Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Утверждение (й) доказывается аналогичным образом. Если х принадлежит нормализатору подалгебры Лн д"(()), то (аду).х= — [х, у] ен дь(!)) при всех у~ Э, следовательно, (аду)".Х=О для достаточно большого и. Это показывает, что хендэ(5). Таким образом, утверждение (1) полностью доказано. Утверждение (!й) следует из предложения 9 (ч). При доказательстве (!ч) можно предположить, что поле й алгебраически замкнуто. Пусть х ее дк(()) и !!не О.
Для каждого целого числа и > 0 и любого элемента р ее Р выполняется соотношение (ад х)" дв ((1) ~ д"+"А (р). Обозначим через Р, конечное подмножество тех элементов р ен Р, для которых д'"(()) Ф О. Если характеристика поля й равна 0 и З,ФО, то (Р, +як) П Р1= чЗ для достаточно больших и, откуда (адх)"=О. Лемма 2. Предположим, что поле й имеет характеристику О. Пусть д — полупростая алгебра,7и над й,  — ее форма гл чм. подллгевгы клгтлнк гнгглярпыа элвмннты 'а 18 Киллинга и пт — некоторая подалгебра алгебры 7и 6.
Предположим, что 1) ограничение формы В на подалгебру пг невырожденно; 2) если х ~ пг, го полупростая и нильпогентная компоненты ') элемента х тоже принадлежат ж. Тогда нг — редуктивная подалгебра Ли в й (гл. 1, $ 6, и'6). По предложению 5 г) гл. 1, 5 6, и'4, пг редуктивна. Обозначим через с центр подалгебры пг. Если элемент хни с нильпотентен, то х =О. Действительно, для любого у ен пг эндоморфизмы ас) х и ас( у перестановочны, поэтому произведение абхаабу тоже нильпотентно. Тогда В(х, у)=0 и, следовательно, х=О.
Пусть теперь х — произвольный элемент алгебры Ли с и з и и — его полупростая и ннльпотентная компоненты. По условию и еи пг. При этом эндоморфизм адп имеет вид Р(аг) х), где Р— некоторый многочлен без свободного члена, поэтому (ас)п).нг=О. Следовательно, пенс и по доказанному выше п=О. Таким образом, эндоморФизм адх полупрост. То есть ограничение на подалгебру гн присоединенного представления алгебры Ли й полупросто (гл, 1, $6, и'6, теорема 46)). Пгпдложпнив 1!. Предположим, что поле й имеет характеристику О. Пусть й — полупростая алгебра Ли и () — ее нильпотентная подалгебра.
Тогда алгебра 7и йо (()) удовлетворяет условиям 1) и 2) леммы 2 и является редуктивной в й. Рассмотрим элементы х, х' еи й; пусть з и з' — их полупростые компоненты, а п и и' — нильпотентные. Тогда х' еи йо (х) с=. "(ад з) (х') = 0 (п р едл. 4) ь=ь ~=~ (ад х')(з) =0~ ~ (ай з') (з) = 0 ч=: ° ме (ад з) (з') = 0 ч=ь. ч=е.з' еп йе(х) (предл. 4). Из этого также следует, что включение х' ен 1)п (х) влечет за собой и' ен йо(х), что и доказывает условие 2). Так как форма Киллинга алгебры 6 невырожденна, то ее ограничение на йе(1)) тоже невырожденно (предложение 10 (и)).
Редуктивность подалгебры йе(1)) в алгебре Ли й вытекает теперь из леммы 2. ') По теореме 3 п'3 $8 гл. 1 каждый злемент хай представляется единственным образом в виде суммы полупростого злемента з н нильпотентного алемепта л, перестановочныа между собой. Элементы з н п аазыва1отся яолуяросгоя и нильпогечгной колпокекгпма злемента Х, ! е НРимАРное РАзложение линейных ЙРедстАВленин !9 4.
Примарное разложение алгебры Ли относительно некоторого автоморфизма Пведложение 12. Пусть й — алгебра Ли и а — ее автоморфизм. (!) (Ох(а), йи(а))с:й"Р(а) для любых Л, !Аен!е; в частности, подпространство й'(а) является подалгеброй алгебры й. (й) если  — симметрическая инвариантная относительно а билинейная форма на й, то надпространства йх(а) и йи(а) ортогональны относительно В при ЛОФ1.
