее универсальная обертывающая алгебра, снабженная структурой биалгебры. Если !' — совершенно упорядоченное множество, х =(х!), — семейство элементов алгебры Ли 6, а и =(п!), ы сиХ>>> — мультинндекс, то положим где сомножители расположены в соответствии с упорядочением множества 1 и произведение вычисляется в У(й). Творима 1.
Пусть 'И вЂ” бипорядок в биалгебре У (й), У=Фей — порядок в алгебре Ли й и (х,), — базис пространства У. Снабдим множество !' некоторым совершенным порядком и предположим, что для каждого п ы Х' задан такоа' элемент [п[ иэ бипорядка И, что фильтрация элемента [и] — х'"> в биалгебрг У(й) меньше ~>п1 Тогда семейство элементов [п] по всем и сиХ> образует базис Х-модуля Я. Обозначим через Ур(й) для р~Х множество элементов биалгебры У(й) фильтрации ~(р, Тогда образы в пространстве Ур(й)/Ур >(й) тех элементов х!">, для которых [п ~ =р, образуют базис этого векторного 13-пространства (гл. 1, $2, и"- >, теорема 1); следовательно, элементы [п[ образуют базис векторного ь)-пространства У(й).
Остается доказать следу>ощес утверждение (где мы полагаем М =Х'): 2!8 гл ш» в~си>валин»ь>з полтпгостыв ллгвзгы ли Э (ь) если элементы иен И, (а ) вне>м> и д я >:) — (О) таковы, что Ни= ~, а [и[, (6) лжм то с( делит каждый коэффициент а . Рассмотрим для каждого целого числа г>О итерированное копроизведение с,: И-тТ'(И)=ИЗИЗ ... ЗИ.
По определению с, — коединица в бипорядке И, с> = 1бч>, сз = с (копроизведение в бипорядке И), и для всех г>2 отображение с,ь> определяется как композиция ро(с,З1) ° с: с е> И ЯЗгИ вЂ” > Т (Я)ЗгИ вЂ” + Т (И), где отображение р определено умножением в алгебре Т(Я). Рассмотрим каноническую проекцию и бипорядка И на И+ = = Кег с, и композицию с+ = Т' (и) ~ с,: И -ь Т' (И+). Лемма 1. Пусть п ~ >1>. Если [п[( г, то с, ([п)) =О. Если [п[=г, то с, ( [и) ) = ~ хч >н Зхр а> З ...
З кто>, где ф пробегает множество отображений набора (1, 2, ..., г) в множество 1, принимающих и> раз значение 1 для каждого [ен У, По предложению 1 с, (х'"') = Д х(е> ) З ... З х(ат), где суммирование распространяется на множество таких последовательностей (рь ..., р,) из г элементов множества М, что р>+ ... + р,=п. Ввиду предложения 6 из гл. 11, $1, и'3, отображение с+ равно нулю на множестве И () И, > (й). Отсюда следует, что для г >п с~([п])=с~(х~"~)=~п(х(">))З ... Зп(х(~ >). (8) При г>[п[ из соотношения р>+ ... +р,=п следует, что по крайней мере один элемент р, равен нулю, откуда с~ ([п[) = О.
При г =[ и[ единственные ненулевые члены в третьем выражении в формуле (8) — это те, для которых [р>[= ... =[р,[=1; отсюда вытекает формула (7). Вернемся к доказательству теоремы 1. Воспользуемся обозначениями утвер>кдения (ь) и докажем, используя индукцию ч 5 !а погядкп шввАлле 2!9 мы получаем, что ай = ~ а„(и]. ~д!мг (9) Для любого отображения ф множества (1, ..., г) в множество ! положим ея — — х„п18 ... Эх,ре~ и ач=а, где н=(сагбф-'(()),.
г. По лемме 1 из формулы (9) следует, что с(с+(и')= Х а е, (10) ФЯ7 поэтому с. (й) ен Т'(Я~) ПЯТ'(У). Но подмодуль У модуля ~у+ выделяется в нем прямым слагаемым (Алг., гл. Ч11, 4, и'3, следствие теоремы 1); значит, подмодуль Т" (У) — прямое слагаемое модуля Т (Я~) и с,+(и') ен Т (У). Однако по предположению элементы х, образуют базис модуля У, а следовательно, элементы еч образуют базис модуля Т'(У). Таким образом, из формулы (1О) следует, что число с( делит числа а, а это значит, что с( делит и числа а при ~и,'=г. Тем самым утверждение (е) доказано. 4.
