Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Следовательно, существует такой элемент у'а= 1), что х=(абх)'у'. Положим Ь= — 2(х, у'), Мы получаем, что (Ь, х) =2х и Ь~(ас)х) й. Таким образом, достаточно применить лемму 6. Следствие. Предположин, что й — полупростая алгебра Ли. Пусть 0 — группа автоморфизмов алгебры Ли й, содержащаа АН1,(й). Отображение, которое каждой е1гстройке (х, Ь, у) ал- гебрьс Ли й ставит в соответствие нильпотентньсй элемент х, определяет посредством факторизации биективное отображение множества классов 0-сопряженных ь!мтроек на множество клас- сов 0-сопряженных ненулевых нильпотентных элементов. Это утверждение вытекает нз предложений 1 и 2. Лемма 7. Пусть К вЂ” поле, содержащее по крайней мере с' а 4 элемента.
Пусть 0 — группа матриц вида ( ), где а~К*, (,О а') !1 ~ К, а 0' — группа таких матриц с а = !. Тогда 0' = (О, О). Если а, а'~ К" и !), р' ен К, то ' В частности, Таким образом, существует такой элемент а,'ен К", что а'Ф 1 и аь'чи — 1, поэтомУ К.(1 — аьм)=К, откУда следУет лемма. Пеедложение 3. Предположим, что алгебра Ли й полупроста. Тогда группа Ап(,(й) совпадает со своей производной группой.
Если алгебра Лн й расщепляема, то АН1,(й) — производная группа группьс АН1„(с1). 208 гл. чгг!. Рхсшспленныг полупгосгыя Алгевгы лп г Пусть х — ненулевой нильпотентный элемент алгебры Ли й. Выберем такие элементы И, у ен й, что (х, И, у) есть Ь(,-тройка (предложение 2). Подалгебру 8 алгебры Ли й, порожденную тройкой (х, И, у), можно отождествить с алгеброй Ли 81(2, И). Пусть р — представление алгебры Ли 8=81(2, И) в пространстве й, заданное формулой г ~ай,г; пусть и — представление группы $1.
(2, И), согласованное с представлением р ($1, п'4). Образ представления и порожден эндоморфизмами ехр(! абчх) и ехр(! ай!у) при ! ен !г (А!д., с)гар, !П, $8, п', ргороз111оп 17] и, следовательно, содержится в группе Ап1,(й). Так как группа ЬЕ(2, И) совпадает со своей производной подгруппой (лемма 7 и А!й., там же), то элемент ехр(ай,х) принадлежит производной группе 6 группы Ап1,(й).
Значит, Ап(,(й) =6. Предположим теперь, что алгебра Ли й расгцепляема. Так как фактор- группа Ап1ь(й)/Ап1,(й) коммутативна 5 5, и'3, замечание 3), то предыдущие рассуждения доказывают, что производная группа группы Ап(ь(й) совпадает с группой Ап(,(й). в.
Простые элементы Опгвделннин 2. Элемент И алгебры Ли 1 называется простым, если существуют такие элементы х, ус= й, что (х, И, у) есть 8(;тройка алгебры Ли (гг). Говорят также, что И вЂ” простой элемент 8(э-тройки (х, И, у). Пввдложиние 4. Пусть И вЂ” ненулевой элемент алгебры Ли й. Он является простым тогда и только тогда, когда существуег тпкой элемент х еи й, что [И, х] = 2х и И ~ (ай х) (8). Очевпдно, что сформулированное условие необходимо. Ввиду леммы б оно и достаточно. Пггдложение 5. Предположим, что г) — рпсщепляемпя полу- простая алгебра Ли. Пусть 1> — рпсщепляющая подплгебра Картана алгебры Ли й,  — множество корней расщепленной' алгебры Ли (й, Ц и  — базис системы корней В. Пусть И вЂ” простой элемент алгебры Ли й, ггринпдлежащий подплгебре Ф.
Тогда И сопряжен относительно группы Ан(, (й, 1>) такому элементу И' подалгебры Картана 11, что а(И') ен (О, 1, 2] для любых корней а ее В. Собственные значения эндоморфизма аб,И принадлежат Е (э 1, и'2, следствие предложения 2). Следовательно, Иен(га, Существует такой элемент и группы Вейля йт" расщепленной алгебры Ли (й, ч), что а(ыИ) ) 0 для всех корней а ен В (гл, Ч1, й 1, и'5, теорема 2 (1)). Учитывая следствие теоремы 2 из $ 2, и'2, мы можел! ограничиться случаем, когда а(И) ен г) при т % 1!. кльссы !и!Льпотп1т1!ых элгмептоз и !1-тгоики 999 любых вен В. Пусть 1т+ — множество положительных корней относительно базиса В и й = — )т„.
В алгебре Ли й существует 61;тройка вида (х, Ь, у). Обозначим через Т множество таких корней [1, что р(Ь)= — 2. Мы получаем, что Т «Я и у ен ~, йа. Предположим, что существует корень а ~ В, для а~т которого а(Ь) > 2. Тогда (а+ р)(Ь) > 0 для любых 8 еи Т и, следовательно, а+(1Ча й' и а+ ОФ О. При этом, так как [) ~ Я и а ~ В, то а+ Р Ф й е, поэтому а+ Р ~ Я () (О), так что [й", 81[=0.
