Главная » Просмотр файлов » Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли

Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 6

Файл №947351 Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики) 6 страницаБурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351) страница 62013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Все элементы множества 5 регулярны в ()'. С другой стороны, множество 5 есть подмножество тех элементов подалгебры для которых нильпространство эндоморфизма а0,х имеет минимальную размерность; поэтому оно содержит все элементы подалгебры 9', регулярные в алгебре Ли 6. Замечание, 3) В подалгебре 1' не обязательно существует ~лемент, регулярный в алгебре а, Если же такой элемент существует, то множество всех элементов с этим свойством совпадает с множеством 5 из приведенного выше доказательства. 28 Гл ю! подАлГеБРы кАРТАнА РеГуляРные элементы 3 8.

Регулярные элементы и подалгебры Картана Теорема 1. Пусть й — алгебра Ли. (!) Если х — регулярный элемент алгебры й, то !)о(х) — под- алгебра Картана этой алгебры, (!!) Если () — максимальная нильпотентная подалггбра ал- гебры !! в эле,кент хан !) регулярен в й, то () =йс(х). (Ш) Если !) — подалггбра Картами алгебры й, то йгп (()) ~) ~ )гп(й). (!у) Подалггбры Картина алгебры Ли й, размерности которых равны Гп(й), — это подалгебры вида !!е(х), гдг х — регулярный элемент алгебры Пусть х — регулярный элемент алгебры й и а =бе(х).

Очевидно, что р (х) = !). Так как элемент х регулярен в () (предложенне 9), то Гп(()) =б!Гп(()), вследствие чего подалгебра () нильпотентна. С другой стороны, () = !!о(х):э йо(й):э $, следовательно, под- алгебра !) = йо(!)) является как раз подалгеброй Картана алгебры й (предложение 4). Таким образом, утверждение (!) доказано, Если () — максимальная нильпотентная подалгебра алгебры й и элемент х~() регулярен в й, то () с: йс(х), а подалгебра ~о(х) нильпотснтна, согласно утверждению (!); следовательно, !) = й (х), и утверждение (й) доказано. Если 5 — подалгебра Картана алгебры й, то !) =бе(х) для некоторого элемента х ен !) (следствие 1 предложения 4), по- этому б!Гп(())~)гй(!!), что доказывает утверждение (!Е), Если же б!пт((з)=гп(!), то элемент х регулярен в й. Наконец, если х' — регулярный элемент алгебры й, то вследствие утвержде- ния (!) йо(х') есть подалгебра Картана, естественно, размер- ности гп(й). Тем самым утверждение (гч) доказано.

В теореме 2 $3 будет показано, что если поле и имеет карактеристику О, то все подалгебры Картана алгебры Лн и имеют размерность, равную га(п). Следствнс 1. Каждая алгебра Ли й имеет подалггбры Картина, и ранг алгебры й равен мини.муму размерностей ее подалгебр Картана, Следствие 2. Пусть !': й -+ й' — сюръективньлй гомоморфизм алгебр Ли. Если ()' — некоторая подилгебра Картана в й', то в й существует подалгебра Картина й, для которой р'= !" (()). Положим а=) '(()').

По следствию 1 алгебра Ли а имеет подалгебру Картана (). По следствию 2 предложения 4 имеет место равенство 1(()) =-()', Докажем, что подалгебра 1! есть подалгебра Картана алгебры !!. Обозначим через и нормали- затор () в й. Достаточно доказать, что () =и. Если хенн, то Э х подьлгевгы каятыы и ьсгтлягныя элгменты элемент 1(х) принадлежит нормализатору подалгебры алгебре а', следовательно, 1(х)еи»' и лена. Но так как» совпадает со своим нормализатором в алгебре и, то хеи». Следствия 3. Каждая алгебра .Пи й есть сумма своих подалгсбр Картана.

