Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть элементы и, х такие же, как в утверждении (1), и у ен д". Тогда [и + х, у) = а (Ь) у + г, где г ее х дв. в>« Следовательно, в подходящем базисе пространства д матрица преобразования ад, (й+х) имеет следующий вид: г $ х подАДГЕЕРы РАсшгплепных полупРостых АлгевР лн >!3 1) это нижняя треугольная матрица; 2) на ее диагонали стоят числа О (1 раз) и а(й) для всех корней а еи Й. Это рассуждение доказывает утверждение (>). Отсюда также следует, что характеристический многочлен эндоморф изма аА(й+х) равен Т' П (Т вЂ” а(й)). Поэтому множество але« я <с> ментов из подалгебры Вореля Ь, нильпотентных в алгебре й, с одной стороны, и наибольший иильпотентный идеал подалгебры Бореля Ь, с другой стороны, равны и. Из предложения 5 (1) получаем, что п = [Ь, 6[.
Наконец, утверждение (ш) следует из предложения 4(й) $2 и предложения 19 гл. У1, 5 1, п'б. Следствие, Пусть 6 — подалгебра Бореля алгебры .7и 9. (!) Каждая подалгебра Картона алгебрь> 7и Ь является расщепляющей подалгеброй алгебры Ли й. (й) Ес,>и 6„6« — подалгебры Картана алгебры Ли Ь, то существует такой элемент х ен [Ь, 6[, что е' й '6> —— Ье. Утверждение (!) следует из предложения 9 (!) и из предложения 3 гл. ЧП, $3, п'3.
Утверждение (й) следует из предложения 9 (й) и теоремы 3 гл. Ч!1, 5 3, и'4. ПРедложение 10. Пусть Ь, Ь' — подалгебры Бореля алгебры Ли й. Тогда существует расщепляющач подалгебра Картана алгебры .7и 9, содержащаяся в ЬП6', Пусть Ь вЂ” подалгебра Картана алгебры Ли Ь, п = [Ь, 6[, и' = [Ь', Ь'[, Р = Ь () 1' и Ь вЂ” векторное подпространство пространства й, дополнительное к 6+ 6'. Обозначим через Ь~, Ь1, Ь'1 пространства, ортогональные к Ь, Ь и Ь' соответственно относительно формы Киллинга алгебры Ли й.
Положим 1 = б пи 6, и = бни п, р = б!> и р, Тогда б!т Ь = б!>и Ь' = 1+ и, б!т В = б!га (Ь + Ь') = 2 (1+ и) — р и, значит, б!т(Ь Пр))б!шй +б!шр б!шй= =2(!+п) — р+р — (!+2п) =1. (3) Вследствие предложения 1 из 3 2, п'2, имеют место включения п — 6", и'с:!'1, Элементы пространства рпп нильпотентны в 9 (предложение 9 (й)) и принадлежат Ь', а значит, принадлежат а' (предложенне 9(й)). Следовательно, рйп~п()я'с- 1 с:Ь ЯЬ „откуда вытекает, что Ь ПрПЕ=О. Учить>вая формулу (3), мы видим, что пространство Ь П р является дополнением 1 !!4 ГЛ.
УП!, РАСЩЕПЛЕН11ЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ А к пространству и в пространстве Ь. Пусть г — регулярный в 9 элемент алгебры 6; тогда существует такой элемент уе=и, что у+а~а ПР. По предложению 9(1) эндоморфизм аб1(у + г) имеет тот же характеристический многочлен, что и эндоморфизм аб„г. Поэтому х = у+ г — регулярный элемент алгебры Ли 9 и а !отйог! алгебр Ь и Ь' (гл. ЧП, 5 2, и'2, предложение 9).
Так как ранги алгебр Ли 9, Ь и Ь' одинаковы, то пространство Ь' (х) = йь (х) = 6'ь(х) является подалгеброй Картана одновременно в алгебрах Ь, я и Ь' (гл. Ч11, 5 3, п' 3, теорема 2). Наконец, эта подалгебра Картана алгебры Ли а является расщепляющей по следствию из предложения 9. Следствие. Группа Ан(,(й) транзитивно действует на множестве пар (1, 1), где 1 — расщепляющая подалгебра Картана алгебры Ли й, а Ь вЂ” подалгебра Бореля расщепленной алгебры Ли (й, 1).
