Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 7
Текст из файла (страница 7)
П, $ 6, п'5, эти отображения будут изоморфизмами групп, если ввести на множестве и(п, й) закон умножения (а, Ь) ь Н(а, Ь), а множество !+и(п, й) рассматривать как подгруппу группы 61,„(я). Из этого легко получить утверждения (!) и (!!!) нашей леммы, Пусть х ~ и, Обозначим через Т.„ )с„отображения иг — ьхи, и ~их алгебры в в себя. Они перестановочны и нильпотентны. Так как аб.х=Ел — )А'„то при любом а~п (ехр аб, х) а = (ехр (1.„— )с„)) а = (ехр ).,) (ехр р ) а = ~л —,.!'=.," а=(ехрх)а(ехр(-х)).
(ц г, ~~о В обозначениях леммы 1 говорят, что и — линейное пред* ставление группы ехрн, согласованное с данным представле. нием р алгебры Ли и в пространстве у", Если Ь есть К, С или полное ультраметрическое недискретное поле, то р = Т. (и) в силу свойств экспоненциального отображения (гл. Ш, $ 4, п' 4, следствие 2 предложения 8), Предложтние !. Пусть й — алгебра Ли, а и — такая ее подалгебра, что эндоморфизм йб!(х) нильпотентен при любом хенн. Тогда е"""" — подгруппа группы Ап(,(!!). Это следует из леммы 1 (!).
В частности, сслв ваять в качегтве и пнльпотентный радикал аг и алгебры я, то подгруппой е а будет группа спечиильиыл иегоморфизлов алгебры В (гл. ), й 6, п'6, определепне 6). и Замечания. !) Пусть У вЂ” конечномерное векторное пространство, й — подалгебра алгебры Ли п= 6!(У) и х — элемент алгебры й, для которого эндоморфизм аб,х йильпотентен. Тогда т $ а ТеОРемы сОпРяженнОсти аз существует такой нильпотентный элемент и алгебры Ли а, что эидоморфизм аб, и продолжает эндоморфизм абб х.
Действительно, пусть з и и — полупростая и нильпотентная компоненты элемента х. При этом аб,з и аб,п будут полупростой и нильпотентной компонентами эндоморфизма аб„х (гл. 1, 5 5, п' 4, лемма 2). Подпространство 9 устойчиво относительно эндоморфизмов ада з, аба и, и эндоморфизмы аб, з)9, аб, и ~ 9 служат полупростой и нильпотентной компонентами эндоморфизма аЙ,х. Таким образом, ад, х = ада п ~ 9, что и доказывает наше утверждение. Вследствие утверждения (И) леммы 1 мы получаем, что любой элементарный автоморфизм подалгебры 9 продолжается до некоторого автоморфизма алгебры а, имеющего вид и чтит-', где теп 61.
()У). 2) Пусть )У вЂ” конечномерное векторное пространство. Для' любого элемента д ~ 81. ()У) обозначим через р(п) автоморфизм х ~уха-' алгебры Ли 91()У). Тогда АН1 (91 (1')) =<р (Я- ()У)) Действительно, вследствие формулы (1) множество Ап(,(91()У)) содержится в множестве ~р(81. ((У)). Обратное включение следует из у(1п., сйар. 111, 5 8, и' 9, ргорозРИоп 17, и формулы (1). Аналогичным образом можно показать, что множество автоморфизмов, являющихся ограничениями на подпространство 61()у) отображений из множества ~Р(81. ()у)), совпадает с множеством АН1,(а( ()')). 2. Сопряженность подалгебр Каргина Пусть 9 — алгебра Ли, () — некоторая ее нильпотентная под. алгебра и К вЂ” множество ненулевых весов подалгебры () в пространстве й, т.
е. множество таких линейных форм АФ О на (), для которых йх($) чь О (см. предложение 9 (1И), и'3, $1). Предположим, что йо(Ц~ ~" йх(3). это всегда имеет место, если основное поле й алгебраически замкнуто (5 1, и' 3, предложение 9 (!)). Если А~ К и хепйх(5), то эндоморфизм аб х нильпотентен 5 1, п' 3, предложение 1О (1ч)). Обозначим через Е(3) подгруппу группы Ан(,(й), порожденную отображениями е'б", где элемент х удовлетворяет приведенному выше условию.
