Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 37
Текст из файла (страница 37)
+ и(п(, причем и! ) 1, ..., и, ) 1, откуда сразу следует эквивалентность условий (ч) и (ч!), С другой стороны, Л(Н)= зир Л(Н ) и Л(Н) > О, поскольку Л вЂ” ненулевой элеи я я+ мент множества Р++. Следовательно, условие (ч) эквивалентно условию, что Л(Н,) ен (О, 1) для всех а еи !(.ь, т. е. условию (В!) из предложения б. $7.
коипипомегныв модули 1бб Последнее утверждение предложения 8 вытекает из следствия предложения 6 гл. Ч1, $2, и'3. Опгвдвлвнив 1. Предположилп что й — простая алгебра Ли. Микровесом расщепленной алгебры,7и (й, 5) называется элемент из множества Р++ — (0), удовлетворяющий эквивалентны.ч условиям (1), (В), (Гй, (1ч), (ч) и (ч1) предложений' 6, 7 и 8. Замечание. Предположим, что й — простая алгебра Ли.
Пусть Х'ч — граф Кокстера аффинной группы Вейля )р,фч). Напомним„что вершинами графа Х'ч являются вершины графа Кокстера Хч группы Ф'(н~) и дополнительная вершина О. Группа А(йч) действует на графе Х'ч, оставляя вершину 0 неподвижной, Группа Ап1(Х'ч) канонически изоморфна полу- прямому произведению группы А(!хч)/%'(Йч) на группу Гс (см.
гл. Ъ'1, $ 2, и'3, и гл. Ъ'1, $4, п'3); очевидно, что Ап1 (Х'ч) (0) = Гс (0); следовательно, множество Гс (0) состоит из 0 и вершин графа Хч, соответствующих весам й; при 1енУ (см. гл. Ч1, 2, предложение 5 и замечание 1 из и'3). Подводя итог, можно сказать, что микровесами будут фундаментальные веса, соответствующие тем вершинам графа Хч, которые можно получить из вершины 0 при действии элементами группьч Ап1 (Х'ч), В обозначениях гл.
Ъ'1, таблицы 1 — 1Х, из предыдущего вытекает, что существуют следующие микровеса: дла типа Ар(1) 1): вь йз... „вб для типа В~(1)~2): й,; для типа С~(1)~2): йр для типа 0ю(1)~3): й~ йс-~ йс для типа Е~'. вь й„; для типа Е;. вт Для типов Еы Р„и 6, нет микровесов. о. Тензорные произведения й-модулей Пусть Е, Р суть й-модули. Тогда Е ВР" с=(ЕЭР) +" при любых )ь, и~'ч* (гл. ЧП, $ 1, и'1, предложение 2(й)). Если модули Е и Р конечномерны, то Е = Х Е и Р = Х Р~; ха э ьяР следовательно, (ЕЭР)'= ~, Е ®Р".
ы ь яР. х+ь=г Таким образом, модуль Е ® Р с естественной градуировкой типа Р равен теизорному произведению градуированных модулей Е и Р типа Р. Пгедложсннб 9. !7усть Е, Р— простые конечномерные й-модули, старшие веса которых равны соответственно к и и. 166 Гл. 1'111. Ркс1цеилын1ые нолу11РОстып ллГеБРы л11 (1) Ко.ипоненти со старшим весом Х+)с — простой подмодуль в модуле ЕЯГ", порожденный поднрзстринсгвом (ЕЗР) +" = Е 61Р". (й) У вгех простых г!ог).нод!1.1ей .иоду:!я Ечу!" старшие веса не превосходят Л+ )к (см.
$ 9, предложение 2). Если а, рея р и Е" Зр Ф О, то а(Х и р()т. Следовательно, пространство (Е !б! р) " совпадает с Е' ®Г, его размерность равна 1, а Е+)к — старший вес модуля ЕЕ!у. Все Л а ненулевые элементы пространства Е бур примитивны. По предложению 4 нз $ 6, и'2, длина изотипной компоненты старшего веса Х+ )з в модуле Е®Р равна 1. Замечание. Воспользуемся обозначениял!н из предложения 9.
