Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 42
Текст из файла (страница 42)
П1, З 2, и'8, следствия 1 и 2 теоремы 1.) г) Воспотьзуемся обозначениями из п. а). Пусть Š— простой й-модуль со старшим весом 7. и т — его центральный характер ($6, и'1, предложение 2). Пусть ф' и 6' — автоморфизмы, построенные аналогично гомоморфизмам ф и 6 относительно базиса ш(В). Старший вес модуля Е относительно базиса еа(В) 1зз Гл. у!!!. Рьсшгплеш!ые полупРостые ллгеБРы ли 5 есть ю(Х). Вследствие предложения 7 5 6, п'4, мы получаем, что для любых иен 7 ф (и) (х) = х (и) = !р' (и) (!ЕА).
Следовательно, ввиду и. а) (о о !р) (и) (юх + Бер) = (б Б ф) (и) (Х + р) =,р (и) (Х) = ф'(и) (юй) = (б" ф')(и) (!сХ+ !Ер). Таким образом, полиномиальные функции (басф)(и) и (б'~ф')(и) совпадают на множестве !с(Р,.„)+ шр и, значит, равны. Следствие 1. Обозначим через ХА для любого А~р* гомо- морфизм г Р(ф(г))(Х) алгебры г в лоле (ь. Справедливы сле- дующие утверждения: (1) если поле й алгебраически замкнуто, то любой гомомор- физм алгебры У в лоле й и.иеет вид ХА для некоторого Хан()', (Е) если Х, рьеер, то равенство Х„=Х имеет место тогда и только тогда, когда р + р ~ ((т (Х + р).
Если поле й алгебраически замкнуто, то любой гомоморфизм алгебры 8(р)!Р в поле й продолжается до гомоморфизма ал. гебры 8(ч) в поле й (Комм. алг., гл. Ч, $1, и'9, предложе- ние 22, и $2, и'1, следствие 4 теоремы 1), а любой гомомор- физм алгебры 8(р) в поле й имеет вид 1 !-Рр(Х) для некоторого Х ~ ч* (гл.
Ъ11, дополнение 1, предложение 1). Если Х вЂ” гомо- морфизм алгебры Е в поле й, то су!цествует (теорема 2) такой элемент р ен 11', что для любого е ~ Е выполняется соотношение Х (г) = ((Ь О ф) (е)) (рь) = (ф (е)) (1! — р), откуда вытекает утверждение (1). Пусть А, рь(!', и предположим, что Х =Х„. Тогда для любого элемента е~ с выполняется соотношение ((б ф)(е))(А+ р) =(ф(г))(А) =Х„(е) = =х,(е)=((б ф)(е))(р+р); другими словами, гомоморфизмы алгебры 8(ч) в поле я, опре- деленные элементами Л+р и и+ р, совпадают на подалгебре 8(р)!Р; поэтому утверждение (И) вытекает из следствия теоремы 2 из Комм. алг., гл.
Ч, $ 2, и'2. Следствие 2. Пусть Е, Е' — простые конечномерные й-модули, а Х, Х' — их центральные характеры. Если Х= Х', то модули Е и Е' изоморфны. Пусть А, А' — старшие веса модулей Е, Е'. Ввиду предло- жения 7 из $6, и'4, ХА=Х=Х'=Хх„следовательно, существует В $ В. симметРические ииВАРиАиты 189 такой элемент Рэ ~ )т', что А'+ р = Во (Л+ р). Так как веса 1, + р и Х' + р находятся в одной камере, определенной базисом В, то Рэ = 1.
Следовательно, т. = А,', что доказывает утверждение следствия. Пнедложсние 7. Для любого класса т простых конечномерных д-модулей обозначим через У изотипную компоненту типа т й-модуля У (модуля присоединенного представления алгебры Ди й в ее универсальной обертываюВцей алгебре У). Пусть ть— класс тривиального й-модуля размерности 1. Пусть [У, У]— векторное подпространство пространства У, порожденное коммутаторами пар элементов из У. (1) Модуль У вЂ” прямая сумма подмодулей У .
(В) У„,=7 и Х У„=[У, Ц. т.-"ч (ш) Пусть и~ — ьиь — проекция алгебры У на ее центр Х, определенная разложением У=ь9[Ц Ц. Если и ен У и вен У, то (ио)ь=(ои)ь. Если иенУ и ген 7„то (иг)" = — иьг. (1ч) Пусть у — гомоморфизм Хариш-Чандрьс Пусть Х ы Р+ а Š— простой конечномерный й-модуль со старшим весом 1', Для любого элемента и ~ У имеет место равенство д;„,~ Тг(иэ) =(р(и')) Р) 1 й-модуль У является прямой суммой своих конечномерных подмодулей. Отсюда следует утверждение (1). Ясно, что У„, = 7.. Пусть У' — подпространство векторного пространства У, соответствующее подпредставлению класса т в присоединенном представлении.