Если и~ Ан1(9), то, как легко видеть, иЕ(())и '= = Е (и (3)). Лемма 2. (1) Обозначим через (), множество элементов х еп (), для которых йб(х) = йб($), т. е. множество таких элементов Я бурбаки 34 Гл. ч11. НОЛАлГееРы кАРТАнА. Регулярные элементы г х~5, что А(х)чьО при всех Аеигт. Множество 5„открыто и всюду плотно в (! относительно топологии Зарисского. (й) Пусть )с =(Хг, Ьо, ..., Х ), где все элементы Лг различны. Обозначим через г отображение пространства,)о(Ь) Х йь (!)) Х ...
)С й"р(()) в пространство а, определенное формулой' Г" (Ь, хн ..., хр) =е' "' ... е' 'рЬ. Тогда Р является доминантньгм полииомиальиым отображениелг (дополнение 1). Утверждение (!) очевидно, Докажем утверждение (й). Пусть и = бгпг а. Если Х ен Е и х еп аг ((г), то (аб х)" = О. Таким образом, отображение (у, х) 1 е'о" у пространства й,'я', аг(Ь) в й полиномиально.
Отсюда по индукции мы получаем, что отображение Р полиномиально. Выберем элемент Ьоон !),; пусть РГ"— линейное отображение, касательное к отображению Г" в точке (Ьо, О, ..., 0). Докажем, что РГ" сюръективно. Если Ь ~ йо(!)), то г ( + Ь, О, ..., 0)=Ь,+и, следовательно, РЕ(Ь, О... „0)=Ь и 1т (РГ) ~ йо (()), Далее, если х еи г!А (!)), то Е(Ьы х, О, ..., 0)= ' Ь =Ьо+(аг)х).Ьо+ (М ) Ьо+ ...; поэтому Рг" (О, х, О, ..., 0)=(адх).Ьо= — (а11!го)х. Так как эндоморфизм аб Ьо индуцирует автоморфизм пространства г)А ((1), то 1Гп(РР):з йм((г). Таким же образом получаем, что 1гп(РЕ):э 6 '((!) для всех г; отсюда следует сюръективность отображения Р)о.
Из предложения 4 дополнения ! следует теперь, что отображение р доминантное. ПРедложение 2. Предположим, что поле Ь алгебраически замкнуто. Пусть 2 — алгебра Пи, а !) и (г' — ее подалгебры Картина. Существуют такие элементы и а=Е((1) и и' ееЕ(()'), что и (!)) =- й (()'). Будем использовать обозначения леммы 2, Так как !) и !);— подалгебры Картана, то йо(()) = 6 и йо(()') =!)'. Из леммы 2 и предложения 3 дополнения 1 следует, что множества Е((1)()„ и Е(!!') !),' содержат открытые и всюду плотные в пространстве а относительно топологии Зарисского подмножества. Поэтому Е (5) !1, П Е ((!) !); Ф 1сг, т.
е. существуют такие элементы и ~ Е (!)), и' с= ЕЙ'), Ь я !)„Ь' я !),', что и(Ь) =и'(Ь'). Тогда и((1) =и(ао((1)) = йо(и(Ь)) = во'(и'(Ь')) =и'((Т), 3 3. ТЕОРЕМЫ СОПРЯЖЕННОСТИ 35 Следствие. Имеет место равенство Е(()) = Е(()'). Пусть и, и' — элементы, существование которых утверждает предложение 2. Тогда Е(()) =иЕ(ч)и-' =Е(и(())) =Е(и'(())) =и Е(())иг-л =Е(()), что доказывает следствие. На основании этого результата мы будем в случае, если поле (т алгебранческн замкнуто, обозначать группу Е (()), где !) — некоторая подалгебра Картана алгебры 3, просто через Е. В общем случае Ап(з(Ч) чь Е (например, если алгебра Ч нильпотентна, то группа Е состоит из одного элемента, в то время как для некоммутативноб алгебры 2 существуют нетривиальные элементарные автоморфизмы). Однако можно доказать (гл.
