Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Все элементы множества 5 регулярны в ()'. С другой стороны, множество 5 есть подмножество тех элементов подалгебры для которых нильпространство эндоморфизма а0,х имеет минимальную размерность; поэтому оно содержит все элементы подалгебры 9', регулярные в алгебре Ли 6. Замечание, 3) В подалгебре 1' не обязательно существует ~лемент, регулярный в алгебре а, Если же такой элемент существует, то множество всех элементов с этим свойством совпадает с множеством 5 из приведенного выше доказательства. 28 Гл ю! подАлГеБРы кАРТАнА РеГуляРные элементы 3 8.
Регулярные элементы и подалгебры Картана Теорема 1. Пусть й — алгебра Ли. (!) Если х — регулярный элемент алгебры й, то !)о(х) — под- алгебра Картана этой алгебры, (!!) Если () — максимальная нильпотентная подалггбра ал- гебры !! в эле,кент хан !) регулярен в й, то () =йс(х). (Ш) Если !) — подалггбра Картами алгебры й, то йгп (()) ~) ~ )гп(й). (!у) Подалггбры Картина алгебры Ли й, размерности которых равны Гп(й), — это подалгебры вида !!е(х), гдг х — регулярный элемент алгебры Пусть х — регулярный элемент алгебры й и а =бе(х).
Очевидно, что р (х) = !). Так как элемент х регулярен в () (предложенне 9), то Гп(()) =б!Гп(()), вследствие чего подалгебра () нильпотентна. С другой стороны, () = !!о(х):э йо(й):э $, следовательно, под- алгебра !) = йо(!)) является как раз подалгеброй Картана алгебры й (предложение 4). Таким образом, утверждение (!) доказано, Если () — максимальная нильпотентная подалгебра алгебры й и элемент х~() регулярен в й, то () с: йс(х), а подалгебра ~о(х) нильпотснтна, согласно утверждению (!); следовательно, !) = й (х), и утверждение (й) доказано. Если 5 — подалгебра Картана алгебры й, то !) =бе(х) для некоторого элемента х ен !) (следствие 1 предложения 4), по- этому б!Гп(())~)гй(!!), что доказывает утверждение (!Е), Если же б!пт((з)=гп(!), то элемент х регулярен в й. Наконец, если х' — регулярный элемент алгебры й, то вследствие утвержде- ния (!) йо(х') есть подалгебра Картана, естественно, размер- ности гп(й). Тем самым утверждение (гч) доказано.
В теореме 2 $3 будет показано, что если поле и имеет карактеристику О, то все подалгебры Картана алгебры Лн и имеют размерность, равную га(п). Следствнс 1. Каждая алгебра Ли й имеет подалггбры Картина, и ранг алгебры й равен мини.муму размерностей ее подалгебр Картана, Следствие 2. Пусть !': й -+ й' — сюръективньлй гомоморфизм алгебр Ли. Если ()' — некоторая подилгебра Картана в й', то в й существует подалгебра Картина й, для которой р'= !" (()). Положим а=) '(()').
По следствию 1 алгебра Ли а имеет подалгебру Картана (). По следствию 2 предложения 4 имеет место равенство 1(()) =-()', Докажем, что подалгебра 1! есть подалгебра Картана алгебры !!. Обозначим через и нормали- затор () в й. Достаточно доказать, что () =и. Если хенн, то Э х подьлгевгы каятыы и ьсгтлягныя элгменты элемент 1(х) принадлежит нормализатору подалгебры алгебре а', следовательно, 1(х)еи»' и лена. Но так как» совпадает со своим нормализатором в алгебре и, то хеи». Следствия 3. Каждая алгебра .Пи й есть сумма своих подалгсбр Картана.
