Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(й) Для любого веса лен 11* Уг — это множество таких эле. ментов хе= У, что Нх=Х(Н)х для всех Не=11. Имеет место равенство У = Я УА, и каждое пространство УА конечномерно. А~1* Пространство У имеет разлгерность 1, и каждый вес модуля У имеет вид ы — ~~' п,.а, где и — целые числа )О. ааэ (й() Модуль У неразложим, и его коммугант состоит из скаляров.
(1ч) Пусть 0(й) — универсальная обертывающан алгебра алгебры Ли й и »У вЂ” центр алгебры П (й). Существует единственный гомоморфизм у, алгебрьг Я в поле й, такой, что для всякого г ее .'гу зндомор4из.и гу является голготетией с коэ44ициентом т (г). Пусть 0((4) — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли Р+. Тогда П(й)=П(п ).П((г+) (гл. 1, 5 2, и' 7, следствие б теоремы 1). Значит, У= У(а). о =И(п ). П(6„). о = У(п ).
о. %а модели пал елсиголытоОП ПОЛЕПеостОП кЛгеВЕОП ЛИ !Лт Вследствие предложения 2 (й) из гл. П1, $1 и' 1, если 6ее!1, то ограничение 6г!Тх — гомотетия с коэффициентом Л(6). Следовательно, Тхс: )тх. С другой стороны, нз формулы (1) еле. дует, что Х т,. л а на — ° — на 1 "' а Сумма пространств (т' прямая (гл.
Ъ'!1, $ 1, и' 1, предложение 3). Таким образом, )тх =Ты )т — прямая сумма пространств )тх и Р— множество таких элементов хее !т, что 6х=Л(6)х при всех 6ен5. С другой стороны, число б(гпух не превосходит числа таких наборов (рь..., р„) ен 6!", что р~а, + ... + р„а„=- =а — Л. Это доказывает, что Р" =О, если а — ЛЕВ ~. Ма, что аде б!т )т" = ! и что все пространства (т конечномерны. Пусть с — элемент коммутанта модуля (т. Тогда для всех 6 ее !! имеют место равенства 6с(о) = с6(о) =ы(6) с(о), и, следовательно, с (о) ее 1'; поэтому существует такой элемент ! ее 6, что с(о) =!о. Таким образом, для каждого набора (р„..., р.) ~ й(" так что с=!.1.
Поэтому, коммутант модуля )т состоит из скаляров. Это доказывает утверждение (1ч), а также неразложимость модуля )т. Опееделение 2. Гомоморфизм т, из предложения ! (1ч) называется центральным характером й-модуля )т. ПРедлОжение 2. Пусть (' есть й-модуль, порожденный примитивным элементом е веса а, и Х вЂ” полупростой й-модуль.
Обозначим через Ф множество гомоморфизмов из й-модуля )т в й-модуль Х. Тогда отображение ф ~-а ф(е) — изоморфизм век.- торного пространства Ф на векторное пространство Х . Ясно, что ф (е) ее Ха для всех ф я Ф. Если ф (е) = О и ф ы Ф, то ф=О, поскольку элемент е порождает й-модуль Р. Пусть ! — ненулевой элемент пространства Х",.
Покажем, что существует гомоморфизм ф ее Ф, для которого ф(е) =1. Пусть Х'— подмодуль модуля Х, порожденный элементом 1, По предложению 1 модуль Х' неразложим и, следовательно, прост, поскольку модуль Х полупрост. Элемент (е, 1) — примитивный элемент в й-модуле )тр',Х. Пусть !У вЂ” подмодуль модуля )тр',Х, )48 !'л, !'))! Рлсшеплвннын полупоостыг )лгезрь! пп е порожденный элементом (е, !). Имеет место включение )у'ДХс: ~ рг, (А!) = Х', следовательно, й) П Х = 0 или А) Д Х = Х'. Если А)ДХ=Х', то модуль А! содержит линейно независимые элементы (г, )') и (О, )'), оба — примитивные элементы веса а. Но этого не может быть (предложение 1), а значит, У П Х = О. Таким образом, рг, )А) — ннъектнвное отображение й модуля )ь! в модуль )>.
Это отображение сюръектнвно, поскольку его образ содержит элемент г. Значит. )р= ргтгй — такой гомоморфизм й-модуля е' в й-модуль Х, что ч>(е) = !. 2. Простые модули, имеющие стариеий вес Напомним, что задание базиса В определяет на пространстве »ч отношение порядка (гл. Ч1, 5 1, п' 6). Неотрицательными элементами пространства »а будут линейные комоинапии элементов множества В с рациональными коэффициентами )О. Вообше мы рассмотрим следуюшсе отношение порядка между элементами е„)) из»': >ь — )г больше О, если разность >) — р является линейной комбинацией элементов из множества В с положительными рациональными коэффициентами.
Лемма 2. Пусть )г — простой й-модуль, а а — вгс модуля г'. Тогда следующие условия эквивалентно): (!) всг веса модуля )т имеют вид а — р, гдг р — радикальный положительный вгс; (В) а — наибольший вгс модуля )т!); (Ш) а+ а нг является весом модуля г' ни для какого корня аен В. (1))) существует примитивнь)й элемент веса а. (!)=ь (!!)=ь(!!!). Это очевидно, (Ш) =ь (!у). Предположим, что условие (Н1) выполняется. Тогда для любого элемента йен» подпространство Кег (й е — а (й)) не равно нулю, содержится в е' и устойчиво относительно эндоморфизмов»е.
