Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Лемма 2. Пусть П вЂ” откртятый шар в пространстве С и /: 1/- С вЂ” не равная тождественно нулю голоморфная функция. Пусть А — некоторое подмножество в П, такое, что !'=О на А. Тогда множество У вЂ” А всюду плотно в (/ и связно. Множество (/ — А всюду плотно в П согласно Мн. Св. рез., 3.2.5.
Предположим сначала, что а=1. Если вен А, то степенной ряд функции ! в точке а ненулевой, поэтому существует такая окрестность 1', точки а в 1/, что функция / не обращается в 0 на )/,— (а). Таким образом, точка а изолированна в А, и это доказывает, что А — дискретное подмножество в 1/; поэтому множество А счетно, так как 1/ счетно в бесконечности. Пусть х, уев(/ — Л. Объединение вещественных аффинных прямых, соединяющих точку х (соотв. у) с точками множества А, является тощим множеством (Оби(. топ., гл. 1Х, $5, п'2). Вследствие этого существует такая точка ген (/ — А, для которой отрезки [х, г) и 1у, 4 не пересекают множества А.
Поэтому точки х, у, г принадлежат одной связной компоненте множества П вЂ” А, что и доказывает лемму в случае и= 1. Рассмотрим общий случай. Можно предположить, что А — множество нулей функции / (Оби!. топ., гл. !, $11, и'1, предложение 1). Пусть х, у ен (/ — Л и /. — аффинная прямая, содержащая точки х и у. Ограничение функции / на подмножество /. () У не равно тождественно нулю, так как х~/.()(/.
По доказанному выше точки х и у лежат в одной связной компоненте множества (/. () У) — (/.П А), а следовательно, и в одной связной компоненте множества (/ — Л. Лемма 3. Пусть Х вЂ” связное комплексное аналитическое многообразие конечной размерности и А — подмножество в Х, удовлетворяющее следуюи(ему условию: 88 ГЛ УН. ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА. РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 1 Для любой точки хея Х существует росток аналитической функции ~„, не обращающийся в нуль в точке х и такой, что росток множества А в точке х содержится в ростке множества нулей функции ~„в точке х. Тогда множество Х вЂ” А связно и всюду плотно в Х. Утверждение о том, что Х вЂ” А всюду плотно, следует из Мн.
Св. рез., 3.2.5. При доказательстве остального можно предположить, что множество А замкнуто (Общ. топ., гл. 1, й 11, и'1, предложение 1). Для любой точки х~ Х существуют такая ее окрестность )Г и такой изоморфнзм с окрестности )т на открытый шар в пространстве С", что подмножество с(А П У) содержится в множестве нулей некоторой не равной тождественно нулю на с(У) голоморфной функции. Тогда по лемме 2 множество У Д (Х вЂ” А) связно. Вследствие леммы 1 мы получаем, что множество Х вЂ” А тоже связно. УН РАЖНЕНИЯ Рассмагригагмьгг алгебры Ли и модули иад этими алгебрами предполагаются коигчяомгрными кад полем й; начиная с $3, мы предполагаем, что поле й имеет характеристику О. 1] Предположим, что й — поле характеристики р ) О. Пусть У вЂ” вектор.
нос пространство, а Я вЂ” конечное множество. Для того чтобы отображение г: Я -+ Епб (У) удовлетворяло условию (ПК), необходимо и достаточно, чтобы для некоторой степени у числа р при любых з з'ги Я имело место равенство (зч,з'г) = 0.(Использовать формулу (1) из упражнения 19 и 1 гл.
1.) 2) Предположим, что поле й совершенно. Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство, и, о еи Епд (У) и иг, и„, ог, о„ вЂ” полупростые и ннльпотентные хомпоненты эндоморфизмов и и о. Тогда следующие условия эквивалентны; (!) существует такое целое число т, что (ад и) о=0; (!!) эндоморфизмы иг и о перестановочны. (При доказательстве (!) ~(!!) можно предполагать поле й алгебраически замкнутым и использовать лемму 1 (Е).) 3) Сохраним предположевия из п'2. Предположим, кроме того, что поле й бесконечно и условие (ПК) выполняется. Пусть й' — совершенвое расширение поля й и Гы Я-ь й — такое отображение, что у (Я) „ь О. Положим к У' У!8)вй', Я'=Я(3)ай'. Обозначим через г': Я'-ьЕпб(У') линейное отображение, полученное из отображения г расширением поля скаляров.
Тогда существует единственное отображение к'. Я' — ь й', для которого у (Я) !Эь й' У' (Я'). (Достаточно рассмотреть случай, когда У = У (Я), Пусть Р— такая полиномнальная функк ция на Я и у — такая степень характеристической экспоненты поля й, делящая Гйш у, что кг = Р. Обозначим через Р' полиномиальную функциьз на пространстве Я', продолжающую Р.
Тогда для каждого влемента з' ш Я' существует такой элемент А'(з') ш й', что к'(з')ч= Р'(з'], Показать, что (л — А (3 )) '" — характеристический многочлен эндоморфнзма г'(з').) 4) Предположим, что поле й имеет характеристику нуль. Пусть й = 31 (3 й) и а — подалгебра в й, порожденная некоторой диагональной матрицей с собственнымн значениями 1, — 1 и О.