Сумма Ь подалгебр Картана алгебры й содержит множество яссх регулярных элементов алгебры й (теорема 1 (!)). Так как это множество плотно в !! в топологии Зарисского, то в=я. Пнадложенив ! О. Пусть й — алгебра Ли, а — ее хоммутативная подалгебра и с — иентрализатор подалгебры а в й, Предположим, что эндоморфизм аб,х полупрост при любом хеиа. Тогда подалгебрами Картина в с будут подалгебры Картина алгебры !1, содержащие а. Пусть» — подалгебра Картана алгебры с. Так как алгебра а содержится в центре ! алгебры с, то а ~1 си» (предложение 5). Обозяачим через и нормализатор подалгебры» в алгебре й. Справедливы соотношения '1а, п)~[», п]~».
Так как эндоморфизмы а4, х, х ~ а, полупросты и перестаповочны между собой, то, согласно А1д., сВар. Ч!И, 5 5, и' 1, сугцествует векторное подпространство Ь пространства я, устойчивое относительно эндоморфизмов ад, а, для которого и=»(!)Ь. Таким образом, !а, Ь) с: » Д Ь = О, а следовательно, Ь с:. с, Стало быть, и — нормализатор подалгебры» в алгебре е, откуда следует, что и = » н» вЂ” подалгебра Картана в алгебре г, содержащая а. Обратно, пусть» — подалгебра Картана в й, содержащая подалгебру и. Так как»=!!ь(») с: !ь(а) и по предположению !!'(а) =йь(а) =с, то а с: » с: с, и, таким образом, Ь является подалгеброй Картана в с (равенство своему нормализатору в влечет за собой равенство своему нормализатору в г). Пгедложениг.
11. Пусть и — нильпотентная подалгебра алгебры Ни я. Существует подалгебра Картона алгебры а, содертхащаяся в йь(п). Обозначим подалгебру йь(п) через а. Так как подалгебра и ннльпотентна, то и с а. Пусть х я а и Р (х) — определитель эндоморфизма пространства !!/а, индуцированного отображением апх.
Обозначим через а' множество тех элементов х ~ а, для которых Р(х) чьО. Это открытое подмножество множества а в топологии Зарисского. Включения х еэ а' и !!ь(х) с:а эквивалентны. Из предложения 7 (В) ~ 1, и' 2, следует, что йь(у) =а для некоторого у ~ и. Тогда у ~ а' и; таким образом, а' зо гл, тн. подл»тенты клят»ил. гегэлягные элементы непусто. Так как множество а' открыто, его пересечение с множеством регулярных элементов алгебры а тоже непусто.
Если элемент х принадлежит этому пересечению, то йь(х) с- а и йь(х) — подалгебра Картана алгебры а; в частности, это нильпотентная подалгебра. Кроме того, предложение 10 (1) из $1, и' 3, показывает, что подалгебра йь(х) совпадает со своим нормалнзатором в алгебре й. Итак, это подалгебра Картана алгебры й, что и требовалось доказать.
4. Подалгебры Картина полупростых алгебр Ли Тконнмл 2. Предположим, что поле й имеет характеристику О, Пусть й — полупроста» алгебра Ли и () — ее подалгебра Картана. Тогда подалгебра 1) коммутативна и все ее элементы полупросты в алгебре й (гл. 1, 5 6, п' 3, определение 3). Так как 1) = йэ(()), то подалгебра () редуктивна (5 1, предложение 11), но она и нильпотентна, а следовательно, коммутативна.
Кроме того, ограничение иа подалгебру () присоединенного представления алгебры й полупросто (там же), так что элементы подалгебры э полупросты в алгебре й (А1д„ саар. 71П, 5 5, и'1). Слкдствин 1. Если » ~ 1) и уев й'(()), то (х, у'1 =Л(х) у. Действительно, поскольку эндоморфизм аб х полупрост, то йкы'(х) = й„„, (х). Следствии 2. Каждый регул»рный элемент алгебры,) полу- прост. Действительно, каждый такой элемент принадлежит некоторой подалгебре Картана (и'3, теорема 1 (1)).
