Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 18
Текст из файла (страница 18)
доказательства теоремы 3). Подалгебры Картана алгебры 9 образуют тогда аффиннае пространства, ассоциированное с пространством и на катарам действует группа О. Применить соображения о центре тяжести.) б) Пусть 9 — разрешимая алгебра Ли и й-подалгебра алгебры Ли Пег (9). Предположим, что 6-модуль 9 полупрост. Показать, что существует подалгебра Картана алгебры 9, устойчивая относительно й. (Метод тот же.) $13) Пусть 9 — алгебра Ли и 6 — конечная подгруппа группы Аи1(9). Предположим, что 0 сиерхризрешими (А1д., сйар. 1, 9 6, ехегсгзе 26). Показать, что существует подалгебра Картана алгебры 9, устойчивая относи. тельно О.
(Провести индукцию по гВш 9. Ввиду упражнения 12 снести все к случаю, когда алгебра 9 полупроста. Если 6Ы*(1), то выбрать в 0 нормальную циклическую подгруппу С простого порядка (А1д., 1ос. сП.). Подалгебра й, образованная элементами, инвариантиыми относительно С, редуктивна в 9 (9 1, п'5) и отлична от 9, По предположению индукции в 6 существует подалгебра Картана и, устойчивая относительно 6 При этом г~ьО (гл.
1, з 4, упражнение 21 в]), поэтому и ~ О. Цеггтрализатор й подалгебры и в 9 отличен от 9 и устойчив относительно 6. Выберем подалгебру Картана «алгебры 3, устойчивую относительно О. Показать, что « — подалгебра Картана в 9; см. следствие предложения 3,) Построить конечную группу автоморфизмов алгебры Ли 61(2С), изомарфную 2(г (и, следовательно, разрешимую), относительно которой не будет устойчивой никакая подалгебра Картана. ') Относительно деталей этого упражнения см. П!хщ!ег З„Бонз-а)йеЬгез бе Саг1ап е1 бесошрозГВопз де Ееч) дапз !ез а19еЬгез бе Ь(е, Тгииз.
Иоуи1 Вас. Салаг(и, С (1956), !7 — 21. УПРЛЖНЕ1<ИЯ 19 !4)' Показать, что любое неприводимое комплексное (соотв. вещественное) линейное представление конечной сверхразрешимой группы О индуцнроваио некоторым представлением степени ! (соотв, степени 1 или 2) некоторой подгруппы группы С. (Применить упражнение 13 к алгебраи Ли 91(а, С) и 91(а, В).), !5) Предположим, что поле й алгебранчески замкнуто. Пусть Я вЂ” алгебра Ли, » — ее подалгебра Картана и А — подмножество в ц.
Предположим, что А всюду плотно в а (в топологии Зарисского) и устойчиво относительно АМ (а). Показать, что АД» всюду плотно в «. (Пусть Х вЂ” замыкание множества АД» и 0 « — Х. Предположим, что(?ФО.Вобозначениях леммы 2 образ при отображении е множества (гх я"'(«) )с ... х я "(«) содержит нспустое открытое подмножество пространства а. Так как этот образ содержится в 9 — А, то это противоречит тому, что А всюду плотно в 9.) 1б) Пусть Гг — коиечномерное векторное пространство над полем й и 9— подалгебра алгебры Ли 91()г).
Мы предлагаем доказать эквивалентность сле. дующих трех свойств: (!) Все подалгебры Картана алгебры 9 коммутативны и состоят из полу- простых элементов. (й) Все регулярные элементы алгебры 9 полупросты. (й!) Множество полупростых элементов алгебры 9 всюду плотно в 9 в топологии Зарисского. а) Показать, что (!) ыг (й) э. (й!).
б) Пусть А — множество полупростых элементов алгебры ц. Показать, что оно устойчиво относительно группы Ап!л(9). в) Показать, что (!й) ~(1). (Свести (дополнение 1, упражнение 1) к случаю, когда поле Д алгебраически замкнуто. Показать, используя упражнение !5, что если» вЂ” подалгебра Картана в Я, то АГ)» всюду плотно в». Из того, что (х, у) =0 при х гп А() у, у ~ », вывести, что «коммутативна, откуда следует (!).) г) Предположим, что поле й равно (1, С или полному ультраметрическому недискретному полю характеристики нуль. Снабдим пространство 9 топало. гней, построенной по топологии поля й. Показать, что свойства (!), (П), (й1) эквивалентны следующему: (!У) Множество полупростых элементов всюду плотно в 9.
(Показать, что (!У) ~(й!) и (й) ь(!У), см, дополнение 1, упражнение 4.) !?) Предположим, что поле й алгебраически замкнуто. Пусть 9 — алгебра Ли » — ее подалгебра Картана и А — множество элементов из центра алгебры ». Обозначим через Ея подгруппу группы Ап!(9), обозначенную через Е в п' 2. Показать. что если з — такой элемент группы Ац!(9), что зА = А, то существует элемент г хм е, для которого !« = « н ! ) А = Гбл. в частности, !з ! А з) А.
(Пусть а — централизатор множества А в алгебре 9. Так как «и з» вЂ” подалгебры Картана алгебры а, то существует элемент 8 ев Е,, для которого 8 (з») = «. Выберем г из элементов группы Е, продолжающих 8.) з! !8) Пусть я — алгебра Лн, « — ее подалгебра Картана и ГГ9 (соотв. О«) универсальная обертывающая алгебра алгебры я (соотв. «). Линейная форма 41 на ЕВ называется цеигральноад если она обращается в нуль на (ГГ9, Г?9), т.