Тогда или [й, У'] = У', илн [й, У'] = О. Вс ° уМу„ то [й, У'] = й, так что ~ У с:[У, У]. т ьт. С другой стороны, если и ее У и хи ..., х„ее й, то [х, ... х„, и] =(х,, х„и — х, ... х„их,)+ + (х, ... х„их, — хз ... х„их,х,)+ ... ... + (х„их, ... х„, — их,, х„) е= [й, У]. Следовательно, [У, Цс-]6 Х Ут1=Ь х, Ут1с: Х У„. Мы ч л е т. ВЧ .1 ч. -т. доказали, таким образом, утверждение (В). В этих уеловиях утверждение (В1) следует нз леммы 5 гл. 1, $ Б, п'9.
Наконец, пусть Е и 7В такие же, как в утверждении (1ч). Тогда Тг(ие) =Тг((иь)в) (так как и — иь ~ [У, Ц) = =Тг(р(и") (1). 1)(Э 6, п'4, предложение 7) = = (д(пт Е) . ~р (и") (А). !9з 1л. ю!! РАЕ!цеплщи!ые полупРостые АлГеБРы ли ! 5 9. Формула Германа Вейля В этом параграфе мы будем пользоваться основными обозначениями из э 6 и 7. 1. Характеры конечномерных В-модулеа Пусть (е")„„— канонический базис кольца Х [(!"]. Снабдим пространство ХГ>* отображений пространства э' в Х топологией произведения дискретных топологий его сомножителей. Если фен Х!', то семейство (ф(ч)е"), „суммируемо и ф = ~ !р (ч) е'.
а~ м Пусть Х(Р) — множество элементов ф пространства Х!*, носитель которых содержится в конечном объединении множеств вида ч — Р„, где ч е:— >>'. Имеют место включения Х[Р) с: с Х(Р) с Х!*. Полагая для ф, ф ~ Х(Р) и ч ~ й' (фф)(ч)= Х ф(р)ф( — р) а~6' определим на Х(Р) структуру кольца, продолжающую кольцевую структуру на Х[Р) (семейство (ф(М) >р(ч — р)), имеет конечный носитель ввиду условия на носители функций ф и ф).
Если ф= ~„х,е' и >р= ~~' у,е', то ф>)>= ~ х,у„е'+". а У а,а Пусть чен'ч". Разложением элемента ч по положительным корням называется семейство (па) я, где и — такие целые а а~я~ числа )О, что ч= ~„п а. Символом >(3(ч) обозначается число а я+ разлохсений элемента ч по положительным корням.
Тогда ч>(ч) > Ое~ч ~ Я„. В этом параграфе через К обозначается такой элемент алгебры Х(Р): К= ~ $(у)е ч. т~аф Напомним (гл. Ъ'1, 5 3, предложение 2), что П (Еа!' — Е аа) = ~, Е(ГЕ) Еаа аыэ+ ая>Р— антиинвариантный элемент алгебры Х[Р1. $ К ФОРМУЛА ГЕРМАНА ВЕЙЛЯ Лемма !. В кольце Х(Р) выполняется равенство К. П (1 — е а) = Ке-ай = 1. аа я+ Действительно, К= П (еь ) е-а (-е-аа-(- ...). а~я+ следовательно, Ке-Рд= ) ! (!+е-а+е-'а ! ) П (1 — е-а)=! а ~ я+ аая+ Лемма 2.
Пусть 1Е=~~'. Характер с!зХ(А) 5 6, п'3) модуля Х(А) принадлежит кольцу Х(Р), причем й.с!1Х(А) =еАФР. Пусть а„..., а, — попарно различные элементы системы положительных корней а+. Элементы Х ', Х ' ... Х ' З ! об- разуют базис модуля Х(А) 6 6, предложение 6 (ш)), причем для любого йенб имеют место равенства й. (Х"'„,Х"'., Х" „Е !) = [Ь, Х"'„, ... Х"'„18 ! + -1-(Х"'., ХХ,)ей. ! = =(Х вЂ” п,а, — ... — п,а )(Ь)(Х '„... Х ' 81), Таким образом, размерность пространства Х(А) " равна ф(и), Это показывает, что характер с!зХ(Л) определен, является эле- ментом кольца Х(Р) и что с!тХ(А)= ~ $(!А)еА-Р=Кек.
