Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Так как зндоморфизмы 0„(!) являются элементарными автоморфизмами алгебры Ли (0), то получаем такое Следствие. Калсдый элемент группы Вейля расщепленной алгебры Ли (О, $), действующий в пространстве (), является ограничением на (1 элементарного автоморризма алгебры Ли О. Обратное утверждение см. в 5 б, и'2, предложение 4. Замечание 1. Пусть () (соотв.
() ) — векторное подпростраиство пространства () (соотв. ()') над 11, порожденное элементами Н, (соотв. а), где а ен (с. Тогда пространство )) (соотв. 6*) канонически отождествляется с пространством ()и эа Ь (соотв. 100 гл, чпь Рксщаплгнные полупеостые Алгевеы ли г ()* З й), а пространство !)' отождествляется с дуальным проч страиством к ))ч (гл. Ч1, и 1, и'1, предложение 1). Говорят, что пространства (10 и (!ч — это канонические Я-структуры на $ и 3' (А!и., свар.
11, $8, п'1, йе!1п!1!оп 1). Когда далее говорится о (:1-рациональности векторного подпространства 1), билинейной формы на (! и т. д., то, если не оговорено противное, подразумевается рациональность относительно указанных О-структур. Камеры Вейля и ячейки системы тг(!1, (!) в дальнейшем будут рассматриваться в пространстве ()090 Кили!)" З й.
Эти пространства будут обозначаться через !)а и ()"„ соответственно. Замечание 2. Система корней й" в пространстве 5 определяет на (! билинейную симметрическую невырожденную форму(1 (гл, Ч1, $1, и'1, предложение 3), а именно форму (а, о)~-ь ~-ь2, (а, а)(а, о). Согласно следствию теоремы 1, эта форма— а~я не что иное, как ограничение формы Кнллинга на подалгебру КаРтана 0. ПРодолжение фоРмы Р ~ (!ч Х (!и на пРостРанство З 11 — положительно определенная невырожденная форма ч ч (гл. Ч1, $ 1, п'1, предложение 3), С другой стороны, обратная форма для ограничения на пространство (! формы Киллинга алгебры Ли й совпадает с канонической билинейной формой Фя на пространстве ()* (гл, Ч!, $1, п'12).
Пусть (йп $~), (йь (),) — полупростые расщепленные алгебры Ли, а у — такой изоморфизм й, на й„что ф(()~)=чг. Тогда отображение, сопряженное к отображению ~р | Ц, переводит систему )((й„()г) в систему Я(йь ~~). Пггдложвнив 3. Пусть й — полупростая алгебра Ли, а (й и ))г — расщепляющие подалгебры Картана в й.
Тогда существует изоморфизм пространства (!*, на 1)„*, который переводит систему корней Р(9, ()1) в систему корней тГ(й, (! ). (За более точными результатами мы огсылаем к $3, п'3, следствие предложения 1О, а также к $5, и'3, предложение 5.) Пусть й' — алгебраическое замыкание поля !г,,)'=й Зьй', (1,'.=1), Зьй'. Тогда система корней Я(й', 5',) является образом системы корней Я(й, (),) прн отображении Х~-~ХЗ1 простран- . ства ()", в пространство 1); Зь й'=()';. По теореме 1 из гл.
Ъ'!!, $3, п'2, существует автоморфизм алгебры Ли й', переводящий пространство (1;* в пространство ()", и, следовательно, существует изоморфизм ~р пространства $ на пространство $'", который переводит систему корней Я(й', (!,') в систему корней !1(й', ()'). тогда отображение 0~1(); переводит систему корней г Ф г. системА когнеи 1О! й(д, »,) в систему корней й(9, »г) и, следовательно, переводит «;" »",. Ч,Т.Д. В силу предложения 3 система корней расщепленной ал- гебры Ли (е, «) зависит, с точностью до изоморфизма, только от алгебры Ли д н не зависит от «. Поэтому, допуская воль- ность речи, группу Вейля, группу весов ... расщепленной алгебры Ли (9, ») называют просто группой Вейля, группой весов...
алгебры Ли 9 (ср. также замечание 2 нз 5 5, и'3), Если граф Дынкина алгебры Ли 9 имеет тип А, илн Вь ... (см. гл. Ч1, 5 5, и'2, теорема 3), то говорят, что 9 — алгебра Ли типа А, или Вг, ... Напомним, что если а и р — линейно независимые корни, то множество таких чисел (ыУ, что б+1а~гс, является от- резком [-а, р] в множестве Х, содержит О и р — у= — (б, а )= = — б(Н,) (гл.
Ч1, $1, и'3, предложение 9). ПРедложение 4. Пусть и и ]) — линейно независимые корни. Пусть р (соотв. 9) — наибольшее целое число 1, такое, чтоб+!а (соотв. б — ]а) — корень. (1) Векторное надпространство ~ дч+га пространства -чЮ<Р является простым 6 -модулем размерности р+ у+!. (й) Если а+ б — корень, то [д', да] = 9'+а. Пусть Х„(соотв, х) — ненулевой элемент пространства да (СООтВ. дз+Ра). ТОГда [Ха, х] = да+< +и'=О, [На, х] (б(На)+ ра(На))х=( — р+и+2р)х=(р+г))х. Ясно, что относительно представления алгебры Ли э1(2, й) в д, ассоциированного с элементом Х„х является примитивным элементом веса р + у; итак, размерность а( (2, я)-модуля да+га равна р+ а+ 1. Ясно также, что этот модуль -аксая прост 5 1, и'2, предложение 2).
