Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Следовательно, на пространстве а единственным образом определяется градуировка типа Я, согласованная со структурой алгебры Ли на а, относительно которой элементы х„, й„, х, имеют степени а, О, — а соответственно. Для произвольного элемента ренЯ мы будем обозначать через ав множество однородных элементов степени и в алгебре Ли а относительно указанной градуировки. еуемма 5, Пусть еееа. Для того чтобы ханов, необходимо и достаточно, чтобы равенство (Й„, е) =(и, ач) е выполнялось при всех а ее В. Пусть репЯ, и пусть а'~' — множество элементов хепа, для которых равенство [п„х]=(р, аЧ)х выполняется при любом аен В, Сумма подпростраиств а<в' прямая, поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что «вс:а<в>.
Для этого рассмотрим корни а~ В. Пусть и — такой эндоморфизм векторного пространства а, что и~ ав=(р, ач)21. тогда и — дифференцирование алгебры Ли а, причем их=(ад й,) ..х для х=х, х=й, х=х . Вследствие этого и=вой„что и доказывает наше утверждение. Замечание. Из леммы 5 следует, что любой идеал алгебры Ли а однороден, так как он ввлкетсн подпространством, устойчивым относитечьно зндоморфнзмов аб йо.
Обозначим через Я+ (соотв. через Я ) множество линейных комбинаций элементов базиса В с целыми неотрицательными (соотв. неположительными) коэффициентами, не равными одновременно нулю. Положим а+ — — ~ «Р и а = Х„ ав. Так о ее а+ выа как Я + Я с= Я и (г + Я с Я, то подпространства а и а будут подалгебрами алгебры Ли а, ПРБДложение 2, (1) АлгебРа Ли ат поРождаетсЯ семейством (х,)вы в (В) Алгебра .Чи «порождается семейством (х „), (И) Семейство (й„)„в является базисом векторного пространства а'.
(1ч) Векторное пространство а — прямая сумма подпространств а+,а'иа. Пусть х (соотв Р) — подалгебра алгебры Ли а, порожденная СЕМЕЙСТВОМ (Хо)оыа (СООТВ, (Х-о)оке)„И Р вЂ” ПОДПРОСТРЕНСТВО векторного пространства а, порожденное семейством (йо)о в. Ввиду того что х„— однородные элементы подалгебры а+, )24 Гл. Уп!. РАсщепленные полупРостые АлГеБРы ли Э г — градуированная подалгебра в аа, а значит, [1), г] с: г и 1) + г — подалгебра алгебры Ли а. Так как [х-а ха! баайа~ то [х „г] ~))+т. при всех аенВ. Таким же образом мы получаем, что р — градуированная подалгебра алгебры Ли а, [!), 1)) ~)), вследствие чего !)+ !) — подалгебра алгебры Ли а и [х„))) с )) + г) для любого корня аеВ.
Положим а'=г+ 1)+ )). Проведенные рассуждения показывают, что алгебра Ли а' устойчива относительно эндоморфизмов абха, абЬ и абх а прн всех ась В и, следовательно, является идеалом в алгебре Ли а. Так как а' содержит элементы ха, Ь„х а для всех корней а ен В, то а' = а. Таким образом, включения г с а4, )) ~ аа, 9 с а являются равенствами, что и доказывает предложение. ПРедложенив 3. Алгебра Ли а+ (соотв. а ) — свободнал алгебра Ли, базисом которой служит семейство (х ), в (соотв. (х „) -в) (см. гл. П, $2, и'3).
Пусть Š— подалгебра Ли алгебры Е, порожденная множеством В. Вследствие теоремы 1 из 5 3 гл. 11 алгебру Ли Е можно рассматривать как свободную алгебру Ли над В. Левое регулярное представление алгебры Е очевидным образом точно. Его ограничение на Е определяет точное представление р' алгебры Лн Е в пространстве Е. Пусть ф — гомоморфизм алгебры Ли Е на алгебру Ли а, который переводит элемент а в х, для каждого аен В. Тогда эндоморфизм р(ф(а)) при любом аенВ является оператором умножения слева на элемент а в алгебре Е, поэтому р ° ф=р', и это показывает, что отображение ф инъективно. Таким образом, семейство (х,) в является базисом алгебры Ли а . Так как 0(х,) =х, при всех а (ср. лемму 4), то семейство (х,), в является базисом алгебры Ли а+.
в. Теорема суи(ествоваяия Сохраним предположения и обозначения предыдущего пункта. Напомним, что если а, йенВ и аФ 8, то п(8, а)(О, причем равенство и(8, а) = О влечет за собой и(а, 8) = О (гл. И, 5 1, и'1, формула (8)). Для каждой пары (а, 8) различных элементов множества В положим )-а)а а) х„, е — — (аб ха) ' хв, )-а ни а) уа, в = (ЕГ1 х-а) 4 $4. РАсшеплепные полупРостые АлГеБРы лп 1ЕБ Ясно, что х, аееа+, У, Бе а . Если 0 — канонический автомоР- физм алгебры Ли а, то 0(х, ) =у„ Лемма 6.
Пусть а, рееВ и ать О. Тогда [а+, у,, ] =О, [а, х„, ] =О. Вторая формула получается из первой при применении автоморфизма О. Для доказательства первой достаточно показать, что [х„, у„] =0 при всех у~В. Рассмотрим три случая. Случай 1, у ~ а и у чь ]1. При этом хт перестановочен с элементами х, и х, а следовательно, и с у, Случай 2. у=р. В этом случае элемент х„перестановочен с элементом х „, поэтому = — (абх,)' "е''4йа= — п(а, 0)(абх,) "'Б'"х „. Если п((3, а) < О, то последнее выражение равно нулю, так как (а41 х „) . х „= О.
Если и (О, а) = О, то п (а, р) = О и [х, у,, ] = О. Случай 3. у=а. В алгебре эндоморфизмов пространства е имеют место равенства [ — аб й„, айх „] = 2 ай х, н [айх„айх „]= — абй„ поэтому ввиду леммы 1 из 5 1 будет выполняться соотношение ] а!1 х„(а4( х,) =(1 — п(р,а))(а4(х „) 4Б' 4( — абй,— п(р,а)). Следовательно, [х, уа,й]=~а!)х„(абх,) "' '"']х + + (ай х,) ' " ' ' Го (ай х„) х = — (1 — п([3, а))(абх ) "!ели(а4(Ь„+п([1, а))х „+ + (М х-а) (ЕГ(х44) Х-Б. Так как [Ь„х ]+п(р, а)х =0 и [х„х ] =О, то [х, у,,а] =О. Лемма 7. Идеал и алгебры а+, порожденный элементами х, Б (а, Р ы В, а чь [1), будет идеалом в алгебре ц.
Идеал алгебры а, Гт уп!. РАсщепленные полупРостые АлГевРы лп [На, Н)=О, [Н„ХВ) — п(6, а) Ха — — О, [Н„, Х )+п(О, а) Х =О, [Х, Х,1+ Н,=О, [Х„, Х )=О (апХа) !К !Х =О (айХ а) !' !Х „=О (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (а Ф 6), (а ФО), (а ~ 6). Пусть ген й и 1с!и!ф Тогда условие ген й!' равносильно тому, что при всех а ен В выполнено равенство [Н„4 =(р, аУ) е. Это следует из леммы 5. Так как аа() (и+ Ои) =О, то каноническое отображение подпространства а' на Оа является изоморфизмом.