Предположим, что форма В невырожденна. Тогда при Лчьй ее ограничение на произведение ф (а) Х йц~ (а) невырожденно. Утверждение (!) и первая часть утверждения (й) следуют нз предложения 2 (ш), которое надо применить к закону композипии йр', й-+й и к билинейной форме В. Прн доказательстве оставшейся части утверждения (й) можно предполагать, что поле й алгебранчески замкнуто. При этом предположении й = ® й'(а). Так как уже установлено, что надпространство хыи )х (а) ортогоналЪно к подпространствам 34 (а) при Лт Ф 1 и форма В невырожденнз, то ограничение формы В на йх(а) к' Х йих(а) обязательно невырожденно.
Следствие. Предположим, что поле й имеет хаоактеристику О и алгебра Ли й полупроста, Тогда подалгебра й (а) удовлетворяег условиям !) и 2) леммы 2; она редуктивна в алгебре Ли й, Условие 1) следует из утверждения (й) предложения 12, а условие 2) — нз предложения 4 и'!.
Б, Инварианты полупростого действия в полупростой алгебре Ли В этом пункте мы предполагаем, что поле м имеет характ~- ристику О. Г1Редложение !3. Пусть й — полупростая алгебра Ли и а — ее подалгебра, редуктивная в алгебре й. Обозначим через а централизатор') подалгебры а в алгебре й.
Тогда подалгебра ж удовлетворяет условиям 1) и 2) леммы 2 из и'3; она редуктивна в алгебре й. Применяя предложение 6 из 5 3 гл. 1 к а-модулю й, получим, что й=ш9(а, й). Обозначим через В форму Киллингз алгебры й, и пусть хена, у аж, ген 3, Тогда В(!г, х], у)= '! Напаиеем, что ш=!х ~ 9! (х, а) 91,— Прим.
перев. 26 Гл ш! попел!ГБРы клпт1нл РеГуляРные элементы в = Б(г, [х, у[)=-О, так как [х, у[ =О. Это показывает, что подпространство ш ортогонально подпространству [а, й[ относительно формы В. Из нсвыро кденности формы В и равенства =ш®[п, й[ следует, что ограничение В на ш тоже невырождснно, тем самым выполняется условие 1) леммы 2. Пусть теперь хенш и з, п — полупростая и нильпотентная компоненты элемента х. Полупростая компонента эндоморфизма ад х есть аде (см.
гл. 1, 5 б, п'3). Так как эндоморфизм аб х переводит подпространство а в нуль, то по предложению 4 (1) его переводит в нуль и эндоморфизм ад з. Такии образом, в еи 1п, п=х — зев ш и условие 2) леммы 2 тоже выполняет.я. Замечание. Централизатор подалгебры Е1 в алгебре й .Не обязательно совпадает с а, см. упражнение 4. ПРедложение 14. Пусть й — полупростая алгебра ууи, А — некоторая группа и г — гомоморфизм группы А в группу йп1(й). Обозначим через ш подалгебру алгебры й, состоящую из элементов, пнвариантных относительно г (А). Предположим, что линейное представление г полупросто.
Тогда подалгебра ш удовлетворяет условиям 1), 2) леммы 2 из и'3 и является редуктивной в алгебре й, Доказательство этого предложения аналогично доказательству предыдущего: Обозначим через й+ векторное надпространство алгебры й, порожденное элементами вида г (а) х — х, где а ~ А, х ~ а. Векторное пространство й' = ш+й+ устойчиво относительно г(А). Пусть и — дополнительное подпространство к подпространству й' в а, устойчивое относительно г (А). Если х еи е, а ее А, то г (а) х— — х ее и() й+ = О, следовательно, х еи ш и х = О, поскольку шпп= О.
Таким образом, й=й'=Е1 + ат, Обозначим через В форму Киплинга алгебры й. Пусть уяш, аяА, хай; тогда В (у, г (а) х — х) = В (у, г (а) х) — В (у, х) = =В(г(а-') у, х) — В(у, х) = = В(у, х) — В(у, х) = О. Таким образом, подпространства ш и й+ ортогональны относительно формы В. Вследстние этого ограничение формы В на ш невырожденно, т. е. условие 1) леммы 2 выполняется.
Условие 2) непосредственно следует из данных предложения '). ') См. Гл, 1, З 6, и'3, предложение 4 в теорема 6. — Прим. Лерга, А 2 ПОДАЛГГБРЫ КАРТАНА И РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ й 2. Подалгебры Картана и регулярные элементы алгебры Ли ]]псиная с и'2, поле й предполагается бесконечным. у, Подалгебры Картина Опгеделение 1. Пусть й — алгебра Ли. Подалгеброб Картина алгебры Ли й называется ее нильиотентная подалгебра, совпадающая со своам нормализатором. Мы получим далее следующие результаты: 1) если поле й бесконечно, то алгебра й имеет подалгебру Картана (и' 3, следствие ! теоремы 1), 2) если й — поле характеристики О, то все подалгебры Картана алгебры й имеют одинаковую размерность (5 3, и'3, теорема 2), 3) если ]à — алгебраически замкнутое поле характеристики О, то все подалгебры Картана алгебры й сопряжены относительно группы элементарных автоморфизмов этой алгебры ($3, п'2, теорема 1).