Показать, что подалгебра о редуктивва в 3, что централизатор !и подалгебры а в 3 состоит из диагональных матриц со следом нуль и что централизатор подалгебры п! в 3 совпадает с п!, а следовательно, не совпадает с О (см. п'5, замечание). ~[ б) Предположим, что поле й бесконечно. Пусть 3 — алгебра Ли, а У вЂ” некоторый й-модуль. Пусть и — целое число ~)0; обозначим через Ул множество таких элементов о !и у, что х"о 0 при всех х гм 3. 76 гл. чп, подалгяв и каптлмд.
яягулярыыя элгмяыты у ! а) Показать, что если и щ Ул и х, у зм 6, то (Использовать тот факт. что (х+ !у]Я о = О для любого Г !и й,] Заменяя в этой формуле у на (х, р), получить ~), что (хяр — ух") э =О, откуда будет следовать равенство хаус = О. б) Показать, что подпрзстранство У„ является й-подмодулем в У (испольэовать а)), Вследствие этого уз(й) () у„ — тоже й-подмодуль модуля !'.
в) Предположим, что Ф = )( или С; обозначим через 6 односвязную группу Ли с алгеброй Ли й. Действие алгебры я па пространстве !' определяет действие группы 0 на !' (гл. П!, э 6, и' !). Показать, что элемент о щ У принадлежит подпространству Уи тогла и только тогда, когда (з — !)" п О для всех з ьм РЛ такич образом, Уз (й) = У'(6).
6) Сохраним обозначения упражнения !2 из и 3 гл. !. В частности, й — алгебра Ли, М вЂ” некоторый й-модуль и Нл(Ч, М) = хд (н, М)/Вл (й, М)— пространство р-мерных когомогогий алгебры П со значениями в М. а) Показать, что полпрзстранства Вд(й, М) и лд(6, М! устойчивы относительно естественного представления 0 алгебры й в пространстве «оцепей Сд(й, М). Иа основании этого иостронть представление алгебры я в пространстве Н"(ч, М).
Доказать, что это представление триечально (использовать формулу 6 = Ж + !г(, гам же). б) Пусть й — алгебраическое замыкание поля й. Пусть х ~ й и х — со- М ответствующий эндоморфизм модуля М. Обозначим через Ло ..., Л„(соотв. р, ..., р ) собственные значения (в поле й) эндоморфизма аб х (соотв, х ) с учетом кратности. Показать, что собственными значениями эндомор. физиа 6(х) пространства С" (6, М) будут числа р! — (Л + ...
+ Л ! / где !~()~лг н 1~((~ <(з< .. <!я(л. Получить отсюда, используя а), что НЯ(й. М) =О, если ни олин из элементов р! — (Л + . ° . +Л ) не равен нулю. г ) в) Предположим, что представление й -и Епб (М) точное и что элемент х удовлетворяет условию рЛ + " + н), -" р», + " + ра„, при любых )о ..., !р, М, ..., йр+, щ(1, пз). Показать, что тогда Нд (й, М) О (заметить, что собственные значения Л! эндоморфизма аб х имеют вид р — р, н применить б)). 7) Пусть й — нильпотентная алгебра Ли и У вЂ” такой п-модуль, что Уз(п) =О.
Доказать, что Нд(П, У) О при всех р )О. (Достаточно рассмотреть случай, когда У= У (я), где Л ~ О, и выбрать элемент х ~ н так, х чтобы Л(х) Ф О. Применить упражнение 66), заметна, что все Л! равны нулю, а все р равны Л(х).) ') Это доказательство сообщил нам Дж. Селигман. УПРАЖНЕНИЯ 71 Доказать заново следствие предложения 9 (положить р = 1) '), '[[ 8) Предположим, что Ь вЂ” поле характеристики р>0. Пусть у-ал гебра Лн над полем Ь с базисом (з), ..., езй Обозначим через У уннвеп сальную обертываюшу)о алгебру алгебры и, а через С вЂ” центр алгебры У.
((ля каждого ( = 1, ..., л выберем такой ненулевой р-млогочлзн ( степени (, Р для которого (,. (эд е ) =О. Тогда 1,. (е,.) ш С, ср. гл. 1, з 7, упражнение 5. Положим г, =(,. (е,). а) Показать, что элементы г), ..., зз алгебраически независимы. Доказать, что У вЂ” свободный модуль над кольном А=»[го ..., г„) с базисом оз из произведений е, ... е„, где О~п) <г(. [Использовать теорему Пуанкаре — Бнркгофа — Витта.! Ранг [У: А) модуля У над А разек о) ... г(з', это степень числа р. Таким образом, С есть А-модуль конечного типа, а следовательно, Ь.алгебра конечного типа и размерности в (см. Комм. алг., гл.
ЧПП. б) Пусть К вЂ” поле частных кольца А и Ц(к)=УЗАК С(к)-СЗ(я]К. Тогда У( -)С< ) -) К Доказать что У<.) — тело с центром С(к), являющееся телом частных (левым ч правым) алгебры У. см. гл. 1, 5 2. упражнение 1О. Получить ото)ола что ]У, С,,] имеет вил З' гле д — степень числа р, что [С(к) . К] = дш тле ус — степень р, и [У: А) = дсуз, в) Пусть г( — некоторый ненулевой элемент кольца А и Л вЂ” подкольцо в У, для которого У)= Л ~И У Показать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