Пример: многочлены с целыми значениями Пусть )à — конечномерное векторное пространство над полем я, )г" — дуальное пространство, у' — решетка в пространстве Г, У" — модуль, дуальный к Е-модулю Ф' и канонически изоморфный некоторой решетке в пространстве Г, 8()г) — симметрическая алгебра пространства 1г и Х: 8()г) — +А()г*) — каноническое биективное отображение алгебры 8()г) на алгебру полиномиальных функций на )г' (А(д., с(зар.
1Ч, э 5, п'11, гешагцпе 1). Если отождествить алгебры А()г*Х )г*) и А(Г)®аА(Г), то отображение 2. будет переводить копроизведение алгебры 8 ()г) в отображение А ()г*) — ~ А ()г* Х )г'), которое полиномиальной функции ф на пространстве )г' ставит „вниз" по ~, н], что число с( делит все а . Для достаточно больших ] и ~ это очевидно, Если Ф делит а для ~ и ~ > г, то, полагая й =и — 2 (амит)(и] ~ Я, 1ю~)г зза Гл. УЫ1. РАс!цапленныа полупРостыв АлГеБРы ли в соответствие полиномиальиую функцию (Х, У) 1-Р 1Р (К + У) на пространстве У'э, У* (А1у., с)1ар. 1Ч, $5, и'11, гешагг)пе 2). г УР'1 Обозначим через ~ ) подмножество в 8(У), образованное теми элементами, которым соответствуют полиномиальные отображения модуля У' в поле Я, принимаюшие на решетке У" целые значения, г' У' ') ПРБдложвнив 2.
(1) Множество ( ) — бипорядок в биал- (,Х) г' У'\ гебре 8(У), и 1 Х ) () 1'= У'. / У"1 1Г Й'~ (й) Х-алгебра ( ~ порождена элементами ~ ), где йя У', к и)' и енй). (И) Если (йн ..., й,) — базис решетки УА, то элелгенты (:)=(.",') (.":) где наборы и = (пн ..., и,) пробегают 1:1', образуют базис дуя Х Для любого и ~ )Ч положим 8„, (У) = ~ 8'(У), 8 (У') = 1~я = ~ 8'(У').
Ввиду предложения 15 и замечания из А1у., сйар. 1Ч, $5, и'9, мы получаем, что 8.(У) =8„(У)П1 ) — „8.(У'), / уА'~ у УР'1 поэтому ~ Х ) П У=У'. Так как 8ы(У') — решетка в простран- / У" 1 стае 8 (У), то 8 (У) П ~ Х ) — тоже решетка в пространстве АУ'1 8 (У). С другой стороны, Х-модуль 8 (У) Д ~ ) — прямое /У'1 слагаемое в 8ы+1(У)Д( ) (поскольку факторпространство не имеет кручения), и, следовательно, существует дополнительный г' УР 'т к нему свободный Х-модуль. Таким образом, Х-модуль ~ ) 3 9 1а ПОРядки шввьллв 22! свободен. Более того, это унитарный порядок в алгебре 8(У).
Г у''з Пусть (и„)„„— базис Х-модуля ( л ). Это также базис Я-модуля 8(У), н для любого элемента ф ~ 8(УХ 1) =8(У)®о8(У) существует однозначно определенный набор элементов (о„) алгебры 8(У), для которого ф=ХиьЭо„. Как и выше, мы будем отождествлять алгебру 8(У) с алгеброй А(У*), а алгебру /у х у"1 8 (У) ® 8 (У) — с алгеброй А (У*Х У). Тогда, если ф ~ ( х 1 то полиномиальная функция х ф(х, у) при каждом у~У" /у'~ принадлежит порядку ~ ~. Поэтому о„(у) ~ Е прн всех и / У''1 и любом у ~ е *, т. е. о„~~ ). Это доказывает, что копроизведение отображает 1 ) в ( ~ чсг~ ~ ~. Если и ~У' и /п~ пенй), то 1 ) отображает элемент и~у'" в целое число ( ) ( ) (*) и (Ь)'~ следовательно, ~ ~ ~ ~ ). Утверждение (ш) слеп ~п1 дует теперь из теоремы 1, примененной к коммутативной алгебре Ли У, а из него вытекает утверждение (Б). Следствии.
Пусть Х вЂ” независимая переменная. Много- /Х'~ члены 1 ), где и ен й), составляют базис е,-модуля, образованного многочленами Р ен Й (Х), для которых Р (Х) ~ е.. Если Р(Х) с: Х, то интерполяционная формула Лагранжа (Алг., гл. 1Ч, $2, и'1, предложение 6) показывает, что коэффициенты многочлена Р принадлежат полю Я.