Примеры. 1) Если алгебра Ли й нильпотеитна, то единственная ее подалгебра Картана есть сама алгебра й (см. гл. 1, $4, п'1, предложение 3). 2) Пусть 3 =3!(и, й) и» вЂ” множество диагональных матриц в алгебре й. Покажем, что» вЂ” подалгебра Картана алгебры 1. Прежде всего подалгебра» коммутативна, а следовательно, нильпотентна. Обозначим через (Е,]) канонический базис пространства й!(и, й).
Пусть х = 2 р,]Е;] — элемент нормализатора подалгебры» в й. Формулы (5) из п'2 $1 гл. ! показывают, что при !Ф! коэффициент прн Е,] в разложении элемента (Еп, х] равен 1А,]. Так как Еп гн», то (Ен, х] я» и рассматриваемый коэффициент должен быть равен нулю. Таким образом, р;;=О при 1~]' и, следовательно, х еи». Тем самым доказано, что» является подалгеброй Картана алгебры Ли й. 3) Пусть» — подалгебра Картана алгебры 1! и й1 — подалгебра алгебры й, содержащая подалгебру». Тогд໠— подалгебра Картана в алгебре йн Это сразу следует нз определения 1.
ПРедложение 1. Пусть й — алгебра Ли и» вЂ” ее подалгебра Картина. Тогд໠— максимальная нильиотентная подалгебра алгебры й. Пусть»' — некоторая нильпотеитная подалгебра алгебры Ли й, содержащая», Тогд໠— подалгебра Картана алгебры (пример 3) и, следовательно, »=»' (пример 1). 22 Гл чн. подАлГеБРы кАРТАнА. РеГуляРные элементы, т Могут сушествовать иансниааьные нильпотентные подапгебры, поторые не являются подалгебраыи Картава (упражнение 2). Предложение 2. Пусть (й,),, — конечное семейство алгебр Ли и й= Ц йн Подалгебры Картана алгебры Ли й имеют вид !ы! Ц ()н где ()с есть подалгебра Картина в алгебре Ли йн г г Если ()г — подалгебра алгебры й, с нормализатором и,, то Ц (); — подалгебра алгебры й с нормализатором Ц и,.
Если подалгебры (), нильпотентны, то Ц (), нильпотентна. Следовательно, если $, — подалгебра Картана в алгебре й, для каждого 1, то подалгебра Ц (), является подалгеброй Картана в алгебре Ли й. Обратно, пусть () — подалгебра Картана алгебры Ли а, Так как проекция ()г подалгебры () на сомножитель и, — нильпотентная подалгебра алгебры йн то Ц (); — нильпотентная подалгебра алгебры !1, содержащая (1, поэтому 5 = Ц 5; (предложение 1), Таким же образом легко проверить, что для каждого 1 подалгебра 5, совпадает со своим нормализатором в алгебре йн следовательно, она является подалгеброй Картана в йн Пример 4.
Если поле я имеет характеристику О, алгебра й!(п, й) есть произведение идеалов е((п, й) и й, 1. Таким образом, из примера 2) и предложения 2 следует, что множество диагональных матриц со следом Π— подалгебра Картана в алгебре е!(п, й), Пргдложение 3. Пусть й — алгебра Ли, () — ее подалгебра и й' — расширение поля й. Алгебра $ является подалгеброй Картана алгебры й тогда и только тогда, когда алгебра Ли () Зай' является подалгеброй Картана в й Эай'. Действительно, подалгебра () нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентна подалгебра () ЭА й' (гл. 1, $ 4, и'5).
Кроме того, если и — нормализатор подалгебрьл () в алгебре й, то и Э„й' — нор мализатор подалгебры 5 8 А й' в алгебре й 9» й) (гл. 1, $3, и'8). Пргдложение 4. Пусть й — алгебра Ли и () — ее нильпотентная подалгебра, Для того чтобы подалгебра () была подалгеброй Картина алгебры й, необтодимо и достаточно, чтобы йо(())=(). Если йо((1) =й, то 5 совпадает со своим нормализатором 5 1, предложение 10 (!)) и является, следовательно„подалгеброй Картана в й. Предположим, что йо(()) Ф().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
