Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 16
Текст из файла (страница 16)
что Л У. [Пусть х=Ыа, гле Йш А — (О) — элемент нз кольца Л; применить индукцию по т, показав, что из условия Ь гн Уа+ Ум следует условие Ь св Уа+ Ум-и где (У„,1— каноническая фильтрация в алгебре У. (Для этого, учитывая целозамкяутость кольца йгУ, провести рассуждения. следуя доказательству предложения 15 нз Комм. алг., гл. Ч, $1, и'4.) Полагая гл О, получим Ь )и Уа, т.
е. х зи У.) Вывестн отсюда. что С целозамкнуго. г) Предположим, что поле Ь алзебраически эпмклуго. Пусть р: й-+91()г)— неприводимое линейное представление алгебры й и р — соответствующее и представление алгебры У. Ограничение представления р на С вЂ” гомоморц физм у кольца С в поле» (отождествленное с кольцом гомотетий пространства )г); обозначим через аз его ограничение на подалгебру А.
Поназать, что для любого гомоморфизма и (соотв, у) й-алгебры А (соотв. С) в поле Ь существует по крайней мере одно непрнводимое представление р алгебры Ли я. для которого ця а (соотв. Тз у), причем таких представлений лишь конечное число (с точностью до эквивалентности). Показать, что сД)п)г ~~д в обозначениях пункта б) '). $9) Сохраним обозначения предыдущего упражнения и предположим дополнительно, что алгебра Лн Я нильлогенгно. а) Показать, что можно выбрать базис 1з), ..., зя) таким образом.
что для любой пары (й 1) элемент ]зр е ] равен линейной комбинации элементов е» прн Ь >зцр(1, )). Далее мы будем предполагать, что элементы ег удовлетво- ') Относительно деталей этого упражнения см. Ббхпиег Л Сойошо1ой)е без а1цеЬгез )(е 1Ле пИро!еп!ез, Ас)а 5сй МаУь Язеуег(. ХЧ) (1955), 246-250. з) Относительно деталей этого упражнения см. Хаззепйацз Н. ТЬе гергезещаИопз о1 Ые а!йеЬгаз о1 ргцпе сйагас!еНШ!с, Ргос. 6(азуоьз Маг».
Аззос., П (1954), 1 — Зб. 12 ГЛ. УН. ПОДЛЛГЕГРЫ КЛРТЛНЛ. РЕГУЛНРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ З 1 ряют эгону условию. Выберем лля каждого ! 1, ..., и такую степень 4(1) чнсла р, что ад(е,.)ч!О О, и положим х1 еч(15, А=8(хз, ..., з„1, ср упражненне 8, б) Пусть р: й-Р91(У) — лннейное представление алгебры 9. Предположим, что эндоморфнзм р(е!) ннльпотентен для каждого !'=1, ..., и. Показать, что эцдоморфнзм р (х) нильпотентен для каждого х ш 9. (Провести нндукцн1о по и = Гйт й, н рассмотреть случай, когда р непряводнмо.
Показать, что в этом случае р (еа) = О, н применить предположение нндукцнв.] в) Пусть рй 9-Р94(У!) н рзз 9-Р91(Уз) — два линейных представлення алгебры Ли 9. Предположим, что У1 н Уз отличны от 0 и У,=-УЛ1'(8), У, У '(88 где Л, в Лз — некоторые функцнн на 9, см. п'3. Показать, что ьз если Л (е!) Л (е) прн 1=1, ..., п, то Л, Л н существует ненулевой 9-гомоморфнзм модуля У! в модуль Уз (прнменнть б) и 9-модулю У=ж (Уь У,) н, используя теорему Энгеля, показать, что У содержит ненулевой р-инвариантный элемент). Вывестн отсюда, что если модули У! н У, просты, то овн нзоморфны.
г) Предположим, что поле й алгебранческн замкнуто. Пусть /г — мпоже. ство классов неприводнмых представлений алгебры Лн 9. Положнм для рщ)с хэ — — (хэ(1), ..., хр(и)) !м й", где хр(!) — единственное собственное значение эндоморфнзма р(е,).
Показать что р Р-Р хз — биекгианое огобрпасение мнолгесгэа В иа йа. (Инъектнвность следует из в), а сюръективность — нз упражнення 8 г).) Вывести из этого такие следствия: (1) Для любого максимального идеала ~з алгебры А факторалгебра алгебры У/змУ по ее радикалу нзоморфна алгебре матриц, (й) Степень любого неприводнмого представления алгебры Лн 9 равна некоторой степенн числа р (эта следует из (!) н нз того факта, что ]У/пзУ;/з] — степень числа р). (й() Любой гомоморфизм алгебры А в поле З единственным образом продолжается до гомоморфнзма алгебры С в й (использовать, что С/гпС содержится в центре алгебры У/цзУ, которая является локальной й-алгеброй с полем вычетов й].