Сумма Ь подалгебр Картана алгебры й содержит множество яссх регулярных элементов алгебры й (теорема 1 (!)). Так как это множество плотно в !! в топологии Зарисского, то в=я. Пнадложенив ! О. Пусть й — алгебра Ли, а — ее хоммутативная подалгебра и с — иентрализатор подалгебры а в й, Предположим, что эндоморфизм аб,х полупрост при любом хеиа. Тогда подалгебрами Картина в с будут подалгебры Картина алгебры !1, содержащие а. Пусть» — подалгебра Картана алгебры с. Так как алгебра а содержится в центре ! алгебры с, то а ~1 си» (предложение 5). Обозяачим через и нормализатор подалгебры» в алгебре й. Справедливы соотношения '1а, п)~[», п]~».

Так как эндоморфизмы а4, х, х ~ а, полупросты и перестаповочны между собой, то, согласно А1д., сВар. Ч!И, 5 5, и' 1, сугцествует векторное подпространство Ь пространства я, устойчивое относительно эндоморфизмов ад, а, для которого и=»(!)Ь. Таким образом, !а, Ь) с: » Д Ь = О, а следовательно, Ь с:. с, Стало быть, и — нормализатор подалгебры» в алгебре е, откуда следует, что и = » н» вЂ” подалгебра Картана в алгебре г, содержащая а. Обратно, пусть» — подалгебра Картана в й, содержащая подалгебру и. Так как»=!!ь(») с: !ь(а) и по предположению !!'(а) =йь(а) =с, то а с: » с: с, и, таким образом, Ь является подалгеброй Картана в с (равенство своему нормализатору в влечет за собой равенство своему нормализатору в г). Пгедложениг.

11. Пусть и — нильпотентная подалгебра алгебры Ни я. Существует подалгебра Картона алгебры а, содертхащаяся в йь(п). Обозначим подалгебру йь(п) через а. Так как подалгебра и ннльпотентна, то и с а. Пусть х я а и Р (х) — определитель эндоморфизма пространства !!/а, индуцированного отображением апх.

Обозначим через а' множество тех элементов х ~ а, для которых Р(х) чьО. Это открытое подмножество множества а в топологии Зарисского. Включения х еэ а' и !!ь(х) с:а эквивалентны. Из предложения 7 (В) ~ 1, и' 2, следует, что йь(у) =а для некоторого у ~ и. Тогда у ~ а' и; таким образом, а' зо гл, тн. подл»тенты клят»ил. гегэлягные элементы непусто. Так как множество а' открыто, его пересечение с множеством регулярных элементов алгебры а тоже непусто.

Если элемент х принадлежит этому пересечению, то йь(х) с- а и йь(х) — подалгебра Картана алгебры а; в частности, это нильпотентная подалгебра. Кроме того, предложение 10 (1) из $1, и' 3, показывает, что подалгебра йь(х) совпадает со своим нормалнзатором в алгебре й. Итак, это подалгебра Картана алгебры й, что и требовалось доказать.

4. Подалгебры Картина полупростых алгебр Ли Тконнмл 2. Предположим, что поле й имеет характеристику О, Пусть й — полупроста» алгебра Ли и () — ее подалгебра Картана. Тогда подалгебра 1) коммутативна и все ее элементы полупросты в алгебре й (гл. 1, 5 6, п' 3, определение 3). Так как 1) = йэ(()), то подалгебра () редуктивна (5 1, предложение 11), но она и нильпотентна, а следовательно, коммутативна.

Кроме того, ограничение иа подалгебру () присоединенного представления алгебры й полупросто (там же), так что элементы подалгебры э полупросты в алгебре й (А1д„ саар. 71П, 5 5, и'1). Слкдствин 1. Если » ~ 1) и уев й'(()), то (х, у'1 =Л(х) у. Действительно, поскольку эндоморфизм аб х полупрост, то йкы'(х) = й„„, (х). Следствии 2. Каждый регул»рный элемент алгебры,) полу- прост. Действительно, каждый такой элемент принадлежит некоторой подалгебре Картана (и'3, теорема 1 (1)).