Пусть (11, 6,) и (1, 6,) — две таких пары. Существует расщепляющая подалгебра Картана 1 алгебры Ли 9, содержащаяся в Ь, П11 (предложение 10). Согласно следствию предложения 9, ВСЕ СВОдИтСя К СЛуЧаЮ, КОГда 11 —— (з= 1. ПуСтЬ Б — СИСтЕМа корней расщепленной алгебры Ли (9, 1). Тогда существуют такие базисы Вь В, системы корней 5, что подалгебры Бореля Ь, ассоциированы с базисами В, (1 = 1, 2), и существует элемент з ~ )Р'(5), который переводит В! в В, Наконец, существует такой автоморфизм аееАН1,(9), что а!1=з 5 2, и'2, следствие теоремы 2).
Тогда а(1) =1 и а(61) =Ь,. 4. Параболические подалгебры ПРедлОжение 11. Пусть Р = 6 + 9 — подалгебра алгебры Ли й, содержащая 6. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) алебра Ли р содержит подалгебру Бореля расщепленной алгебры Ли (9, 6); (0) существует такая камера С системь1 корней Я, что Р:» )7+ (С); (Ш) подмножество Р является параболическим, иначе говоря (гл. Ч1, 5 1, п'7, определение 4), Р ()( — Р) = !Г. Условия (!) и (й) эквивалентны по предложению 7.
Условия (й) и (!11) эквивалентны по предложению 20 гл. Ч1, 5 1, и'7. Опгеделение 2. Параболической подалгеброй расщепленной алгебрь1 Ли (!1, 6) называется подалгебра алгебры Ли !1, содержащая 6 и удовлетворяющая эквивалентным условиям предложения 11. Параболической подалгеброй в й назь1вается пара- е а. поддлгявпы плсщяплвнных полтпростых ллгяпп ли 1ц боличе окая подалгебра расщепленной алгебры Ли (й, ч'), где ()' — некоторая расщепляющая подалгебра Картана алгебры й, Это определепяе немедленно распространяется на случай, когда (а, В) — редуктнаная расщепленная алгебра Лн.
Замечание. Пусть  — базис системы корней Я и й — соответствующая подалгебра Бореля, Если Х ~ В, то обозначим через Я множество линейных комбинаций с коэффициентами (О элементов из Х; положим Р(Х)=Ю+(В)ОЯх и рз=()З,)е'х>. По лемме 3 и предложению 20 гл. И, $ 1, и'7, пространство р является параболической подалгеброй, содержащей й, и все параболические подалгебры алгебры Ли й, содержащие о, получаются таким образом. Лемма 3. Пусть 1' — конечномерное векторное пространство, 5 — система корней в пространстве 1', У вЂ” множество параболических подмножеств системы 5. Пусть М вЂ” множество гиперплоскостей вида Кега для всех аеи5 и У вЂ” множество ячеек пространства )' относительно множества гиперплоскостей М (гл.
тг, з 1, и' 2, определение 1). Если Ра= У, то пусть Р(Р) — л~ножество таких элементов оек (т, что а(о))0 для всех корней аенР. Если РеиУ, то пусть Р(Р) — множество таких корней а ан 5, что а(п) ) 0 для всех элементов о ы Р. Тогда Р а Р (Р) — биективное отображение множества У на множество У; для любой ячейки Р пи У множество Г(Р(Р)) равно ее замыканию. а) Пусть Р ~ У. Существуют такие камеры С системы 5 и подмножество Х базиса В(С), что Р = 5е (С) () Я, где сг — множество линейных комбинаций с коэффициентами К 0 элементов из Х (гл.
Ъ"1, з 1, п'7, предложение 20). Положим В(С) =(аь ..., аД, Х=-(аь ..., а„,). Если о еи (т, то следующие условия эквивалентны: а(о) зО для всех корней а пи Р; а,(о)~)0, ..., а,(о))0, а,(о)«='О,, а (о)~(0; а1(о)= ... =а,„(о)=0, а,„+1(п))0, ..., а,(п))0. множество Р (Р) совпадает с замыканием Следовательно, множества (о ~ 'г'1а1 (о) = ... = а,„(о) = О, аы+, (о) > О, ..., а, (о) ) О), !!я Гл уп!. РАсшепленные полупРостые АлгеБРы ли 4 которое является ячейкой Р относительно множества гиперплоскостей М. Действительно, каждый элемент множества 5 — линейная комбинация корней ап ..., а, с коэффициентами, которые или все 1О, или все -..О.