(!У) Существует такое целое число 5У > О, что хл' зы А при любом х ш С (это следует нз (й!)) '). 10) Предположнм, что поле й нмеет характернстнку р ) О. Обозначим через 8 алгебру Лн с базисом (ез, еь ез) н соотношениямн ]е„е,] =е„ ]е!, ез] =О, ]ез, ез] О. а) Показать, что центр алгебры Уй совпадает с й ] ер1, езр, ез]. б) Предположим, что поле й алгебраически замкнуто.
Доказать, что для любого (Ль Ль Лз) зы йз существует н притом только одно (с точностью до экьнвалентностн) непрнводнмое представление р алгебры 9, для которого эндоморфизм р(е,.) имеет едннственное собственное значение Л, (!'=1, 2 3). При этом степень р равна р, если Лз ~ О, и еднннце, если Лз О.
(Приме. нить упражнения 8 н 9 нлн доказать непосредственно.) ') Подробнее об этом см. Хаазепйацз Н., 0Ьег ]Лезсйе й(пйе пп1 Рг!шхаЫ- спагай!ег!з!Вг, //аглЬ. АЬЙ., ХУП (!939) ! — 100, и 1]агз!ейцпйз!Ьеог!е пйро1езйег Л!е-)5!пде Ьез Сйагай!ег1з1!л р) О, /. 5/е Сге/!е., СЛХХХП (1940), 150-155. У П Р АЖ1! Е П М й 73 11) Пусть [! — нильпотентная алгебра Лн, У вЂ” ненулевой [1-модуль и Л вЂ” такая функция на (1 что У У ((1]. Показать, что следующие свойства ь эквивалентны: (1] л — лннейная форма на [1, обращающаяся в нуль на []), [1].
(П) существует базис пространства У. в котором матрицы эндоморфнзмов, соотэетствуюпих элементам подалгебры [1, являются треугольными. (Для доказательства (1)~(1!) применить теорему Энгеля к [1-модулю .У(]уж У), где ]У есть О-модуль размерности 1, определенный линейной формой Л.) Свойства (!) и (!1) имеют место, еслн Ф вЂ” поле характеристики 0 (предложение 9). 1) Множество диагональных матриц со следом 0 является подалгеброй Картава алгебры Лн й( (и, й), кроме того случая, когда в=2 и характеристика поля Й равна 2. /О 1т 2] Обозначим через е элемент [ О О) алгебры Лн й((2, С), Показать, что Се — максимальная ннльпотентная подалгебра алгебры Лн й((2, С), не являющаяся подалгеброй Картана.
3) Предположим, что поле й имеет характеристику О. Пусть 0 — полу- простая алгебра Ли н Š— множество ее коммутативиых подалгебр, элементы которых полупросты в р. Тогда подалгебры Картана алгебры 0 совпадают с максимальными элементамн множества Е. (Использовать теорему 2 н предложение !0.) В частности, объедияенне подалгебр Картана алгебры й совпадает с множеством всех полупростых элементов в й. 4) Пусть 0 — алгебра Ли с базисом (х, у, г] н соотношенняын [х, у] =у, [х, «] = л, [у, я] = О.
Пусть а — идеал йу+ йа этой алгебры. Тогда гя (а) = 2 и гу (й) = 1. 5) Предположим, что поле й имеет характеристику О. Пусть й — алгебра Ли, т — ее радикал н () — подалгебра Картана алгебры й. Показать, что т = [0 т] + (() П т). (Обратнть внимание на то, что образ [! в алгебре 01'[0, т] содержит центр гг'[й, т] этой алгебры.) 0) Пусть й — алгебра Лн. а () — ее ннльпотентная подалгебра. Если подалгебра бз([1) ннльпотентпа, то она является подалгеброй Картана алгебры 9.
7) Пусть 6 — алгебра Ли, а — подалгебра Картана в Ф и У вЂ” некоторый Ю-модуль, Пусть й =й Х У вЂ” полупрямое произведение Ф и У. Показать, что о Х У'(а) — подалгебра Картава в алгебре й. 8) Предположим, что поле й имеет характеристику р> О. Обозначим через й алгебру Лн с базисом (х, у] н соотношением [х, у[ = у. Пусть У— векторное й-пространство с базисом [е.у 1 м Х!РХ а) Показать, что на У существует еднкственная структура й-модуля, прн которой хе,. =шрг и уе, =е +! длн всех !. Этот д-модуль прост.