Слндствин 3. Пусть () — подалгебра Картана редунтивной алгебры Ли й. Тогда а) 1) коммутативна; б) если р — конечномерное полупростое представление ал гебры й, то элементы лнохсества р(()) полупросты. Обозначим через с центр алгебры Ли й, а через Ф вЂ” ее производную алгебру. При этом 3 = с Хе, следовательно, () = с Х() > где () — подалгебра Картава алгебры Ф (предложение 2). По теореме 2 подалгебра ()' коммутативна, поэтому подалгебра (1 тоже коммутативна. Прн этом множество р (()') состоит из полу- простых эндоморфизмов, так же как н множество р(с) (гл. 1, $6, и'5, теорема 4); это доказывает утверждение 8). е 3. ТЕОРЕМЫ СОПРЯЖЕННОСТИ з) 5 3. Теоремы сопряженности Е этом параграфе предполагается, что основное поле й имеет характеристику О.
у, Элементарные автамарфизмы Пусть й — алгебра Ли. Обозначим через Ап((й) группу ее автоморфизмов. Пусть к~8; если зндоморфизм айх ннльпотентен, то ееа" ы Ап((й) (гл. 1, $6, и'8). Оп~еделение 1. Элементарным авгоморфизмом алгебре» Ли й называется любое произведение конечного числа ее автоморфизмов вида е'"", где эндоморфизм ай х нильпотентен. Группа элементарных автоморфизмов алгебры Ли й обозначается через Ап1, (»1). Если иенАп( (й), то нее и "и-' = г""'"', следовательно, Ап(,(»1)— нормальная подгруппа в Ап((й). Если А=К или С, то под.
группа Ап1,(й) содержится в группе внутренних автоморфизмов 1п1(й) алгебры й (гл. П1, $6, и'2, определение 2). В общем случае подгруппа Ан(е(н) содержится в компоненте единицы группы Ац! (З)., Лемма 1. Пусть )т — конечномерное векторное прос~ранство и н — некоторая подалгебра алгебры Ли а =81()т), состоящая из нильпотентных элементов. (1) Отображение х»-»ехрх является биективным отображением алгебры н на некоторую подгруппу Ф группы 61.
(1»), со. стояи(ую из унипотентных элементов (гл. П, 5 6, п' 1, замечание 4). При этом п=!он(ехрп). Отображение )'» — »! е!од устанавливает изоморфизм между илгеброй полиномиальных функций на и и алгеброй, образованной ограничениями на АТ полиномиальных функций на пространстве Епй ($'). (11) Если к~я и а ни а, то (ехр ай,х) . а = (ехр х) и(ехр (- х)). (ш) Пусть )' — конечномерное векторное пространство, и— подалгебра алгебры Ли й! (Р"), состоящая из нильпотентных элементов, и р — гомоморфизм из н в н', Обозначим через п отобра. жение ехрх» — »ехрр(х) группы ехрн в группу ехрп', тогда и— гомоморфизм групп.
По теореме Энгеля можно таким образом выбрать отождествление пространстпа Р'с пространством й", что алгебра Ли и окажется подалгеброй алгебры п(п, й) (п(п, й) — подалгебра алгебры Ли М„(й), образованная нижними треугольными матрицами с нулевой диагональю), Обозначим через я,(п, й), Е-.=О, зй ГЛ. У!!, ПОДАЛГЕЕРЫ КАРтАНА. РЕ!гУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМГП!ты ! подмножество тех элементов (х,!)!<! <„~ М„()с), для которых х; =О прп ! — ) < э. При этом ("п,(п, й), п,,(п, )г)) ~ и,, (и, )г) (гл, П, $4, и' 6, замечание), и ряд Хаусдорфа определяет поли« номиальное отображение (а, Ь)-ь П(а, Ь) произведения п(п, я))( )с' п(п, lс) в п(п, й) (гл.
П, $ 6, и'5, замечание 3). Это отображение, рассматриваемое как закон композиции, снабжает множество п(п, )с) структурой группы (гл. П, ч 6, п'5, предложение 4), Вследствие замечания 4 из гл. П, й 6, и' 1, отображение х ->ехрх пространства п(п, )с) на подмножество 1+ п(п, )с) и отображение у !оиу множества 1+в(п, й) на п(п, )с) биективны, взаимно обратны и полиномиальны. Ввиду предложения 3 из гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