Таким образом, семейство элементов (На)„ — базис векторного пространства Оа, Мы будем обозначать коммутативную подалгебру О' алгебры порожденный элементами у„з (а, 6~ В, ачьЯ, — идеал в алгебре а, ровный 0 (и). Пусть п'= ~, ях, Так как ха з — однородный элеа,аыз, аааа мент алгебры Ли а, то [аа, п'] с: и' (лемма 5 и предложение 2). Обозначим через Н (соотв. через )т) универсальную обертывающую алгебру для а (соотв. а+) и через о — представление алгебры (т, построенное по присоединенному представлению алгебры Лн а. Идеал алгебры Ли а, порожденный подпространством и', равсн о(Н)и'. Так как а=па+ аа+а (предложение 2), о(а )и'=О (лемма 6) и о(!та)и'с: п' по доказанному выше, то по теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта п(Н)и'= = о()т) и', Этим доказано первое утверждение леммы.
Из него легко получить, что идеал алгебры Ли О(а+) =а, порожденный элементами О (ха, ) = у, а (а, [)я В, а Ф р), совпадает с идеа. лом 0(и) алгебры Ли а. Ч. Т. Д. Идеал п+ Ои алгебры Ли а градуированный, так как он порождается однородными элементами. Вследствие этого а/(и+ Ои) тоже имеет градуировку типа Я. В дальнейшем в настоящем параграфе мы будем обозначать эту алгебру Ли через ОВ или просто через О. Из предложения 2 следует, что если Оа яьО, то р ~ Я~ нлн 1А сна, илн 9=О. Обозначим через Ха (соотв.
через Н„Х „) образ элемента х„(соотв. Ьа, х,) в О. Йз определений алгебры Ли а и идеалов и, Ои следует, что алгебра Ли О определяется системой образующих ((Ха, На, Х,))а В и следующими соотношениями: а 4 а Рксщепле!!!!ые полуг!Ростые АлГеБРы лп 12У Лп йв через ))з или просто через 5. Однозначно определен изоморфнзм р ь — ь )хл векторного пространства У на пространство 1)', при котором ()хв, Н,) =()х,аЧ) для всех )хне У и а ~ В.
Инволютивный автоморфизм 8 алгебры Ли а определяет инволютивный автоморфизм факторалгебры Ли й, который мы будем тоже обозначать через О. При этом 8(Х,)=Х, для а еи В() ( — В) и 0(Н,) = — Н,. ТеоРемА 1. Пусть тс — приведенная система корней и  — базис системы )т. Пусть й — алгебра Ли, определенная системой образующих ((Х„Н„Х „)), в и соотношениями (16) — (22), и 1) = ~, йН . Тогда (й, ()) — полупростая расщепленная алгебра Ли, »ив изоморфизм )х ь)хэ пространства У на пространство 1)' отображает систему )1 на систему корней алгебры (й, 5) и при любом )х ен В надпространство йв совпадает с собственным подпространством относительно корня )х.
Доказательство теоремы будет приведено после доказательств лемм 8, 9, 10, 11. Лемма 8. Пусть а е= В()( — В), Тогда эндоморфизм ад Х, ло. кально нильпотентен '). Предположим, что а~В. Обозначим через й' множество таких элементов г~ й, что (ад Х,)РЕ=О для достаточно большого р. Поскольку ад Х, — дифференцирование алгебры Лн й, то подпростраиство й' будет подалгеброй алгебры Ли й, Ввиду формулы (21) Хане й' при любом ()я В. Следовательно, й'= й, и эндоморфизм ад Х, локально нильпотентен.
Так как ас( Х, = =0(адХ„)0, то эндоморфизм ад Х, тоже локально нильпотентен. )как будет показано, вространство й имеет конечную размерность, н поэтому эндоморфнзм аб Х» на самом деле является нальяотентным. Лемма 9. Пусть р, т ен(г и их 'йт()х), причем ю)х=т. Тогда существует автоморфизм алгебры Ли й, которьш" переводит й» в й"'. Для произвольного элемента а еи В обозначим через з, отражение в пространстве У, определенное элементом а. Так как ') Эндоморфнзм и векторного пространства Ч называется локально нильнотенгным (клн лонги нильногентным), если для каждого элемента о щ У существует такое целое положительное число и, что и" (о) О (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
