Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 10
Текст из файла (страница 10)
РеГуЛяРные элементы Ф (Ш) для регулярности элемента а ее ехр(У) необходимо и до. статочно, чтобь1 подалгебра й' (а) была подалгеброи Картона алгебры й. Пусть Е = гк (й). Если х ен У вЂ” регулярный элемент алгебры й, то «А,(ехрх) = йт 81 (ехрх) = 81нп 8'(х) = Е. Так как регулярные элементы алгебры й, принадлежащие У, образуют окрестность элемента х и так как отображение ехр зтально в точке х, то элемент ехрх является регулярным и «,', (ехр х) = Е. Множество регулярных элементов алгебры принадлежащих окрестности У, всюду плотно в У, поэтому «'„' (а) = Е для любого а ен ехр(У).
Пусть а я ехр(У) — регулярный элемент группы 6 н а =ехрх для х ен У. Так как )ь(х) = =й' (а), то ай'(х) =«А (а) =Е. Таким образом, х — регулярный элемент алгебры й и 81 (а) — подалгебра Картана этой алгебры. Наконец, если для а ен ехр(У) подалгебра 81 (а) — подалгебра Картана алгебры й, то «А, (а) = йщ й' (а) = Е = «Аг (а); следовательно, элемент а регулярен. ПРедложение 7, Пусть )« — окрестность элемента е в группе 6.
Тогда каждая подалгебра Картана алгебры й имеет вид 81(а) для некоторого элемента а окрестности )«, регулярного в группе 6. По предложению 6 существует такая открытая окрестность У элемента О в алгебре й, что экспоне1щиальное отображение ехр: У вЂ” Р 6 удовлетворяет условиям леммы 4. Есчи () — некоторая подалгебра Картана в й, то существует регулярный элемент хее)), для которого ()=й'(х) ($ 3, теорема 2). При этом существует такой элемент Е ен й", что Ех ен У и ехр(Ех) ен («.
тогда () =йь(х) =йь(ех) =81(ехр(ех)), и по лемме 4 (й) элемент ехр(Ех) регулярен в группе 6. Пяедложение 8. Пусть Š— ранг алгебрь1 .ЕТи й. Существует такая открытая подгруппа 6" группы 6, что (1) функция «ь постоянна на 6" и ее значение равно Е; (й) элемент аен6* регулярен тогда и только тогда, когда й'(а) — подалгебра Картана алгебры й; (ш) если аев 6', то каждая подалгебра Картана подалгебры 81(а) является подалгеброй Картина в й. (1) По предложению 6 существует такая открытая окрестность У элемента О в алгебре й, что отображение ехр окрестности У в группу 6 удовлетворяет условиям леммы 4.
Будем обозначать далее через 6" компоненту нейтрального элемента 1 4 4 Регулягные элементы гРуппы ли 47 группы 6, если я=к или С, и содержашуюся в ехр(О) открытую подгруппу группы 6, если поле й ультраметрическое. Так как функция года локально постоянна и ее значение в любой точке множества ехр(6) равно ! (лемма 4 (!)), то ясно, что функция гд, постоянна на множестве 6" и ее значение равно Ь (!!) Обозначим через Е' (соотв. через 5') множество регулярных элементов подгруппы 6* (соотв.
множество таких элементов а еи 6*, для которых подалгебра й1(а) будет подалгеброй Картана в й). При этом 5" с: Е'. Действительно, если аеи 5", то гд (а) =1= гзд„(а). Докажем, что Я*с: 5'. Если поле й Ультраметрнческое, то это следует из включения 6*с: ехр(0) и леммы 4 (и). Предположим, что й =С. По следствию предложения б, если асио*, то для каждого элемента а' из некоторой окрестности элемента а подалгебра й1 (а') сопряжена с подалгеброй й1 (а) посредством некоторого автоморфизма алгебры й. Вследствие этого множества 5' и Е" — 5* открыты в 6*.
Так как множество 5" содержит все регулярные элементы из некоторой окрестности элемента е (лемма 4 (!!!)), то множество 5* непусто. Так как подгруппа О связна, то Я* тоже связно (предложение 1), и, таким образом, 5'=Е". Осталось рассмотреть случай, когда й =К. Предположим сначала, что 6* является интегральной подгруппой группы ОЬ(Е), где Š— действительное векторное пространство конечной размерности. Пусть 6,*— интегральная подгруппа группы ОЬ(Е ЗЕС), алгеброй Лн которой служит й,= 3 ЗС. Существует аналитическая функция на 6,", множество нулей которой совпадает с дополнением к открытому множеству регулярных элементов группы 6,". Вследствие Л4н.
Св. раз., 3.2.5, эта функция не равна нулю на множестве 6'. Таким образом, множество 6" содержит регулярные элементы группы 6;. Пусть Ад,— присоединенное представление группы 6,*. Для любого элемента а си 6* имеет место равенство 31(а) = 31 (а) ЗС, поэтому где (а)=гдз (а). Если аыО' — регулярный элемент группы О;, с Ф то он будет также регулярным элементом группы 6, причем г'„, (а) =гдз(а), Так как фУнкции гьд и гдз постоЯнны на множествах О; и 6* соответственно, то регулярные элементы группы 6* — это регулярные элементы группы 6",, принадлежашие О".
