Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Утверждение (!!) следует из (!), потому что множество Х порождает !«'-алгебру 6®ь !«'. Следствие 4. Пусть 6 — разделяющая подалгебра алгебры .7и 81((т). Обозначим через У множество коммутативных подалгебр алгебры 6, состоящих из нильпотентных элементов (ср. предложение 6). Тогда все максимальн«не элементы множества У" имеют одинаковую размерность.
Пусть !«' — алгебраически замкнутое расширение поля /«, и пусть У" = 'У' Зь l«', !!'= 8 фь !«', Рассмотрим максимальные элементы «„1, множества У . Пусть !',.=1, «8! !«', (),— нентрализатор подалгебры 1«в алгебре й и 6',=5«9А(«'. Тогда ()«вЂ” это подалгебра Картана алгебры а (предложение 6), поэтому $',— подалгебра Картава алгебры а'. Так как 8;=1;ХЕУ(«1,), то ч', = !',л, и, ®; следовательно, подалгебра !',. является множеством полупростых элементов алгебры ()г Поскольку алгебра а' разделяющая (следствне 3), подалгебры 1,' и ~', сопряжены относительно группы Аи(,(6') (предложение 6), и потому б(ГЕ!, = = б!ш 1,.
Теогемь 2. Пусть 6 — подалгебра алгебра,7и !1(У'). Тогда следующие условия эквивалентны: (!) 6 — разделяющая алгебра; (!!) любая подалгебра Каргана алгебры 6 является разде. ляющеи'; ДОПОЛНЕНИЕ Е ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ез (ш) алгебра й обладает разделяющей подалгеброй Картана; (!ч) радикал алгебры й — разделяющая подалгебра, (1)=ь-(!!). Это вытекает из следствия 2 предложения 3. (11)~(1). Это вытекает нз следствия 1 теоремы 1, так как алгебра й порождается своими подалгебрами Картана (3 2, и'3, следствие 3 теоремы 1). (!!) =>-(ш).
Очевидно. (!!1) =:. (В). Ввиду следствия 3 теоремы 1 можно считать поле й алгебраически замкнутым. Тогда подалгебры Картана алгебры й сопряжены относительно группы элементарных автоморфизмов этой алгебры (э 3, и'2, теорема 1). Используя замечание 1 из и'1 $3, мы получим отсюда, что если одна подалгебра Картана разделяющая, то все они разделяющие.
(1) =>-(1ч). Это доказано в следствии 2 предложения 4. (!ч) =>-(1). Предположим, что радикал т алгебры й — разделяющая подалгебра. Пусть  — подалгебра Леви алгебры ф Она является разделяющей (предложение 2), поэтому й = а+ т— разделяющая алгебра (следствие 1 теоремы 1).
ДОПОЛНЕНИЕ ! Полиномиальные отображения и топология Зарисского В это,ч дополнении поле й предполагается бесконечным. Х. Топология Зарисского Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство. Обозначим через Ае алгебру полиномиальных функций на пространстве У со значениями в й (А1й., сйар. 1Ч, 3 5, и'10, йеВп1- Воп 4). Это градуированная алгебра, ее компонента степени 1 совпадает с пространством У', дуальным к У.
Вложение пространства У' в алгебру Аг продолжается до изоморфизма симметрической алгебры 8(У') на А1, (А(й., сйар. 1У, $ 5, и'11, !сегпагдие 2). Если (е„ ..., е„) — некоторый базис пространства У и (Хь ..., Х„) — набор независимых переменных, то отображение алгебры й [ХИ ..., Х„] в алгебру Аю которое ставит в соответствие элементу !' из й [Хи ..., Х„[ функцию я ~, Х,е,- ~ — э ) (1, „.. „Х„), является изоморфизмом алгебр (А1д., сйар. 1Ч, $5, и'10, согойа(ге де 1а ргороз11(оп !9). ГЛ. У!!. ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА. РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРедложение 1.