Пусть С вЂ” нзотипная компонента со старшим весом Х+ р в модуле Е ® Р. Тогда С зависит только от модулей Е н Р и не зависит от выбора подалгебры Кэртана 1) и базиса В. Иначе говоря, пусть 1)' — расшепляюшая подалгебра Картаиа алгебры Ли й, Я' — система корней расщепленной алгебры Ли (й, 1)'), В' — базис системы корней Я'. Пусть Х', р' — старшие веса модулей Е и Р соответственно относительно подалгебры Картава 1)' и базиса В', и пусть С' — изотипная компонента старшего веса Х'+ р' в модуле Еуз! Р. Тогда С' =С.
действительно, чтобы это проверить, можно, расширив основное поле, считать поле Ф алгебраически замкнутым. Тогда существует автоморфизм з !и Ан!а)й), который переводит 1) в 1)', Я в )1' и В в В'. Пусть 5 !и !и 5ь (Е В Р) — автоморфизм, обладающий свойствами, перечисленными в предложении 2 из п'1. Тогда 5((Е$1Р) +")=(ЕЯР) +" н 5 (С) С. Следовательно, (ЕЕ! Р) '+" ~ С'П5 (С) = С'ДС, откуда вытекает, что С' С. Таким образом, каждым двум классам простых конечномерных модулей можно канонически поставить в соответствие' третий класс; иначе говори, определен закон композиции на множестве Гб классов простых конечномерных й-модулей.
Множество 1В с этой структурой канонически иэоморфно аддитивному моноиду Ре+. Следствие 1. Пусть (й,)  — семейство фундаментальныв весов относительно базиса В, Пусть "г,= Х т,й,ыР++. ОбоамВ значим через Е, простой й-модуль со старшим веса.и й, для любого аенВ. В й-модуле (С',) ((й) аЕа) изотипная компонента амВ со старшим песок! )ь имеет длину 1. Это получается из предложения 9 индукцией по Х т,. амв Следствие 2. Предположим, что поле й равна 1ч, С или ульграметрическо.иу полному недискретному полю.
Пусть О— группа Ли с алгеброй,Пи 9, Предполозким, что для каждого фундаментального предстивления р алгебры Ли 9 существует такое линейное аналитическое представление р' группы б, что р = а $ Х КОИКЧ!!ОМЕРНЫВ МОДУЛИ 1ат = Ь (р'). Тогда для каждого конечномерного линейного представ- ления и алгебрь! Ди й существует такое линейное аналитическое представление и' группы 6, что и = В(п'), Воспользуемся обозначениями из следствия 1, Тогда сущест- вует такое представление о группы Ли 6 в пространстве Х= = ® 1(Я 'Е,), что представление Е (о) согласовано со структуаав рой й-модуля на пространстве Х (гл.
1!1, $3, п'11, следствие 3 предложения 4!). Пусть С вЂ” изотипная компонента со стар- шим весом Л в пространстве Х. С учетом предложения 40 из гл. 1П, $ 3, п'11, достаточно доказать, что компонента С устой- чива относительно группы о(6). Пусть дан 6 и ф=Ад (а), Для всех элементов а ен й имеет место равенство о (у) а» о (д) =(7р(а))». С другой стороны, ф — автоморфизм алгебры й, кото- рый переводит ч в Ф',  — в И'= 7»'(й, 11'), базис  — в базис В' системы корней 7г' и вес ь7„— в старший вес й,' модуля Е, относительно подалгебры Картава 7Г' и базиса В' (поскольку автоморфизм 7р переводит Еа в й-модуль, изоморфный Е„), Следовательно, автоморфизм ф переводит вес Л в вес ~.нь„й,'.
