Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Ввиду утверждения (!) для полу- простоты присоединенного представления алгебры Ли «в алгебре Ли й необходимо и достаточно, чтобы эндоморфизм аа, х был полупрост для всех хен1+ йо (гл. 1, 3 6, п'5, теорема 4); по утвернгдению (ч) для этого необходимо и достаточно, чтобы Я=Я, т. е. чтобы Р= — Р. Докажем утверждение (Б). Если « — полупростая алгебра Ли, то вследствие утверждения (!) Р= — Р, а значит, ()р с:()'.
Более того, «с: [«, «1~(!р+ йР, и потому !)'=()р. Если Р= — Р и (!'=()р, то по утверждению (1ч) алгебра Ли «редуктивна и «= ~ 6,; следовательно, «= [«, «] и алгебра Ли «полу- ОИ Р проста. Првдложенив 3. Пусть « — полупростая подалгебра алгебры Ли 3, устойчивая относительно ай 5), и пусть Р— такое подмножество системы корней Л, что «=()р+ 3Р.
Тогда (1) ()р — расщепляющая подалгебра Картина алгебртя Ли «; (й) система корней расщепленной алгебры Ли («, ()р) состоит из ограничений на подалгебру (!р элементов множества Р. Поскольку подалгебра Ли ()р устойчива относительно аа(), то ее нормализатор в алгебре Ли «устойчив относительно аа() и, следовательно, имеет вид бр+ йо, где Яс:Р (лемма 1).
Если а ыЯ, то что приводит к противоречию. Следовательно, 1~= 8 и алгебра Ли ()р совпадает со своим нормализатором в алгебре Ли «, Это доказывает, что она является подалгеброй Картана алгебры Ли «. Если х~3р, то эндоморфизм ай,х и а гогПогг эидоморфизм а0, х приводятся к треугольному виду. Итак, мы доказали утверждение (!), а утверждение (И) очевидно. Из предложения 1 (1) следует, что подалгебрами алгебры Ли «, содержащими алгебру Ли 1), являются множества вида 5+ йр, где Р— замкнутое подмножество системы корней Р.
В силу предложения 3 гл. ЧП, 3 3, и'3, каждая подалгебра Картана алгебры Ли $+ 3Р является подалгеброй Картана алгебры Ли 3. Прндложвнив 4. Пусть « — подалгебра алгебры Ли 3, содержащая [), х — произвольный элемент из алгебры Ли «, а з и и — его полупростая и нильпотентная компоненты.
Тогда в ен«и пан«. ио Гл. мн, РАсщепленные полупРОстые АЯГеБРН ли г Имеет место включение (айх) аса; следовательно, (айз)ас:а и (аб и) а с а. Так как алгебра Ли а совпадает со своим нормализатором в д (гл. У!1, 5 2, и' 1, следствие 4 предложения 4), то вена и п~а. ПРедложение 5.
11усть Р— замкнутое подмножество системы корней Д. (1) Для того чтобы алгебра Ли ()+ д» была разрешимой, необходил|о и достаточно, чтобы Р[)( — Р) = 3. Если вто условие выполняется, то [() + д», Ь + д'] = !!Р. (Я) Для того чтобы алгебра Ли Ь+ |)Р была редуктивной, необходимо и достаточно, чг'обы Р = — Р. Утверждение (1) следует из предложения 2 (ш). Если Р = — Р, то алгебра Ли ()+д» редуктивна (предложение 2(!ч)). Предположим, что а = Ь+ д» вЂ” редуктивная алгебра Ли. Тогда д»=[Ь, д»! с [а, а] с Ь+ д», а следовательно, коммутант [а, а] имеет вид Ь'+ д», где ()'с(); так как алгебра Ли [а, а] полупроста, то Р = — Р (предложение 2(11)).
2. Идеалы ПРедложение 6. Пусть 111, ..., )тр — неприводимые компоненты системы корней Й. Для 1= 1, ..., р положим ». = !)»1 + д '. Тогда а|,..., др — простые слагаемые алгебры Ли д, Алгебры Ли д1 — идеалы алгебры Ли а (предложение 1 (Я)). Ясно, что пространство д является прямой суммой пространств дб следовательно, алгебра Ли |! — прямое произведение алгебр д,.
Пусть а и Ь вЂ” дополнительные друг к другу идеалы алгебры Ли д. Тогда идеалы а и Ь полупросты и устойчивы относительно эндоморфизмов ай (). Поэтому существуют такие подмножества Р, (г системы коРней Д, что а =Ьр+ д», Ь = до+ да. ПРостранства Ьр, Ьо являются взаимно ортогональными относительно формы Киллинга дополнительными подпространствами в пространстве (). Следовательно, Р и 1,! являются объединениями неприводимых компонент системы корней )1. Это доказывает, что д, — минимальные идеалы в алгебре Ли д. Следствие 1, Чтобы алгебра Ли д была проста, необходимо и достаточно, чтобы система корней Д была неприводимой (иначе говоря, чтобы ее граф Дынкина был свячен).