а Теперь достаточно применить лемму 1. Лемма 3. Пусть М есть й-модуль, носитель характера сЬ(М) которого содержится в конечном объединении множеств вида !А — Р+, П вЂ” универсальная обертывающая алгебра для Х вЂ” центр алгебры П, Ааеи "ч' и Х вЂ” соответствующий гомо- морфиэм алгебры Х в поле й (э 8, следствие 1 теоремы 2).
Предположим, что для любого элемента а~ Х зндоморфизм вм является гомотетией с коэффициентом у (г). Обозначим через 0 ~ множество таких элементов ) ен(У" (А.а+ Р) — Р, что множество Х+ Я пересекается с множеством 8прр (сп(М)). Тогда характер сп(М) является Х-линейной комбинацией характеров сЬХ(А) для АЯ Вм. Если множество Зпрр(с!з(М)) пусто, то утверждение леммы очевидно. Предположим, что Зпрр (сп(М)) Ф !Э. Пусть А- 19а Гл. Рп!. РАсгцеплекные п<>лупРостые АлГеБРы ли ! максимальный элемент из этого носителя и Г)пп МА=о!. Тогда сушествует й-гомоморфизм ф модуля (ь (Л))" в модуль М, который биектпвно отображает пространство (7(Л)') на МА (3 6, п'3, предложение 6(!)). Цеитральиьш характер модуля 7 (Л) равен вследствие этого ХАР поэтому Л я йт (Ль+ р) — р ($8, и'5, следствие 1 теоремы 2).
Это доказывает, что 0ч Ф Я, и позволяет провести индукцию по Саго'0м, Пусть Л, Лà — ядро и коядро гомоморфизма ф. Тогда последовательность й-гомоморфизмов Π— Р Л -Р (7 (Л)) — Р М Р й! — Р О точна, следовательно, с)ч(чИ) = — с)ч(0)+ тс1! 7 (Л)+ с)! ЛГ (3 7, п'7, формула (6)). Множества 8ирр(сЫ.) и тпрр(с)ГЛГ) содержатся в конечном объединении множеств вида р — РР. Для элемента геев эндоморфизмы ге и гу — гомотетии с коэффициентом Х (г). Очевидно, что 0 ~0 . С другой стороны, (Л+Я„)ДЯпрр(с)ГМ)=(Л) и ЛФ8пнрр(с)ччу), а следовательно, Лф0„и Сагг(0н < Сагй 0м.
Далее, 0 — это подмодуль модуля (7(Л))". Если Л'ее0 и Л'+ Я пересекает тпрр (с)ч Л) с: Яирр с)!7 (Л), то Л ~Л'+ Я ($ 6, и'1, предложение 1(!!)). Таким образом, 0д~0м. Так как Ь Д (7 (Л)А) = О, то Л ф 0ы поэтому Сагс(ОЕ < Сагй 0м. Теперь осталось воспользоваться предположением индукции. ТеоРБМА 1 (формула Г. Вейля для характеров). Пусть !Ив простой конечномерный д-моду.чь, а Л вЂ” его старгаий вес. Тогда ( е(ж) е"Р1.с)ччИ= ~ е(ач)е"'!Ачс!. в ~ в' l Рюж В обозначениях из леммы 3 УА — центральный характер модуля М 5 б„и'4, предложение 7).
Следовательно, ввиду лемм 2 и 3 элемент ч(.с)чМ является Е-линейной комбинацией таких элементов е"+Р, что р + р ен )Р' (Л + р). Но по лемме 7 из $ 7, п'7, с1,с)!чИ вЂ” антиинвариантный элемент„и его единственный максимальный член равен еь+Р, откуда следует утверждение теоремы. Ь ФОРМУЛА ГГРМАНА ВЕПЛЯ 1зЗ Пример. Положим й =- а( (2, гг), » = йН. Пусть а — такой корень расщепленной алгебры Ли (й, »), что а(Н) =2. Старшим весом й-модуля )т(т) является вес (4п/2)а. Следовательно, С)4(1Г (4П)) = (Е4 П4 а+у а — Е ~ П4 а У«)/(Еч "— Е Ч а) = ==Е (т/4а (Е~тФиа 1)/(Еа — 1)— — е-«т/Йа (ета+ е<т-иа-]- „1 1) — сап)а 1 е~т-и ад 1 .1 е-«т%а что, впрочем, легко вытекает из предложения 2 5 1, и'2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
