Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Надо доказать, что Ч = й а) Показать, что представление алгебры й в дуальиом пространстве У" Р-! к (г изоморфно ее представлению в пространстве уч У, где р = 4!гп (г (использовать то, что П содержится в Ф1(у)). Вывести нз этого, что любой элемент пространства Т„лв — — Т" (У) 8 Т~ ()г'), инвариантный относительно 5, иниариантсн и относительно й и что 5 — алгебраическая алгебра (упражнение 5).
б) Пусть (Уг — подпространство векторного пространства Тп яг Предположим, что оно устойчиво относительно 5 Показать, что йг устойчиво относительно (! (заметнть, если еь ..., ег — базис в й", то элемент и, Л ... Л ег инварнантен относительно 5, а следовательно, и относительно й) Вывести отсюда, что й — идеал в й н что й/й коммутативна (см. доказате.тьство предложения 4). Тогда й й Х с.
где с — центр алгебры ч. в) Пусть (г — ассоциативная подалгебра алгебры 51(К), порожденная 1 и й. Показать, что с содержится в центре алгебры )7 (заметитвь что й содержится в бикоммутанте (нли бицентрализаторе) алгебры Й который равен И) Вывести отсюда, что элементы алгебры с полупросты.
') Относительно деталей этого упражнения см. Шевалле К., Теория групп Лк, П, Ллгебрапческие группы, гл, П, 5 М, ИЛ, М„ 1558. 82 ГЛ. ЧН. ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА. РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Ф 3 г) Пусть х <и с Показать, что реплики элемента х тоже принадлежат с (гл 1, $5, упражнение !4) Показать, что Тг (<х) 0 для всех з щ й; вывести из этого, что Тг(зх) = 0 при всех з щ 9, вследствие чего х нильпотентен (там зес. д) Сопоставляя в) и д), доказать, что с =0 н 9 =9 7) Пусть й — подалгебра алгебры Ли а1(У) Пусть т, и — два целых числа ~0, а Иг и ИГ' — два подпростраиства векторного пространства Тм (У) 8 Т" (У"), где У' — пространство, дуальное к У Предположим, что Ф" <= Иг и ИГ и Иу' устойчивы относительно естественного прелставления алгебры 9 в пространстве Тм (у)<б) Т" (у") Показать что Иг и Иг' устойчивы также относительно е(й).
Обозначим через и возникающее тогда представление алгебры е (й) в Иг/Иг', Показать, что пе(й) — разделяющая обо. лочка алгебры и (9) (использовать теорему 1). Вывести нз этого, что ай е(9) — разделяющан оболочка подалгебры ад 9 алгебры Ли 91(9!. 8) Пусть й — подалгебра алгебры Ли 91(У) и () — некоторая подалгебра Картана алгебры 9, а) Показать, что е(а) =е(()) + а)й =е(()) + а. (Заметит<а что е(()) + + Жй — разделяющая подалгебра (следствие 1 теоремы 1), она содержит 9 =() + нзй и содержится в е(й), следовательно, совпадает с е (<1).) б) е (1)) П9 = () (заметить, что подалгебра е (1)) П й иильпотентиа).
в) Пусть х — элемент из нормализатора подалгебры е())) в е(9). Пока. зать, что х сне(()). (Записать х =у+ х, где у <н е(()), я <и <р ср, а), и заметить, что [з, 9) се(9)П9 й, следователы<о, г<и 9) г) Показать, что е(й) — подалгебра Картана алгебры Ли е (9). 9) Пусть а — подалгебра алгебры Ли 91(1') Показать, что условия (!), (П), (<и) упражнения 1б из $3 эквивалентны такому условию: (ч) й — разделяющая подалгебра и ее ранг равен рангу алгебры й<п (9) (Если з— подалгебра Картана алгебры 9. то условие ранг алгебры 9 равен рангу алгебры 9(н (9)аэквивалентио условию,4 Пп (9)=0", т.