Это следствие вытекает из предложения б. 6 3. подллгеБРы РАсщепленных полупРостьсх АлггеР ли Алгебра Ли а называется абсолютно простой, если для любого расширения й' поля й й'-алгебра Ли а(А > проста. Следствие 2. Расщепленная простая алгебра Ли абсолютно проста.
Это вытекает из следствия 1. Если й — алгебра Ли типа А, (1)~1), Вс (1) 1), С, (1) 1) или Ос (1 Ъ 3), то й называется клиссическои' простой расщепляемой алгеброй Ли. Если й — алгебра Ли типа В„Е„Е„Рс или 0„ то й называется исключительной (или особой) простой расщепляемой алгеброй Ли. 8. Подалгебры Бореля Предложение 7. Пусть Ь = Ь+ (Р— подалгебра алгебры,7и й, содержащая (). Следующие условия эквивалентны: (с) Ь вЂ” максимальнал разрешимал подалгебра алгебры Ли й; (й) существует такая камера С системы корней ст', что Р= =6(, (С); (Ии) Р П( — Р) = 0 и Р()( — Р) =ст. (1)=ь(й). Если алгебра Ли Ь разрешима, то РП( — Р)=Я.
Следовательно, существует такая камера С системы корней В, что Р ~ Не (С) (гл. тс'1, $ 1, и'7, предложение 22). Тогда пространство () + й + — разрешимая подалгебра алгебры Ли а, я ссс содержащая Ь и, следовательно, совпадающая с Ь, если Ь вЂ” максимальная разрешимая подалгебра Ли. (11)=я-(И). Это очевидно.
(И)=Р(1). Предположим, что РД( — Р)=Ж и что Р Я вЂ” Р)=се. Тогда Ь вЂ” разрешимая алгебра Ли. Пусть Ь' — разрешимая подалгебра алгебры Ли й, содержащая Ь. Существует такое подмножество Я системы корней Я, что Ь' = Ь + йо. Тогда (г'Д( — (г) = Я и (г':з Р, а следовательно, (г'=Р и Ь'= Ь. Определение 1.
Подалгеброй Бореля расщепленной алгебры Ли (й, ()) называетсл подалгебра алгебрьс Лсс,(, содержащая подалгебру Картана Ь и удовлетворлющая эквива,лентным условиям предложения 7. Подалгебра Ь расщепляемой алгебры Ли й называется подалгеброй Бореля алгебры Ли ((, если в й существует такая расщепляющая подалгебра Картона ()', что Ь является подалгеброй Бореля расщепленной алгебры Ли (й, «'). Пусть (а, «) — редуктиииая расщеплеииая алгебра Ли. Пусть 6 = с с(6, где с — иоымутатиииая алгебра Ли, а 6 — полупростая. Полалгеброй Бореяя распсеплениой алгебры Ли (6, «) иааыаастси подалгебра алгебры Ли 6 вида г л', Ь.
где Ь вЂ” поталгебра Бореля расщеплеипой алгебры Ли (6, «П 6). !!2 Гл уп1 РАсщепленные полупРОстые АлГеБРы ли в В обозначениях предложения 7 подалгебру У называют подалгеорой Бореля алгебры Ли д, определенной алгеброй Картана у и камерой С (или алгеброй Картана у и базнсом системы корней Рх, ассоциированным с С). Замечание. Отображение, которое камере С системы корней Я ставит в соответствие )г+(С), является инъективным (гл. Ч1, $1, п' 7, следствие 1 предложения 20). Следовательно, С у + д + — биективное отображение множества камер !с! системы корней )7 на множество подалгебр Бореля расщепленной алгебры Ли (д, у). Таким образом, число подалгебр Бореля расщепленной алгебры Ли (д, у) равно порядку группы Вейля системы корней )х (гл.
Ч1, 5 1, и' 5, теорема 2). ПРедложгние 8. Пусть 0 — подалгебра алгебры Ли д, а 10' — расширение поля и. Тогда У Зь й' будет подалгеброй Бореля расщепленной алгебры Ли (д ®ь к', !! Зьй') в том и только том случае, когда 0 — подалгебра Бореля расщепленной алгебры Ли (д, у) ' Это предложение очевидно ввиду утверждения (ш) предложения 7. ПРгдложение 9, Пусть 1 — подалгебра Бореля расщепленной алгебрь! Ли (д, !!), определенния камерой С системы корней )х.
Пусть и= дяь'с'= Х да и 1= В(щ у. аде, а>0 (1) если й е= !! и х е= и, то характеристический многочлен эндоморфиэма айв (Ь+ х) равен Т П (Т вЂ” а(Ь)). аая (Б) Наибольший нильпотентный идеал подалгебры Бореля Ь равен и и, и [0, Ц. Он совпадает с множеством тех элементов подилгебрь! 0, которые нильпотентны в алгебре Ли д. (ш) Пусть  — базис системь1 корней )г, определенный камерой С, Для любого ае-:В пусть Х,— ненулевой элемент из пространства д .
Тогда набор элементов (Х„) В порождает алгебру Ли и. Имеет место ривенство [и, и[ = ~' да. а Га а>0, аеэ На пространстве у* существует такое упорядочение, согласованное со структурой векторного пространства, что элементы из тг«. (С) положительны относительно этого упорядочения (гл. Ч1, $1, и' 7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