Если а+бенгс, то р)1; следовательно, элементы пространства дь не являются примитивными, и потому [Ха, «ь] чь О. Поскольку [9, да] с: д" +а, окончательно получаем, что [9", 9а] = 9" а. Замечание 3, Напомним, что в силу следствия предложения 9 (гл. Ч1, $ 1, и'3) целое число р+у+! может принимать лишь значения 1, 2, 3, 4. Замечание 4. Пусть (9, «) — редуктивная расщепленная алгебра Ли, с — центр алгебры Ли 9, д'=Яд, «'=«Пд'. Тогда «=сХ«', а пространство «'* отождествляется с векторным подпространством пространства «".
Для всех Аен «", таких, что 102 ГЛ. Чгп. РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛП г Л ~ О, примарное подпространство йк веса Л равно й'А11'. Корнем называется ненулевой вес подалгебры « в й. Все корни обращаются на с в нуль, Символом И(й, «) обозначается множество корней расщепленной алгебры Ли (а, «); оно канонически отождествляется с множеством 1Г (й', «'). Пусть а ея Р (й, «). Как и в полупростом случае, определяются «, На, Ь„изоморфизмы 61(2, й)- гг, и представление алгебры Ли «1(2, й) в й, ассоциированное с элементом Х,.
То же самое относится к группе Вейля, группе весов ... расщепленной алгебры Ли (й «) 8. Билинейные инвариантные формм ПРедложение 5. Пусть (й, «) — полупростая расщепленная алгебра Ли, Ф вЂ билинейн симметрическая инвариантная форма на й, а ))т — группа Вейля расщепленной алгебры Ли (а, «). Тогда оерзничение Ф' формы Ф на пространство «инвариантно относительно ))т.
Если, кроме того, форма Ф невырожденна, то и форма Ф' невырожденна. Пусть а ~ П вЂ” корень, Մ— ненулевой элемент пространства аа, р — ассоциированное представление алгебры Ли ь1(2, я) в пространстве а, и — представление группы Ли Я. (2, й) в пространстве а, согласованное с р. Тогда форма Ф инвариантна относительно представления р и, следовательно, относительно представления и ($1, п'4).
В частности, форма Ф' инвариантна относительно эндоморфизмов 0,(1)~« (п' 2) и, следовательно, относительно действия группы ))т. Последнее утверждение следует из предложения 1 (1). ПРГдложгние 6. Пусть (й, «) — полупростая расщепленная алгебра Ли и Ф вЂ” невырожденная инвариантная симметрическая билинейная форма на й. Вьгберем для каждого корня а еи 1Г ненулевой элемент Х в пространстве й . Пусть (Н,), — базис пространства «и (Н;) — такой базис в «, что Ф(НН Н') =бн Тогда элемент Казимира в универсальной обергывающей алгебре алгебры,7и й (гл.
1, Э 3, и'7), ассоциированный с форлгой Ф, равен Е аг(х, х- 1 ХаХ-а+ г' Н1Н, аая 1~1 Действительно, из предложения 1 получаем, что Ф(Н1, Х,)= = Ф(НР Х,) =О для любых 1ее1, аее Д, и Ф(, Х, Х ) =б, для любых а, рея)т, 1 ФХ„,Х 1 4 э э.' снствмл коьнви 4. Коэффициенты М В этом пункте снова символом (й, «) мы обозначим иолу- простую расщепленную алгебру Ли. Лемма 2. Существует такое семейство (Х,),, что для каждого корня а ен В Ха~ й и [Хь~ Х ь]= — Нь. Пусть Р, — такое подмножество множества Р, что =Р,()( — Р,) и Р, П( — Р1) = О.
Для а ~В~ выберем в про- странстве й произвольный ненулевой элемент Х,. Существует единственный элемент Х , ~ 1-", для которого [Х„ Х „] = — Н, (теорема 1 (1ч)). Тогда [Х „, Х„] = Н„= — Н,. Ч. Т. Д, Если какое-то семейство (Х,), удовлетворяет условиям леммы 2, то все семейства, удовлетворяющие условиям леммы 2, имеют вид (Г Х,), я, где 1,енЬ* и 1,1,=1 для любого а~Я. В дальнейшем в этом пункте через (Х ) обозначается про. извольное семейство, удовлетворяющее условиям леммы 2.
Си,кволом (...) обозначается невырожденная анвариантная симметрическая билине "ная форма на й. Каждый элемент х ~ й однозначно записывается в виде х=Ь+ ~ и Х, (Ьеи(), и енЬ). абая Коммутаторы двух таких элементов вычисляются с помощью следующих формул: [Ь, Х ] = а (Ь) Х, О, если а+ р Ф В Ц [О), [Х„Ха] = — Н„если а+ ~=О, Л'„аХь+з, если а+ р ен Р, где М„ а — ненулевые элементы поля Й. Лемма 3. Для любого а И Я (Хь~ Х-ь) = э (™ы На). Действительно, 2(Х„Х,) =(а(Н„) Х„Х,)=([Н„Х,], Х „)= = (Н„, [Х„Х,]) = — (Н„, Н,). !04 гл, чш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