Индукцией по Шш» мы убеждаемся в том, что существует такой ненулевой элемент о в пространстве», что»ос: йо. Из условия (В!) вытекает, что и„о=0, а значит, о — примитивный элемент. ') Наибольший аес модуля )г мы будем называть его стар)иим весом. Аналогично ваодитсв понятие младшего веса. — Прил. иерее. т э 6. ь1Одулп птд Расщепляю!ОГ! пОлупРООТОГ! ЛлгпБРОРт ли !49 (!ч) =Р (!), Пусть о — примитивный элемент веса со. Так как модуль 1' прост, то как й-модуль 1г порождается элементом о. Таким образом, утверждение (!) следует из предложения 1. Ч.
Т. Г1. Таким образом, для простого 1рмодуля существование примитивного элемента эквивалентно существованию старшего веса илн существованию максимального веса. Существу!от такие простые ь1(2, С!.модули !г, что для л!обоа подалгебры Картава 11 алгебры Лн рй(2, С) модуль Г не имеет никаких весов ($ 1, уа)важнсние 14ерь Этн модули бсскоиечаомерны над по. лем С 1э 1, п 3, теорема 1). Првдложаниа 3. Пусть )г — простой ц-модуль со старшил! весом га. (!) Примитивными элементами модуля )г являются ненулевые элементы пространства )г . (Я) Рассматриваемь!й как 11-моду~!ь модуль )г полупрост. (Ш) )г= ® 1'х.
Для каждого веса 11~1>' проетранство )гх Лмь" конечномерно. Кроме того, й!т 1' =1. (!ч) а-модуль )г абсолютно прост. Утверждение (!), (Я), (!Я) следуют из предложения 1 и леммы 2. Утверждение (!ч) следует из предложения 1(Ш) и А1д., сЬар. ЧП1, 3 7, п' 3'). Слядствив. Если 1г — конечномерный модуль, то канонический гомоморфизм с! (3) — Епс! ()г) сюръективен. Это вытекает из утверждения (!ч), см. А1а., с)!ар. Чш, $ 3, и' 3'). Првдложянив 4. Пусть )г — простой й-модуль со старшим весах! са, Х вЂ” полупростой д-модуль и Х' — иэотипная компонента типа 1г в модуле Х.
Тогда Х' — подмодуль модуля Х, порожденный подпросгрансгвом Хп. Длина этого модуля равна размерности пространства Х . Пусть Х" — подмодуль в Х, порожденный подпространством Х . Ясно, что все подмодули модуля Х, изоморфные модулю 1', содержатся в модуле Х". Следовательно, Х'с: Х". Но по предложению 2 имеет место включение Х" ~ Х'.
Следовательно, Х'=Х". С другой стороны, пусть Ф вЂ” множество ') См, также Алг., гл. Ч111, э 4, п'3, и Алг., гл. ЧШ, $ !3, п' 4.— Прим. персе. а! См. также Але., гл. ЧШ, 5 13, и' 4. — Прим. иерее. !50 гл. пьь. РАсщньлиьныь полупгостььв Алгенгы ль! 3 гомоморфизмов й-модуля (ь в й-модуль Х. Длина модуля Х' равна динь Ф (Алг., гл. Ч1!1, $4, и' 4), а значит, с((ьпь Х, (предложение 2). 8. Теорема существования и единственности Пусть Лень!'.
Так как !ь„=(!оп., и и„=!(ь~, !ь+1, то отображение ьь+ п + Л(п) (где ьь ен 5, и ен и.,) алгебры Ли 1+ в поле й является 1-мерным представлением алгебры Ли 0„. Обозначим через Ц векторное н-пространство, снабженное структурой (ь+-модуля, которую определяет зто представление.
Пусть 6(й), У((ь~) — универсальные обертывающис алгебры для й, Ь.ь, причем 6(0+) рассматривается как подалгебра в 6(й); напомним, что У(ь)) является свободным правььм'П(0+)-модулем (гл. 1, $2, и' 7, следствие 5 теоремы 1). Положим Х(Л) =П(й) 9о(ь.„)ь-ь. (2) Тогда Х(Л) — левый й-модуль. Обозначим через е его элемент 191. Пгвдложвние Б. (ь) Элемент е — примитивный элемент из У(Л) веса Л, и е порождает Х(Л) как й-модуль. (!!) Пусть У~(Л) = ~ Х(Л)", .7юбой подмодуль модуля Х(Л), к, я отличный от Х(Л), содержится е модуле Х+(Л). (!!1) Существует наибольший подмодуль Рк модуля Х(Л), от- личный от Х(Л). ФактоРмодУль У(Л)/Рк пРост, и его стаРший вес равен Л.
Ясно, что элемент е порождает й-модуль У(Л). Если хек(ь+, то имеют место равенства х.е =(х.!)91=(1.х)9! = = 1 9 х, 1 = Л (х) (1 Ж 1) = Л (х) е, откуда следует утверждение (!). !)-модуль Х (Л) полупрост (предложение 1). Если 6 есть й-подмодуль модуля У(Л), то 6= 2„!сь'() Х(Л)~). ПредположеььМ" ние 6ДУ(Л) ~0 влечет за собой 6= 2(Л), так как б!ьпХ(Л) =1 и й-модуль 2 (Л) порождается элементом е. Поэтому если Пь ~ 2 (Ц, то 6 = ~ 6 П Х (Л)" с: с ~ (Л). я~к Пусть гк — объединение отличных от Х(Л) подмодулей модуля Х(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