Используя доказанное выше, мы получаем, что если а — регулярный элемент группы О', то подалгебра й', (а)=31(п)ЗС является подалгеброй Картана алгебры й„поэтому 31 (а) — подалгебра Картана алгебры йЯ 2, предложение 3). Предположим теперь, что группа 6 односвязна. Тогда сушествуют действительное векторное пространство Е конечной раз- ГЛ !П! ПОДАЛГЕЕРЫ КАРТАНА. РЕГУЛЯРНЫе элементы мерности н этальиый морфизм 1 группы 6 на некоторую интегральную подгрУппу 6' гРуппы 61 (Е) (гл. П1, $ б, и 1, следствие теоремы 1). По предложению 2, если элемент аеи 6 регулярен, то регулярен н элемент ! (а). По доказанному выше и" (1(а)) — это подалгебра Картана алгебры Ли й' группы 6'. Так кзк !1" () (а)) =(Т() й!(а) и отображение Т) является нзоморфизмом алгебры й иа !!', то подалгебра й'(а) будет подалгеброй Картана в й. Переходим, наконец, к общему случаю (й = 11).
Пусть 6— универсальная накрывающая группы 6', 9 =й6 и д — канони. ческое отображение группы 6 на 6'. Если элемент а еи 6' регулярен и а'гид '(а), то элемент а' регуляреи, поскольку ядро морфизма !) содержится в центре группы 6 (предложение 2). Как уже установлено, подалгебра йи (а') — это подалгебра Картана алгебры й. Вследствие того что й'(а) =(Тр) й'(а') и отображение Тд — изоморфизм алгебры й на й, подалгебра й! (а) будет подалгеброй Картаиа в й.
(!И) По предложению 5 существует такая окрестность )тэлемента а, что для любого а'еи )т подалгебра й'(а') сопряжена с подалгеброй алгебры й!(а) посредством некоторого автоморфизма алгебры й. Так как каждая окрестность элемента а содержит регулярные элементы, то из утверждения (В) следует, что подалгебра й'(а) содержит подалгебру Картана алгебры й. Вследствие этого по предложению 3 из 9 3 каждая подалгебра Картана алгебры й'(а) будет подалгеброй Картана алгебры й. Ззмечание. Если й=С, то подалгебры Картана й'(а) для регулярных элементов а, принадлежащих связной компоненте М группы 6, сопряжены относительно группы 1п1 (й). Действительно, пусть тс — множество регулярных элементов группы 6.
Для любого элемента аеи)г'П М обозначим через М, множество тех элементов Ь ы )с() М, для которых подалгебра й!(Ь) сопряжена с й!(а) относительно группы 1п1(й). Как известно, 1п1 (й) = Аб (6ь), где 6ь — компонента нейтрального элемента группы 6. По следствию предложения 5 множество М, открыто в Я. Отсюда вытекает, что множество М, открыто и замкнуто в )с. Так как Ь = С, то множество И() М связно (лемма 1) и, следовательно, М,=йПМ. 4. Применение и элементарным автоморсризман Пггдложгниг 9. Пусть Ь вЂ” поле характеристики О и й — алгебра Пи над полем Ь. Если ае:-АЕ1,(!1), то размерность ниль- пространства эндоморфизма а — 1 не меныше, чем ранг алгебры 9, $5. ЛИНЕИНЫС РАЗДЕЛЯЮЩИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 49 По „принципу Лефшеца" (А1д., сЬар.
з1, $ !4, и'7, ргороз!1!оп 18) поле >г может быть представлено как объединение возрастающего фильтрующегося семейства подполей (й,), каждое из которых имеет в качестве расширения поле С. Пусть (е,) — базис алгебры й над полем й и х„..., х — такие элементы алгебры 8, что эндоморфизмы ай(х,), ..., ай(х ) нильаа (г,) гй(к потентны и а=в " ...
е "). Обозначим через с,"Б структурные константы алгебры й относительно базиса (е,) и через (х,) координаты вектора х, относительно того же базиса (! <Гн-.>п). Существует такой индекс 1~1, что элементы ст и х" ,принадлежат полю Фг Пусть й> — — х„й>е, — алгебра Ли иад в полем >г>', онв содержит элементы хь ..., х, и ограничение а> эндоморфизма а на й> будет элементарным автоморфизмом алгебры 8>. Продолжение а>®1 эндоморфизма а> на пространство 8> За С будет в свою очередь элементарным автоморфизмом алгебры 8>>8>С. Пусть 6> — связная комплексная группа Ли, алгебра Ли которой есть 8> З С, и э — такой элемент группы 6>, что Ай(э) =а>Э !.
Применяя предложение 8 к варе (6>, э), мы видим, что размерность и нильпространства эндоморфизма а> ® 1 — 1 удовлетворяет неравенству и > Гп (8> >8> С) = Гд (й>) = гп (8). Так как нильпространства эндоморфизмов а> — 1 и а — 1 имеют ту же самую размерность, то предложение доказано. 8 5. Линейные разделяющие алгебры Ли В этом параграфе мы предполагаем, что поле >г имеет характеристику О. Через )г мы обозначаем векторное пространство конечной размерности. 1. Линейные разделнюийие алгебры Ли Определение 1. Пусть й — подалгебра алгебры Ли 81 ()>), Алгебра Ли й называется раэделяюи(еи, если она содержит полупростую и нильпотентную компоненты каждого своего элемента (А1д., сЬар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