е тому, что 0 не содержит нильпотентнык элемеьтов (см 9 2, упражнение 14). Вывести из этого эквивалентность (<) и (ч).) 1О. Пусть й' — расширение полн й и 9' — некоторая й'-подалгебра алгебры Лн 91 (У ® Ай') = 91 (У) (й) ьй'. а) Показать. что существует наименьшая подалгебра 9 алгебры Ли 91(У), для которой 98 „й' содержит 9'. б) Предположим, что поле й' алгебраически замкнуто, и обозначим через 0 группу й-автоморфизмов поля Ф'. Эта группа дейстнует естественным образом на пространстве У (к) й'. Показать, что 9 Э й' совпадает с подалгеброй Ли, порожденной образами 9' при действии группы 0 (использовать тот факт, что поле инвариантов группы 0 в й совпадает с й). в) Показать, что если 9' — разделяюшан алгебра, то и й — разделяющая алгебра. (Снести к случаю, когда поле й' алгебраически замкнуто, и использовать б) вместе со следствиями 1 и 3 теоремы 1.) т( 11) Предположим именно в этом упражнении, что й — совари<запое лоле характеристика р > 0 Пусть 9 есть р.алгебра Ли (гл.
1, 9 1, упражнение 20). Для х <и 9 обо. значим через (х) наименьшую р-подалгебру, содержащую х. Она коммутативна и как векторное й-пространство порождается элемептамн х', где УПРЛЖНЯНИЯ зьь. г 1=0, 1, ... Элемент х называется нильнотентным (соотв, полуиростым), если р-отображение пространства (х) нильпотентно (соотв биентивно) а) Показ т., что элемент х можно единственным образом представить в виде х з+ н, где з, и еи(х) и з — полупростой вземент, а и — нильпотентный (применить упражнение 23 из гл.
!, $!). Если ! есть р-гомоморфнзм алгебры 9 в 3! (У), то ! (з) и ((и) совпааают с полупростой и нильпотентной компонентами эндоморфнзма ) (х); зто нужно применить и присоединенному представлению б) Подалгебра алгебры й называется разделяющей, если она содержит полупростую и нильпотевтную компоненты каждого своего элемента. Показать, что если Ь и с — подпространства векторного пространства 3, причем Ь ~: с, то множество элементов х сы 3, для которых [х, с] ~ Ь вЂ” разделяющая подалгебра (то же донаазтельство, что и для предложения 3); в частности, каждая подалгебра Картана разделяющая.
в) Пусть ! — хоммутативная подалгебра алгебры й, состоящая из иильпотеитных элементов и максимальная относительно этого свойства. Пусть Ь вЂ” пентрализатор подалгебры ! в 3 Пусть х щ Ь и х =з+ а — его каноническое разложение. Тах ках Ь вЂ” разделяющая подалгебра, то з, и щ Ь (см б)). Показать, что подалгебра, порожденная ! и з, коммутатнвна и состоит из полупростых элементов; следовательно, она совпадает с ! Вывести отсюда, ~то эндоморфизм ад! х = ад! п нильпотентен, следовательно, подалгебра Ь нильпотентиа Так хах Ь = йь(Ь), то Ь вЂ” подалгебра Картана алгебры й ($2, предложение 4). В частности, любая р-алгебра Ли над конечным полем обладает подалгеброй Картана '). Дополнение 1 Обозначим через У векторное пространство конечной размерности над полем йь 1) Пусть й' — расширение поля й и У!э)= У ® ай'.
Похазать, что топо- логия Зарисского на пространстве У!э ! индуцирует на У топологию Зарис- ского пространства У и что У всюду плотно в 1'!э.!. 2) Предположим, что У равно произведению двух вехториых пространств У~ и Уь а) Топология Зарнссхого на пространстве У более тонная, чем произве- дение топологий Зариссного на У, и УН она строго более тонкая, если У~ чь О н Уг Ф О. б) Если А, (соотв Ас) — подмножество в У, (соотв. в Уз), то замыиаиие А, Х А, равно произведению замыканий А, н Аз. 3) Предположим, что поле й алгебраичесхи замкнуто. Пусть А и  — два ззмхнутых подмножества пространства У и а (соотв.