б) Пусть О=УХ У вЂ” полупрямое пронзведенне й н У. Показать, что у — разрешимая алгебра Лн ранга 1, производная алгебра которой не нильпотентна в) Для того чтобы элемент алгебры й был регулярным, необходимо н достаточно, чтобы его проекция па 6 имела внд ах + Ьу, где ад ч! О. Гл чн. НОдАлгевРы кАРтлнА. РеГулЯРные элГменты 4 э 74 г) )гэ(х+ р) 0 и (гэ(х) йез.
Вывестн из этого, что алгебра а обладает подалгебрзми Картана размерности 1 (например, й(х+ у)) н подалгебрамн Картава размерности 2 (например, эх+ йеэ) (ср. упражнение 0). 9) Пусть з — алгебра Лн с базисом (х, у) и соотношением [х, у) р, 1= Эу и ф: я — ь р/! — канонический морфиэм. Элемент 0 алгебры д/! регуля. реп в а/1, но не является образом при морфизме ф никакого регулярного элемента алгебры р. !0) Предположим, что поле й бесконечно. Пусть р — алгебра Лн. Показать, что следующие свойства эквивалентны: (!) Гр(Ч)=б(а(р), (П) алгебра р нильпотентиа, (В!) алгебра р имеет только конечное число подалгебр Картана размер. ности, равной гр(р), (!У) алгебра р имеет единственную подалгебру Картзна. 1!) Пусть « — коммутатнвная алгебра Ли Ф О, а Р— нонечное подмножество в «" содержащее О.
Показать, что сушестаует такая алгебра Ли р, содержашая «в качестве подалгебры Картвиа, что множество весов алгебры « в в совпадает с Р. (Построить алгебру я как полупримае произведение алгебры «и «-модули )г, равного прямой сумме одномерных «-модулей, соответствующих элементам множества Р— (0), ср, упражнение 7.) Лля того чтобы элемент х из « удовлетворял равенству « р'(х), необходимо н достаточно, чтобы он не был ортогоиален нн к какому элементу из Р— (О). 12) Предположим, что поле Ф конечно. Построить пример алгебры Ли р, обладающей подалгеброй Картава «, в которой не существует такого элемента х, что « = р'(х).
(Использовать предыдущее упражнение, полагая Р = «'.) 1[ 13) Предположим, что поле А конечно, Обозначим через А' некоторое его расширение. Пусть в — алгебра Ли иад нолем А. Будем называть рангом алгебры р н обозначать через гр(а) ранг Ачалгебры з я®АА'; элемент алгебры Я будем называть регулярным, если ои регулярен в р'. Эти определения не зависят от выбора поля Р, Показать, что если Сагд (й! ~ ГЛа (р) — гр(р), то алгебра р содержит регулярный элемент (а следовательно, и подалгебру Картана). (Использовать следующий результат: если а — ненулевой однородный элемент алгеба!зы й [Х„..., Хн[ и Сагб (й) )бер(а). то существует такой элемент хай, что а(х) Ф 0.) 14) Г!редположнм, что й — поле характеристики нуль. Пусть (г — векторное Ф-пространство конечной размерности, р — подалгебра алгебры Лн р1()г), « — подалгебра Картава в р и и — наибольший идеал нильпотентиости р-модуля )г (гл.
1, э 4, п' 3, определение 2). Показать, что элемент подалгебры « ннльпотентен тогда и только тогда. когда он принадлежит пн. (Ограничиться случаем, когда и-модуль (Г полупрост. н использовать следствие 3 теоремы 2.) ф 13) Предположим, что поле А бесконечно. Пусть я — алгебра Ли, (у„(я) — объединение членов верхнего центрального ряда алгебры р и х— злемент алгебры а.
Показать. что следуз шне свойсзза эквивалентны: (ц х принадлежит лк1бой подвлгебре Картана алгебры р, (!Ц х ш р'(у) при всех у эм 3 (т. е. ха р" !р)), (!В) х а э' р. УПРАЖНЕНИЯ (Непосредственно ясно, что (йй-»(й! ~ !й. Для доказательства имплнкацни ( 1! ~ й(! заметить, что свойство (1! эквивалентно включению х ев Пь (у) для любого регулярного элемента у нз П, и использовать тот факт, что регулярные элементы всюду плотны в П в топологии Зарисского. Длн доказательства импликации (й) ~ йй) заметить, что подпрострзнства п яэ(П) устойчиво относительна и (э 1, упра кнеиие 5), и применить теорему Энгеля к й-модулга п. Вывести отсюда, что п содержит эг и.) $16) Пусть й — комплексиан разрешимая алгебра Ли, Г) — ее подалгебра Картава и й =Щ й (Г)) — разложение ва примарные надпространства, где х й' (Г)) — Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