С другой стороны, если (!=и!а1+ ... + и,а, ~5, то АР ~ Р (Р)»=: и + ! >~ О ° ° и! ~ >0»='" »=: й~5+(С) или ( — йев54(С) и и 4! — — ... — и =О)»=; »=;- й ее 5+ (С) () 4',! = Р. Следовательно, Р(Р) =Р. б) Пусть Г~ У. Ясно, что Р(Р)ееУ. С другой стороны, множество Р содержится в замыкании некоторой камеры относительно множества гиперплоскостей М (гл.
Ч, $1, и 3, формулы (6)) и, значит, является ячейкой относительно множества стенок этой камеры (гл. Ч, $1, и'4, предложение 9). Поэтому множество Р имеет вид (о я 'У' ! а (о) ~ ~О для всех а ее Т), где Т вЂ” подмножество системы 5, в качестве которого, очевидно, можно взять Р(Р). Итак, Р=Р(Р(Г)). Ч. Т. Д. Если Р БЕ У, то ячейка Р, такая, что Р=Р(Р), называется ассоциированной с множеством Р и обозначается через Р(Р), Эти соглашения распространяются на случай, когда (9, ())— редуктивная расщепленная алгебра Ли. ПРедложение 12.
Пусть Аэ" — множество гиперплоскостей пространства ()а, являющихся ядрами корней из )т. Обозначим через 9. множество ячеек пространства чя относительно множества гиперплоскостей Аэ, а через У вЂ” множество параболических подалгебр расщепленной алгебры Ди (9, ()). Для алгебры УТи Р= ()+ йе~ У обозначим через Р(Р) ячейку, ассоциированную с Р. Тогда р «Р(р) — биективное отображение множества У на Зг. Если р1, рг ее У, то р! -э р2"' '" Р (р!) с- Р (р2) Это предложение непосредственно следует из леммы 3.
Пример. Параболическим подалгебрам расщепленной алгебры Ли (9, ()), содержащим алгебру Бореля (1, соответствуют ячейки, которые содержатся в замыкании камеры, ассоциированной с алгеброй Бореля Р (см, приведенное выше замечание). ПРгдложсние 13. Пусть р = () + 9Р— параболическая подалгебра расщепленной алгебры 47и (9, 1)), (! — множество таких корней вен Р, что — а Ф Р, и э=5+ йей(-Р1. Тогда р=э 9 йо, где ь — редуктивная подалгебра в 9, а йо — наибольший ниль- 5 $ х подАлгеБРЫ РАсшеплгиных полупРостых АлгеБР ли патентный идеал и нильпотентный радикал алгебры !уи Р.
!!ентр алгебры Ли р равен нулю. По предложению 2 алгебра Ли ь редуктнвна в й и йо — вильпотентиый идеал в р. Если и — наибольший нильпотептный идеал в р, то йо с п с: Ь + йо (предложение 2 (!)), Если х с п Д Ь, то эндоморфизм адьх нильпотентен; следовательно, а(х)=0 для всех корней аенр, поэтому х=О. Это доказывает, что н=йа. Так как [Ь, йа) =йа, то нильпотентный радикал алгебры Ли Р содержит йа и, значит, равен йо. Пусть г=й+ ~, и, а сР (где йеп$, иаеейа) — элемент из центра алгебры Ли р.
для всех й' ен Ь имеем 0 = [й', г) = с а (л') и;, следовательно, и, = 0 для всех корней а елР. тогда [й, йе[=0 для всех корней 8 епР, а значит, й = О. б. Нерасщепленный случай ПРедложение 14. Пусть й' — расширение поля й и а' 1®А й'. Пусть в| — подалгебра Ли в й и т'=т (Вьн'. Если т' — параболическая подалгебра (соотв. подалгебра Бореля) алгебрги Ли 1', то т — параболическая подалгебра (соотв. подалгебра Бореля) алгебры Ли й. Бвиду предложений 8 и 11 достаточно доказать, что ж содержит расщепляющую подалгебру Картава алгебры Ли й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