Поэтому ма кно предположить, что я=Я, и применить предложение 2 при У=Я, л'=Е. у. Несхольхо формул В этом разделе мы будем обозначать через А ассоциативную алгебру с единицей. Если хан А, то вместо аблх мы будем писать абх, 222 ГЛ. ЧП1. РАСШЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ ЬЛГЕБРЫ Л11 8 Лемма 2.
Если х, уев А и и он й), то л Р о — у = ( — 1)' — у — = ~~', (- 1)" х'р'ухни (11) л! р~ е1 о+О Л У+О л Действительно, обозначим через Ь„и Ь1„отображения х хг и г гх алгебры А в себя. Тогда вследствие того, что эндоморфнзмы Ь„и Р, перестановочны, —, (аб х)" = — (܄— Рл)" = ~~ ( — 1)" — (.Р— йо. Р+1 л Лемма 3. Пусть х, Ь ~ А и Л ы Ь таковы, что (адЬ)х=Лх. Тогда для любого и ен1! и любого многочлена Р я Ь [Х] имеет место равенство Р(Ь)х" =х'"1Р(Ь+п)о). (12) Так как эндоморфизм ад Ь вЂ дифференцирован алгебры А и элемент (ад Ь)х перестановочен с элементом х, то (ао! Ь) х" = пхл-1 ((ао! Ь) х) — пухл (13) Следовательно, (аб Ь) хФ = пЬх!л1.
Таким образом, формула (12) получится из своего частного случая Р(Ь) = Р (Ь + Ь), (!4) если заменить здесь элемент х на хьо и Ь на и!о. Достаточно доказать формулу (14) при Р=Х". Проведем индукцию по т. Формула очевидна при 1п = О, 1. Если она верна при Р =Х, то Ь~~ х=Ь. Ьмх= Ьх(Ь+ Ь) =х(Ь+ Ь)" Это завершает доказательство формулы (12). Лемма 4. Пусть х, у, Ь еи А и [у, х]=Ь, [Ь, х]=2х, [Ь, у]= — 2у.
(15) (1) Для любых т, п ~ М выполняется соотно1иеи е Те+ и — р — 1 — Ь1 Х1л1у1м1 ~~; у1 -Я ~ ) х1л-РЬ (1б) р>О р (!1) Пусть А' есть г;подалгебра алгебры А, порожденная /Ь1 элел1ентами х'ы1 и у1"1 при гпеи11, Тогда ~ ) я А' при всех и е= и!. 2 >а ПОРЯДКИ ШЕВЛЛЛЕ Запишем формулу (16) в эквивалентной форме /т+а — р — 1 — Ь'> (а(1 х<л>) у<"'> = ~к~ у< -р> ~ х'"-р' (17 ) р>1 Р Она тривиальна при т=О. Проведем доказательство индук- цией по т. Из формулы (17 ) мы получаем, что (т + 1) (а(( х<л)) у'"+ 1) = (а(1 х<")) у<"'>. д + !(Рл>.
(а() х<" >) 1( = р' т + а — Р— 1 — Ь > рэл-р) 1 х<л Р>у+ у"">(а — 1 — Ь) х<"-'> РЭ> Р (18) 5 1, и' 1, лемма 1). Но, применяя ту же лемму и лемму 3, получаем, что т + а — р — 1 — Ь '> ( ) >Х(л-Р) !— Р >'т+а — р — 1 — Ь'> (ух<" Р'+(а — р — 1 — Ь)х(" Р ')) = Р =Ц т+а — р+1 — Ь'> х(л-Р) 1„ Р /т+а — р — 1 — Ь'> +~ 1(а — р — 1 — Ь) х("-р '>. Р Подставляя полученное выражение в формулу (18), мы имеем 1) (а() Х(л)) р(!л+1)— /т+а — р+1 — Ь'> ~~," (>а р+1) р< -Р+1) х<л-р) + РЭ( Р / т~-а — р — 1 — Ь'> + ~~~~ у(л2-Р) (и — р — ) — Ь) х<л ') + р~> у(т> (а 1 Ь) х(л-1)— / т+а — р+ 1 — Ь'> — (т р+ 1) у(л!-р+1) т(л-р) + р~> р'т+а †р †! — Ь'\ + ~~, у(а-р> (а — р — 1 — Ь)х<" ' ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