Вследствие этого мы получаем, что [у, й"] =О. Однако отображение аа, у[8" инъективно, поскольку а(Ь) > 0 ($1, и'2, следствие предложения !), Это противоречие доказывает, что а(Ь)~(2 для любого корня а я В. Следствие. Если поле Ь алгебраически замкнуто, а й — полу: простая алгебра Ли ранга 1, то число классов сопряженных относительно группы Ап1, й простых элементов алгебры Ли й не превосходит 31. Действительно, любой полупростой элемент алгебры Лн й сопряжен относительно группы Ап1,(й) с некоторым элементом подалгебры Картана й, Лемма 8. Предположим, что поле Ь алгебраачески замкнуто, а алгебра Ли й полупроста, Пусть Ь вЂ” такой полупростой элемент алгебры Ли й, что собственные значения эндоморфизма ао Ь раииональны.
Рассмотрич йь = Кег(аб Ь), й' = Кег(ай Ь вЂ” 2). Пусть Оь — множество элементарных автоморфизмов группы й, оставляюиигх на месте Ь, и х ~ йт — такой элемент, что [х, йь[= =й'. Тогда множество бьх содержит подмножество пространства й-', открытое и всюду плотное в топологии Зарисского.
Пусть 1! — подалгебра Картана алгебры Лп йь. Опа является подалгсброй Картана алгебры Ли й и содержит элемент Ь (гл. Ч11, 5 2, и'3, предложение 1О). При этом Ьенйо, Пусть Я вЂ” система корней расщепленной алгебры Лн (й, й), а Я— группа радикальных весов.
Тогда существует такой базис В системы корней 1т, что а(Ь)~)0 дтя любых а ен В. Обозначим через У множество таких элементов г~ 1т, что а(г) ~0 при любом аенВ. Пусть (Н'„) — дуальный к В базис пространства гь Если г ы У, то существует гомоморфизм группы Я в группу Ь*, который переводит любой элемент у~() в Да(г) ( пав Вследствие предложений 2 и 4 из $4 эидоморфизм 1р(г) векторного пространства й, индуцирующий на пространстве йт 210 Гл.
и11. РАС1цепленпые полуг1Ростые АлгеБРы ли 3 гомотетию с коэффициентом Ц а(г)», будет элементарным (н ) а~В автоморфизмом пространства й, который, очевидно, принадлежит группе ОА. Пусть з я 5. Если у ен 1» — такой корень, что й»() й» ~ О, то 2=у(Ь) =у ( ~, а(Ь) Н„] = г а(Ь) у(Н„). Так как а(Ь)ЪО для любого корня а я В и так как у(Н„')— целые числа, которые или все - О, или все СО, то у(Н'„)енг1 при любом корне а~В.
Следовательно, можно рассмотреть (при ге= (1) эндоморфизм ф(г) векторного пространства й», который индуцирует на пространстве й» Д й' гомотетию с коэф» (н,' фициентом Ц а(г) ' '), Отображение г»-»ф(г) пространства 11 ааВ в Епд(й') полиномиально. Если г~К то ф(г)=1р(г)]6'. Пусть уо ..., у,— попарно различные корни расщепленной алгебры Ли (й, ~1), равные нулю иа элементе Ь. Если д1 ен й»,... ..., д,ен й», то е' "~ ... е' "~ еи ба. Следовательно, полагая р(г, дь ..., д,) =ф(г) е' "' ...
е' "'х для ген 11, д, ен й», ..., д, еи й»~, мы определяем отображение р пространства (1 Р' ,й»' Р', ... Х й» в й». Это отображение полиномиально и р(с1, й», ..., й» ) с: Оьх. Ввиду предложений Я и 4 из гл. ЧН, дополнение Е достаточно доказать, что линейное отображение, касательное в некоторой точке к отображению р, будет сюръективным. Пусть Т вЂ” линейное отображение, касательное в точке Ь — — ~ Н„к отображению г»ф(г). Тогда Т(г) — эндоморфизм а~В пространства й', который индуцирует на пространстве й»Дй' гомотетию с коэффициентом г. у(Н.) (Ь)'( ') () Ц а~В ааз, ВФа у(Н,)а(г) =у(г). аеВ Следовательно, линейное отображение, касательное в точке ЬВ к отображению г «р(г, О, ..., 0), совпадает с отображением г»-»(г, х].
Образ этого отображения равен ]х, (1]. Линейным отображением, касательным в точке 0 к отображению д, ~« — ф(ЬР)(д1, х], ЯвлЯетсЯ отобРажеиие д,»-»Р(ЬВ, до О, ..., 0). Образ этого последнего равен ф(ЬР) 1х, 6»] =(х, ч»]. Таким же образом мы устанавливаем, что образ линейного отображения, э а И. КЛАССЫ ИИЛЬПОТЕИТИЫХ ЭЛЕМЫ1ТОВ и 1!гтРОИКИ Я1! касательного в точке 0 к отображению у, р(Ь„, О...,, О, Уи О, ..., 0), совпадает с подпРостРанством 1х, 9т!1. Наконец, образом линейного отображения, касательного в точке (Ье, О, ..., 0) к отображению р, будет пространство ~х, 9+ 9'+ ... +9"1=1х, 9'1=9'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