Ь) — множество функций ! ем А, обращающихся в нуль на А (соотв. на В). Доиазать эквивалентность следующих свойств: (!) АПВ=О, (П) а+Ь=А, (!!!) Существует полиномиальная функция на пространстве У, равная 1 на А и О на В. (Использовать теорему Гильберта о нулях (Комм. алг,, гл.
Ч, д 3, п' 3) для доказательства (!) ~ (!!).) '] Относительно деталей этого упражнения см. Зе!!паап П. В., Моди1аг Е!е А)пеЬгэз, сЛар. Ч, $7, Зрг!пнет-Чег!ан, 1967. 84 ГЛ ЧП ПОЛЛЛГПННЫ Кдртщы. япГКЛ8ННЫПЭЛПМПНтЫ аы 0 4) Предположим, что и — полное поле недискретного нормирования Обозначим через У" (соотв.
через Ы) топологию баиахова пространства )г (соотв, его топологию Зарисского). а) Показать, что топология У более тонкая, чем Я [и даже строго более тонкая, если )г Ф 0) б) Показать, что любое иепустое Я-открытое подмножество пространства )г у"-всюду плотно. Лополнение Н 1( 1) Пусть Х вЂ” локально связное топологическое пространство, %'(Х)— пространство вешественнозиачных непрерывных функций на Х и Н вЂ” целое число ~ )О. Пусть Р ив э."(Х)(Т) — унитарный многочлен степени д с коэффициентами в 97(Х), Р=у'+7-'1!+ ... +1, 1ззм()г(Х). Рассмотрим Р как функцию на )х'л', Х, полагая Р((,х)=! +! )г(х)+ ...
+!4(х), если !щ(!. хаХ. Пусть Ь щ йг(Х) — дискрииинаит многочлена Р (А(п, с(зар, !Ч, э 1, п'10). Длн открытого подмножества 0 щ Х обозначим через Х множество тех ((, х). где ге К н х си О, что Р((, х) =0; это зачкнутое подмножество в ЙХ0. а) Показать, что проекция ргз. У -ь 0 — собственное отображение У (Оби(, гоп., гл.
1, $10) б) Предположим, что 0 связно и Ь(х) ть 0 при всех х щ О. Показать, что Я -ь 0 — накрытие пространства 0 (Оби!. гоп., гл. Х1) степени ~д и и что число связных компонент пространства (4 '7( 0 — Е не превосходит У с(+ 1. в) Пусть Х' — множество тех точек в Х, для которых Ь чь О. Предположим, что Х' всюду плотно в Х.
Обозначим через ое (соота. через й)) множество связных компонент множества К' (соотв. )! ХХ вЂ” Х ). Показать, что х Сагб (з)) ~ (д+ 1) Сагб (лФ) (исподьзовать б)). г) Предположим, что Х связно н И~в!. Поназать, что Сагб (ю) ~ (1+ И) Сагб (.Ф) а) 2) Пусть )г — вещественное векторное пространство конечной размерности а и Р— полнномиальная функция на )г степени д. Обозначим через )г' множество тех точек пространства )г, для которых Р Ф О. Показать, что число связных компонент пространства )г' конечно, и зто число ограничено некоторой константой, зависящей только от а и д.
(Провести индукцию по и. Снести к случаю, когда Р не имеет кратных множителей, и показать возможность представления )г в виде й )4 Х таким образом, чтобы результаты упражнения 1 были применимы к Р ').) ') Относительно других результатов а том же направлении см. М!!пог Л, Оп Йе Ве!!! ппшЬегэ о1 геа) чапенез, Ргос. Атег, Минь бос„Хч' (1964), 275-280.
ГЛАВА У»П РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЪ| ЛИ В этой главе и — поле нулевой характеристики. Если не оговорено прог'ивное, то под „векторным пространством" понимается „векторное пространство над полем к"; то же самое относится к алгебрам Ли и т. и. 5 1. Алгебра Ли |П(2, й) и ее представлении 1. Канонический базис в |П(2, й) Лемма 1, Пусть А — ассоциативная й-алгебра, а Н и Х вЂ” такие элементы из А, что [Н, Х] =-2Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