е, гр(а ° б) = гу(б ° а) при всех а, Ь хы Г?9. а) пусть х, у зп я. предположим. что существует такой элемент з ьн Ап !е (9) что з (х) у. Показать, что тогда (хл), ( л) для любого агы В( и любой центральной линейной формы ф на (Г9. 80 гл, чы. подллгнвщя клптдыл, ингиляпыыв элвмнмты е з б) Пусть м — центральная форма на Пй, ограничение которой на 6» равно нулю. Показать, что ф = О.
(Можно предполагать поле й алгебраически замкнутым. Вывести нз а), что М(х") 0 для любого и ~ Ь! и любого регулярного х ~ й. Использовать соображение а плотности, чтобы избавиться ат предположения о регулярности,) в) Показать, чта 68 = 168, 68] + 6» г) Пусть У вЂ” полупростой О-модуль, Показать, что У вЂ” полупростой»- модуль. В частности, У (») = Уь(») при любом Л ~м»". д) Пусть У' — полупростой О-модуль. Предположим, что У и У' изоиорфны как»-модули. Показать, что они изоморфиы как 3-модулн. (Заметим, что если а щ 6!), то Тг (аг) = Тг (аз, ).
Вывести из этога, используя б) и в), что Тг(ху) = Тг(хг ) при всех х щ 62, и получить нужное утвер кдение на основании гл. УП! нз Алг.) Если пале й алгебраически замкнуто, то предположение „1' и !г»-нзо- I морфны" эквивалентно тому, что сЛш Ух(») = гВгп Ух (») при всех Лзм»'. Сохранил обозначения и предположения из пп' 1, 2, 3 $4. 1) Пусть 6 = ОЛи (й), и ~ )О. а) Показать, что гдае(й) = и при л~обом й ~в 6.
б) Показать, что элемент и <м 0 регулярен тогда и только тогда, когда его характеристический многочлеи Рв (Т) = де1(Т вЂ” й) сепарабелен; последнее равносильно тому, что дискриминант (А!2., с»ар. !У, э 1, и' 10)') многочлсна Ре(Т) не равен нулю. 2) Построить группу Ли 6, для которой функция где непостоянна. (Расе смотреть в качестве й абелеву алгебру Ли, для которой Ад нетривиален.) 3) Пусть (р ) — счетное семейство аналитических линейных представ!%1 лений группы 6. Доказать, что элементы группы 6, регулярные относительно всех р, образуют всюду плотное подмножество в 6.
Привести пример, показывающий, что предположение о счетнасти нельзя снять. 4) Предположим, чта й = С и 6 связна. Доказать эквивалентность следующих свойств: (!) 0 нильпотентна. (П) Л~обой элемент группы 6, не равный 1, регулярен. (Показать сначала, что нз (!!) следует (П)' Любой элемент алгебры й, не равный О, регулярен Заметить далее, что если 8 чь О, то существует элемент х чь 0 в О, для которого эндоморфизм аб х нильпотентен, ср. э 3, упражнение 1О. Вывестн отсюда, что алгебра О нильпотентна и сваиство (1) выполняетси.) 1) Показать, что разрешимая алгебра Ли, рассмотренная в гл. !, й 5, упражнение О, не нзоморфна никакой разделяющей алгебре Ли 2) Пусть и (соотв. о) — ненулевой полупрастой (соотв. нильпотентный) эпдоморфизм пространства У Тогда отображение Ли ь-м Ло (Л щ й) — нзо- ') См.
также Алг., гл. 1У, з 4, п'! н п'6. — Прил. перев. УПРАЖПЕИИЯ й1 морфизм алгебры Ли 5 йи на й'=йп, который не переводит полупростые элементы в полупростые. 3) Пусть и — неполупростой и ненильпотентный эндоморфизм пространства )г. Тогда В =йи не будет разделяющей алгеброй, но аб й — разделяю- в шая алгебра 4) Пусть й — разделяющая подалгебра алгебры Ли 51()г). Пусть и — подалгебра в й, тождественное представление которой полупросто. Тогда сУществУет элемент а ~ Ан!з (й), длЯ котоРого а (4) содеРжитсЯ в подалгебре н1 предложении 7.
(Доказательство проводить аналогично доказательству предложения 7 (й).) 1[ 5) Пусть й — подалгебра алгебры Ли р1(1"). Подалгебра й называется алгебраической. если при любом х ш й все реплики элемента х (гл 1, $5, упражнение 14) принадлежат й. Такая подалгебра является разделяющей. а) Обозначим через а (я) наименьшую алгебраическую подалгебру алгебры 51(1'), содержащую й. Тогда и (й) =з е (й) ~ й.
Привести пример, когда а(й) и е(й) различны (рассмотреть )г размерности 2 н й размерности !). б) Доказать, что если и — идеал в й, то п и а(п) — идеалы в а(й) н [а (и), а(й)] = [и, й] (следовать доказательству предложения 4) Вывести иа этого, что ж'а(й) = Фй при 1)1 и Фа(й) =йув(й) прн 1~2. в) Показать, что каждая алгебра Ли, состоящая из нильпотентных элементов, является алгебраической '). 5) Пусть й — полупростая подалгебра алгебры Ли 51((г), Т ()г) = = Я Т"()г) — тензорная алгебра пространства )г, Т ((г)в — подмножество и о инварнантных относительно й элементов алгебры Т ()г) и й — множество тех элементов и вы 51()г), для которых и.х=б при всех хщТ()г)в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