Ввиду приведенного выше замечания мы получаем, что а(й)(С) =С. Пяндложвнин 10. Пусть Л, р ен Ру+ и Е, Р, 6 — простые й-модули со старшими весами Л, р и Л+ и соответственно. Пусть 7о (соотв, го', гоа) — множество весов модуля Е (соотв. Р, 6). Тогда гоа = го+ Ф'. Так как Е= ЯЕ', Р =- ® Р', то модуль ЕЭР есть прямая уаР а ъР сумма подпространств (ЕЭР)'=- ~ Е'ЭР'. У+а 7 По предложению 9 модуль 6 отождествляется с й-подмодулем модуля ЕЭР, поэтому гон с: го+ М". Имеет место равенство 6'=6Д(ЕЭР)' и достаточно показать, что 6П(ЕЭР)'+'ФО для танго и очную'. Пусть (е, „...
е„) (соотв. (17,..., )Р))— базис модуля Е (соотв. модуля Р), образованный элементами, каждый из которых принадлежит некоторому пространству Е (соотв. Р'), причем е!~Е (соотв. 1! шРа). Элементы е7З17 образуют базис пространства ЕЭР. Предположим, что наше утверждение неверно. Тогда существует такая пара (!', 1), что у всех элементов модуля 6 координата, занумерованная индексом (ь,!), равна нулю, Пусть 6 — универсальная обертывающая алгебра для й, 6' — пространство, дуальное к 6, а с — копроизведение в алгебре 6, Пусть через»! (и) (соотв, у! (и)) 168 ГЛ. УП!. РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ е обозначается координата с индексом ! (соотв. 1) элемента и(е!) (соотв. и(1!)) для любого и ен У; пусть г!1(и) — координата с индексом (й 1) элемента и (е, йБ )!). Получаем, что х;, у, ги ее 0'. Так как элемент е, порождает й-модуль Е, то х! чь 0 и, аналогично, у!~ О.
По определению й-модуля ЕЗР (гл. 1, $3, п' 2), если с (и) = ~ и, !3! и'„то г; ! (и) = ~ х, (и,) . у ! (и',) = (с (и), х, !3! у!). Другими словами, гм является произведением элементов х! и у в алгебре 11'. Так как эта алгебра не имеет делителей нуля (гл. П, $ 1, п'5, предложение 10), то гм Ф О. Поскольку для любого элемента и~У выполняется включение и(е, Зг!) ~ О, мы пришли к противоречию, б. Дуальный О-модуль Пусть Е, Р суть й-модули. Напомним (гл. П, 5 3, и'3), что пространство Ноте(Е, Р) снабжено канонической структурой й-модуля.
Пусть ф — элемент веса Л в модуле Нота(Е, Р). Если 1Аее 11*, то ф(Е'") сР ~ (гл. ЛГП, $ 1, п'1, предложение 2(й)). Если Е и Р— конечномерные модули, то элементы веса Л в модуле Нот,(Е, Р) — это градуированные гомоморфизмы степени Л в смысле А1й., с)!ар. П, в 11, п'2, йейпййоп 4. ПРедложение 11.
Пусть Š— конечномерный й-модуль. Рассмотрим а-модуль Е'=Ноте(Е, й). (1) Для того чтобы элемент Л~Р был весом модуля Е', необходимо и достаточно, чтобы элемент — Л был весом мо. дуля Е. Кратность веса Л в модуле Е' равна кратности веса — Л в модуле Е, (й) Если модуль Е прост и ы — еео старший вес, то модуль Е" прост и еео старший вес ривен — нь(ы) (см. п'2, замечание 2), Рассмотрим поле й как тривиальный й-модуль, все элементы которого имеют вес О.
Согласно сказанному выше, элементы модуля Е' веса Л являются гомоморфизмами модуля Е в модуль й, равными нулю на пространствах Е" при 1А~ — Л. Это доказывает утверждение (1). Если модуль Е прост, то и Е" прост (гл. !, в 3, и'3), и второе утверждение вытекает из замечания 2 п'2. Замечания. 1) Пусть модули Е н Е' такие же, как в предложении 11, а автоморфизм о Бн АП1(й, 1!) таков, что в обозначениях нз $5, п' 1, е(о)=гсь ($2, и'2, следствие теоремы 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