Пусть Н вЂ” множество гомоморфизмов алгебры АУ в поле Ь. Для произвольного элемента хеиУ обозначим через Ь гомоморфизм 1 ! (х) алгебры Ау в поле Ь. Тогда х ь ܄— бигктивног отображение пространства У на множество Н. Действительно, обозначим через Н' множество гомоморфизмов алгебры Ь(Хн ..., Х„) в поле Ь. Очевидно, что отображение х ь(х(Х!), ..., Х~Х„)) является биективным отображением множества Н' на Ь .
Следствие. Пусть >и> =Кег(Ь ), где хееУ. Тогда х ьп!,— бигктивнаг отображение множества У на множество тгх идеалов и! алггбрь! АУ, для которых АУ/ш= Ь. Подмножество Р множества У мы будем называть замкнутым, если существует такое семейство (1!)! ! элементов алгебры АУ, что х~рк=ь хеи У и 1>(х) =О для всех 1еи!.
Очевидно, что множества !с) и У замкнуты и что любое пересечение замкнутых множеств замкнуто. Если множество Р определено условием, что на нем обращаются в нуль функции !„а Р' — условием, что на нем обращаются в нуль функции 1', то множество Р()Р' будет множеством, на котором обращаются в нуль функции Ц;., и, следовательно, замкнуто.
Таким образом, существует топология на пространстве У, в которой замкнутыми являются как раз множества, замкнутые в указанном выше смысле. Эта топология называется топологией Зарисского на пространстве У. Для произвольного элемента )еи Ау обозначим через Ут подмножество тех элементов хыУ, для которых 1(х) ФО. Множество У> открыто в У. Ясно, что множества У! образуют базис топо. логии Зарисского. (Если Ь вЂ” топологическое поле, то каноническая топология на пространстве У оказывается более тонкой, чем топология Зарисского.) Отображение х и!„, определенное в следствии предложения 1, можно рассматривать как отображение е пространства У в простой спектр Зрес(АР) алгебры Ау (Комм.
алгэ гл. 11, $4, п'3, определение 4), При этом топология Зарисского на пространстве У является обратным образом при отображении е топологии на пространстве Зрес(АР). ПРедложение 2. Векторное пространство У, снабженное то. нологигй Зарисского, является нгприводимым нгтгровым пространством. В частности, каждое гго открытое непустое подмножество всюду плотно в нгм. 1 ДОПОЛНЕ11ИЕ 1. ПОЛИ110МИАЛЬНЫЕ ОТОБРАЖЕ11ИЯ ав Вследствие того что кольцо А» нстерово, пространство Зрес(А») нетерово (1Аомм.
алг., гл. П, З 4, и'3, следствие 7 предложения 11), и каждое надпространство нетерова пространства нетерово (там же, и'2, предложение 8). Пересечение идеалов ш„в обозначениях следствия предложения 1 есть (О), и множество (О) — простой идеал кольца А», 'следовательно, пространство»' неприводимо (там же, п'3, предложение 14). 2. Доминирующие полиномиальные отображения Пусть Г, Ф' — конечиомерные векторные пространства и 1 — полиномиальное отображение пространства (т в )»' (А1д., с(1ар.
1»', В 5, и'1О, де(1п11(оп 4). Если фенА1», то фа(~А» (там же, ргороз11юп 17). Отображение ф фо( называют гомоморфизмом алгебры А1» в А», ассоциированныл1 с отображением 1. Его ядро состоит из тех функций ф~А1», которые равны 0 на 1((т) (и, таким образом, на замыкании подмножества 1(Г) в топологии Зарисского).
Опгеделение 1. Полиномиальное отображение 1': Р— э((т называется доминирующим, если ассоциированный с ним гомоморфизм алгебры Ая„в А» инъективен. Таким образом, отображение 1 является доминирующим тогда и только тогда, когда множество 1((т) всюду плотно в ят в топологии Зарисского. Пгедложенне 3. Предположил, что поле й алгебраически замкнуто. Пусть 1': (т — (»' — доминирующее полиномиальное отображение.