Слндствин 3. Пусть () — подалгебра Картана редунтивной алгебры Ли й. Тогда а) 1) коммутативна; б) если р — конечномерное полупростое представление ал гебры й, то элементы лнохсества р(()) полупросты. Обозначим через с центр алгебры Ли й, а через Ф вЂ” ее производную алгебру. При этом 3 = с Хе, следовательно, () = с Х() > где () — подалгебра Картава алгебры Ф (предложение 2). По теореме 2 подалгебра ()' коммутативна, поэтому подалгебра (1 тоже коммутативна. Прн этом множество р (()') состоит из полу- простых эндоморфизмов, так же как н множество р(с) (гл. 1, $6, и'5, теорема 4); это доказывает утверждение 8). е 3. ТЕОРЕМЫ СОПРЯЖЕННОСТИ з) 5 3. Теоремы сопряженности Е этом параграфе предполагается, что основное поле й имеет характеристику О.

у, Элементарные автамарфизмы Пусть й — алгебра Ли. Обозначим через Ап((й) группу ее автоморфизмов. Пусть к~8; если зндоморфизм айх ннльпотентен, то ееа" ы Ап((й) (гл. 1, $6, и'8). Оп~еделение 1. Элементарным авгоморфизмом алгебре» Ли й называется любое произведение конечного числа ее автоморфизмов вида е'"", где эндоморфизм ай х нильпотентен. Группа элементарных автоморфизмов алгебры Ли й обозначается через Ап1, (»1). Если иенАп( (й), то нее и "и-' = г""'"', следовательно, Ап(,(»1)— нормальная подгруппа в Ап((й). Если А=К или С, то под.

группа Ап1,(й) содержится в группе внутренних автоморфизмов 1п1(й) алгебры й (гл. П1, $6, и'2, определение 2). В общем случае подгруппа Ан(е(н) содержится в компоненте единицы группы Ац! (З)., Лемма 1. Пусть )т — конечномерное векторное прос~ранство и н — некоторая подалгебра алгебры Ли а =81()т), состоящая из нильпотентных элементов. (1) Отображение х»-»ехрх является биективным отображением алгебры н на некоторую подгруппу Ф группы 61.

(1»), со. стояи(ую из унипотентных элементов (гл. П, 5 6, п' 1, замечание 4). При этом п=!он(ехрп). Отображение )'» — »! е!од устанавливает изоморфизм между илгеброй полиномиальных функций на и и алгеброй, образованной ограничениями на АТ полиномиальных функций на пространстве Епй ($'). (11) Если к~я и а ни а, то (ехр ай,х) . а = (ехр х) и(ехр (- х)). (ш) Пусть )' — конечномерное векторное пространство, и— подалгебра алгебры Ли й! (Р"), состоящая из нильпотентных элементов, и р — гомоморфизм из н в н', Обозначим через п отобра. жение ехрх» — »ехрр(х) группы ехрн в группу ехрп', тогда и— гомоморфизм групп.

По теореме Энгеля можно таким образом выбрать отождествление пространстпа Р'с пространством й", что алгебра Ли и окажется подалгеброй алгебры п(п, й) (п(п, й) — подалгебра алгебры Ли М„(й), образованная нижними треугольными матрицами с нулевой диагональю), Обозначим через я,(п, й), Е-.=О, зй ГЛ. У!!, ПОДАЛГЕЕРЫ КАРтАНА. РЕ!гУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМГП!ты ! подмножество тех элементов (х,!)!<! <„~ М„()с), для которых х; =О прп ! — ) < э. При этом ("п,(п, й), п,,(п, )г)) ~ и,, (и, )г) (гл, П, $4, и' 6, замечание), и ряд Хаусдорфа определяет поли« номиальное отображение (а, Ь)-ь П(а, Ь) произведения п(п, я))( )с' п(п, lс) в п(п, й) (гл.

П, $ 6, и'5, замечание 3). Это отображение, рассматриваемое как закон композиции, снабжает множество п(п, )с) структурой группы (гл. П, ч 6, п'5, предложение 4), Вследствие замечания 4 из гл. П, й 6, и' 1, отображение х ->ехрх пространства п(п, )с) на подмножество 1+ п(п, )с) и отображение у !оиу множества 1+в(п, й) на п(п, )с) биективны, взаимно обратны и полиномиальны. Ввиду предложения 3 из гл.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,35 Mb
Тип материала
Предмет
Учебное заведение
Неизвестно

Список файлов книги

Бурбаки Н
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее