Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ЧП, 5 1, и'3, имеет место равенство т'= 9 'т'". каем" С другой стороны, если (т" Ф О, то из предыдущего видно, что 1х(Н,)я Е для всех корней аен В, откуда следует, что р я Р, 156 Гл. А и!, РАсщепленные полуиРостые АлГеБРы ли ! Это доказывает утверждения (!) и (й). В то же время ясно, что эндоморфизм Ь„ приводится к диагональному виду. Отсюда вытекает утверждение (1!!), Следствие. Пусть р — конечномерное представление алгебры Ли д и Ф вЂ” билинейная форма, ассоциированная с представлением р. (1) Если х, у я до, то Ф(х, у) е= чг и Ф(х, х) я (1+.
(В) Если представление р инъективно, то ограничение формы Ф на подалгебру 1я невырожденно. Утверждение (!) следует из предложения 1, поскольку элементы множества р принимзют на пространстве 5о рациональные значения. Если представление р ннъективно, то форма Ф невырожденна (гл. 1, $ 6, и'1, предложение 1); следовзтельно, ограничение формы Ф на пространство 5 невырожденно (гл. ЧП, 5 1, п'3, предложение 10(й!)). Леммл !.
Пусть У вЂ” некоторый д-модуль и р — соответствуюГцее представление алгебрь! Ли д. (!) Если а — нильпотентный элемент алгебры Ли д и если элемент р(а) локально нильпотентен, то для любого Ь ен д р (еаг аЬ) = еР Рир (Ь) е-Р (ы (В) Если а ~ )Г и образы элементов пространств д и д " при представлении р локально нильпотентны, то множество весов модулч У устойчиво относительно отражения э„. В предположениях утверждения (!) имеет место равенство р ((аб а)" Ь) = (аб р (а))" р(Ь) для всех и ) О, н, следовательно, р(е'г'Ь) =е"гс! >р(Ь).
С другой стороны, можно доказать так же, как и утверждение (!!) леммы 1 из гл. ~Л1, $3, и'1, что справедливо равенство Е'г Р Ьнр (Ь) = ЕР (ч)р (Ь) Е-Р Ы! Пусть выполняются предположения утверждения (И). Пусть 0„= е' ье' — е' ". По утверждению (!) существует такой элемент 5 я 0$. (У), что р(0„Ь) = 5р(Ь) 5 ' для всех Ь ен д. Значит, эндоморфизм 0„!(я сопряжен к эндоморфизму э, ($ 2, п'2, лемма 1). Пусть Я. — вес пространства 1'.
Существует такой ненулевой элемент х пространства У, что р(Ь)(х)=Л(Я!)х для всех бе= !я. Таким образом, мы получаем, что 'р(й)о х=о о( эьй)х=о Я ( эьйях (гак)(Ь) о х прн всех бее (), Следовательно, э„Я. — вес модуля (т, ч т. конечномеРные модули ПРедложение 2. Пусть У вЂ” конечномерныи 8-людуль и з е= АН1ь(9). (1) Существует такой автоморфизм 5 е- :61 (1'), что (з(х))У = =5х,5 ' для всех х~ 8. (и) Если зев Ап(,(й), то в качестве 5 можно выбрать элемент из 51 (У), относительно которого устойчивы все ц-подмодули модуля У.
Утверждение (й) следует из леммы 1(1). Пусть теперь з ен Ап(,(й). Обозначим через р представление алгебры Ли й, определенное модулем У. По утверждению (й) представления р и р ~ з становятся эквивалентными после расширения поля скаляров. Следовательно, они просто эквивалентны (гл. 1, $3, и'8, предложение 13), откуда вытекает существование искомого автоморфизма 5.
Замечание 1. Пусть автоморфизм 5 удовлетворяет условию предложения 2(1), и пусть ()'=з(()). Обозначим через з* изоморфизм Х» лье ' пространства 1)" на ()'", Ясно, что 5(У )= У' . В частности, имеют место Следствие 1. Изоморфизм з* переводит веса модуля У относительно подалгебры Картана (1 в веса модуля У относительно подолгебры Картина (1', два соответствующих друг другу веса имеют одинаковую кратность. Следствие 2.
Пусть шеи йг. Каков бы ни был вес Хеи()', векторные подпространства У и У имеют одинаковую разл~ерность. Ачножество весов модуля У устойчиво относительно действия группы )у'. Действительно, изоморфизм ю имеет вид з' для некоторого э ен Ап(,(й, ()) ($ 2, и'2, следствие теоремы 2). Замечание 2. Ввиду следствия предложения 2 и замечания 2 из 3 3, и'3, можно говорить о весах модуля У относительно канонической подалгебры Картана алгебры Ли й и о кратностях этих весов. За,иечание 3.
Лемма 1(1) и предложение 2 остаются справедливыми, причем проходят те же доказательства, если не предполагается, что алгебра Ли й расщепленная. 2. Старилие веса простых копечномерных 9-модулей Теовемк 1.,((мя того чтобы простой й-модуль. имел конечную размерность, необходиио и достаточно, чтобы его старший вес принадлежал Р„.», 158 ГЛ. У!П. РАСШЕПЛЕННЫЕ ПОЛУИРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 2 Обозначим через )т некоторый простой й-модуль, а через го — множество его весов. а) Предположим, что )т — конечномерный модуль. Тогда Я вЂ” непустое конечное множество (предложение 1), у которого есть максимальный элемент Б2.
Пусть а ен В. Тогда 2В + а Ф го, а это доказывает, что са — старший вес модуля )т ($6, п'2, лемма 2). С другой стороны, существует гомоморфизм алгебры Ли а((2, й) в алгебру Ли й, который переводит элемент Н в элемент Н; по предложению 2(1) из $1 в(Н ) — целое число ~ О, а следовательно, 2Б еи Р, +. б) Предположим, что у модуля )т имеется старший вес 2В, который принадлежит Р++. Пусть аеи В, и пусть е — примитивный элемент модуля )т веса ы.
Положим е,. = Х',е для всех т 1>О, от=в(О,)еий и 22'= ~ Фер Согласно предложению 1 1-2 из $1, п'2, Х,ет„., =О. Если 6~ В и 6 Ф а, то [Х„, Х,) =О, т+! т+! а значит, Хает+!=ХБХ, е=Х, Хзе=О. Если ет+! мыл, то из этих равенств мы заключаем, что е э, — примитивный элемент, а этого не может быть (5 6, предложение 3(1)); поэтому е .„=О. По следствию предложения 1 $1, и"'2, элемент Ф устойчив также относительно действия подалгебры Б„, порожденной элементами Н„Х, и Х „. Следовательно, алгебра Ли Ь„ редуктивна в алгебре Ли й, и, таким образом, сумма конечно- мерных подпространств модуля )т, устойчивых относительно действия Б„является й-подмодулем модуля )т (гл. 1, $ 6, п'6, предложение 7). Поскольку эта сумма не равна нулю, она совпадает с )т. Отсюда следует, что эндоморфизмы (Х,)Р и (Х )„ локально нильпотеитны.
Учитывая лемму 1(й), получаем, что множество го устойчиво относительно в, для любого корня а. Следовательно, множество со устойчиво относительно группы (Р'. Таким образом, каждая орбита группы )Р' в множестве Р пересекается с множеством Ртэ (гл. И, $ 1, и'10). С другой стороны, если Л~со()Р++, то Л=св — ~ п,а= ~ п',а, где атв итВ п,си)А) и п'„)О при всех аеиВ (гл. Ч, 5 3, п'5, лемма 6). Следовательно, М() Р++ — конечное множество, и, значит, Ж конечно. Так как камсдый корень имеет конечную кратность (3 6, п'1, предложение 1(И)), то модуль 1/ конечномерен.
Следствие 1. Если Л еи (1' и Л ф Р, „, то й-модуль Е (Л) $6, п'3) бесконечномерен. Следствие 2. Когда Л пробегает .множество Р++, й-модули Е (Л) образуют .множество представителей классов простых конечно- мерных й-модулеи, $7. консч!!Омер!»ые модул»! 3-модуль Е(Л) называется фундаментальным й-,модулем, если Л вЂ” фундаментальный вес; соответствующее представление называется фундаментальным представлением алгебры Ди й; такое представление абсолютно неприводимо 5 6, и'2, предложение 3((ч)).
Если à — конечномерный й-модуль н Лч= Рээ, го изотипная компонента тива Е(Л) в модуле У называется иэотипной компонентой старшего веса Л модуля Г. Замечание (. Пусть 'ЛчнРчэ, рь — представление алгебры Ли й в модуле Е(Л), и чп АШ(й) и о — канонический образ элемента э в группе Ап((В, В) 5 б, и'3, следствие ( предложения 5). Тогда представление рзо э эквивалентно представлению р,„; действительно, если ген Ап(ь(й), то представления рьи э и р,ь эквивалентны представлению р„(предложение 2). Если подалгебра Картава (! и базис В устойчивы относительно автоморфизма э, то модуль, отвечающий представлению р„и э, прост и его старший вес равен оЛ. В частности, фундаментальные представления переставляются между собой под действием автоморфизма э, и эта перестановка тождественна тогда и только тогда, когда з ~ Ап1ь (3).
Рис. 1. Пввдложвнив 3. Пусть (т — конечномернь!й й-модуль и го —,чножестео весов л»одуля К. Пусть Лчп У, а чн 11, 1 — мноз!естзо такик чисел 1еп Х, что Л+1ачнУ, а р (соотв. — д)— наибольший (соотв. наименьший) элемент множества 1, Пусть т, — кратность веса Л+ 1а. (1) 1=-( — д, р) и у — р =Л(Н„). (В) Длэ каждого целого числа и ~(0, р+д) веса Л+(р — и)а и Л + ( — д+ и) а сопряжень! с пол!ои(ью отражения э и п1-ч»р и!р — и.
(ш) Если 1~ Х и1 ч. (р — д)/2, то эндоморфиэм (Хь)ч есть инъектизное отображение пространстеа К +' в пространство )! +1+ ' (»ч) Функция 1» — ьт! возрастает на отрезке ( — у, (р — д)/2) и убывает на отрезке ((р Ч)/2 Р) 1ВО Гл. !'Ы! Рхсщепле1П1ые полхпРОГтые злГеьРы л11 2 Пусть аепВ. Снабдим )Г структурой 61(2, й)-модуля, определенной с помощью элементов Ха, Х „На алгебры Ли й. Тогда каждый ненулевой элемент пространства )2'1Р примитивен. Следовательно, (Л+ ра) (Н ) ~> О и (Х „)' РВ2Р« Ф 0 для О < Г < (Л + Ра) (Н,) = Л (Н„) + 2Р (й 1, п'2, предложение 2). Отсюда следует, что )ГЕ21«чь 0 для В >Г>р — (Л(Н„)+ 2Р), поэтому р+ д~)Л(Н,)+ 2р, Применяя это к корню — а, мы получаем, что р+ д)~Л(Н-а) + 2д = — Л(Н«) + 2д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