Тогда образ при 1 любого открытого всюду плотного подмножества пространства 1' содержит открытое всюду плотное подмножество пространства ((», Достаточно доказать, что для любого ненулевого элемента ф алгебры А» множество 1((т ) содержит открытое всюду плотное подмножество пространства М». Отождествим алгебру А1» с подалгеброй алгебры А» при помощи гомоморфизма, ассоциированного с отображением 1. При этом существует такой ненулевой элемент фепА1», что любой гомоморфизм 1в: А1» — )г, не аннулирующий ф, продолжается до гомоморфизма о' А»-+ и, не аннулирующего 1р (Комм.
алг., гл. »', 5 3, п'1, следствие 3 теоремы 1). Если отождествить гомоморфизм ю (соотв. о) с элементом множества Н7ч (соотв. Р ), то утверждение о том, что о продолжает и1, означает, что 1(о)=ю. Поэтому (Р',„~ 1 ((т ). Ч. Т. Д. Пусть 1: Р- ((à — полиномиальное отображение и ха ее (l. Тогда отображение й~ — э)'(кь+й) пространства (т в )Р' тоже 66 ГЛ. ЧН, ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА.
РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ! полиномиально. Представим его в виде конечной суммы однородных полиномнальных отображений: 1 (хь + й) = 1 (хь) + е! ! (Ь) + РА (Ь) + ..., где Р,: 'Р' — Р 1Р— однородное отображение степени !' (А1д., с)!Эр. 1Ч, $5, п'1О, ргороз111ОП 19).
Линейное отображение О, называется линейным отображением, касательным к !' в точке х . Оно обозначается через Р((хь). ПРедлОжение 4. П(Гсть 1; 1' — ! )Р— полиномиальное отображение. Предположим, что существует такая точка х, Б= Р', что отображение (Р!') (хь) сюръективно. Тогда ) — доминирующее отображениее. Произведя некоторые сдвиги в пространствах (т н (1т, мы можем считать, что хь — — О и 1(хь) =О. При этом разложение ! в сумму однородных отображений имеет вид ! =!!+!2+ ..., где дед~!=! и линейное отображение !! по предположению сюръективно. Предположим, что ! не является доминирующим. Тогда существует такой ненулевой элемент $ алгебры Ам, что !(!О)=О.
Пусть !Р=!Р +$ +!+ ... — разложение элемента !Г в сумму однородных элементов и оей!Р!=!', $ ФО. Тогда О = !Р а ) тр о ) + !р +! о ) + ... ф о 1! + р где р — сумма однородных полииомиальных отображений степеней > пт. Вследствие этого тг„,о!! =О. Так как )! сюръективно, то !г = О, что приводит к противоречию.
Следствие. Если поле й алгебраически замкнуто и отображение 1 удовлетворяет условиям предложения 4, то образ при отображении 1 любого открытого всюду плотного подмножества пространства Р' содержит открытое всюду плотное подмножество пространства йт. Это следует из предложений Э и 4. ДОПОЛНЕНИЕ П Одно свойство связности Лемма 1. Пусть Х вЂ” связное топологическое пространство и У. — открытое всюду плотное подмножество в Х. Если для любой точки х Бе Х существует такая ее окрестность (Г, что (Г П АА связно, то подмножество 11 связно.
дополнение и. одно своиство связности 67 Действительно, пусть 1гь — непустое открытое и замкнутое подмножество в Рь Пусть х ен Х и )/ — такая окрестность точки х, что )/Д ьг связно. Если хеи Уь, то ()/()(1)()а =)/()(э М О, поэтому т' П й с: 11ь. Так как 11 всюду плотно в пространстве Х, то Йь — окрестность точки х. Таким образом, множество Йь открыто и замкнуто, непусто, и так как Х связно, то Йь — — Х. Поскольку множество 1)ь замкнуто в 11, имеет место равенство Й,= Я() ь1ь=(1, что и доказывает связность множества 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