ЧП1, э 10, упражнение 5), что для полупростой алгебры Ли б имеет место равенство Ап(з(Е) = Е. Теоремл !. Предположим, что поле (г алгебраически замкнуто. Пусть 3 — алгебра Ли. Группа Е является нормальной подгруппой группы Ан(ф и действует на множестве подалгебр Картана транзитивчо. Пусть () — подалгебра Картана алгебры 6 и о ~ Ан1 (3). Так как ОЕ(()) и-'=Е(ой)) =Е(()), то Е(()) = Š— нормальная подгруппа в Ап!(3). Если ()' — другая подалгебра Картана алгебры 3, то в обозначениях предложения 2 и' 'и(()) =()' и и' 'иеиЕ. 8. Приложения теоремы о сопряженности подалгебр Картана Теоремл 2.
11усть 3 — алгебра Ли. (1) Все подалгебры Картана алгебры д имеют одну и ту же размерность, равную гп(3), и один и тот же класс нильпотентности. (Е) Для того чтобы элемент х ~ () бьгл регулярньгм, необходимо и доста~очно, чтобы Ес(х) была подалгеброй Картана в (), и таким образом можно получить все подалгебры Картана.
Доказывая утверждение (1), мы можем предполагать, что ноле А алгебраически замкнуто (см. $2, предложения 3 и 6). Тогда оно вытекает из теоремы 1 п' 2. Утверждение (й) следует из (1) н пп. (!) и ((ч) теоремы 1 нз $2. Предложение 3. Пусть а — алгебра Ли и а' — ее подалгебра. Тогда слгдуюи(пе условия эквивалентны; (!) подалгебра 3' содержит некоторый регулярный элемент алгебры 3 и гд((1) =гд(3'); 2ь зв гл.
чп. подллгввгы клгтлнм гвгтлягныг элементы г (И) подалгебра й' содержит некоторую подалгебру Картана алгебрьс й; (И1) каждая подалгебра Картана алгебры й' есть также подалгебра Картана алгебры й. (1)=т (И). Предположим, что гп(й) =го(й) и элемент к~ й' регулярен в алгебре 1. Пусть (! = й~ (х), (!' = й'ь (х) = !) (),!', 7огда гя (й') ««д (гп ()' «< д(ш () = гй (й) = го (й') Следовательно, (! = (!' с: а', что и доказывает утверждение (И). (И) =ь-(ш).
Предположим, что алгебра й' содержит подалгебру Картана 5 алгебры й, и пусть !), — подалгебра Картана алгебры й'. При доказательстве того, что (), — подалгебра Картана в й, можно предполагать, что основное поле й алгебраически замкнуто. Пусть Е((!) и Е'((!) — группы автоморфизмов алгебр й и й соответственно, ассоциированные с !) (и' 2). По теореме 1 сушествует элемент ! ~ Е'(!)), для которого )($) = 5п Однако каждый автоморфизм из группы Е'((!) индуцирован некоторым автоморфизмом из группы Е(1!), Действительно, это утверждение достаточно проверить для автоморфизмов вида е"г', где хек й'~(!)), Х Ф О, а в этом случае оно следует из включения й'х(5) с: йь(5).
Значит, (), — подалгебра Картана в й. (ш) — (1). Предположим, что условие (Ш) выполняется. Пусть !) — подалгебра Картана алгебры й'. Так как подалгебра (! есть одновременно подалгебра Картана алгебры й, то она содержит элемент, регулярный в этой последней (теорема 2 (И)); при этом гд(й) =сИт Й) =гк (й'). Слвдствив. Пусть !) — нильпотентная подалгебра алгебры й.
Тогда подалгебра йь((1) обладает свойствами (1), (И) и (И1) предложения 3. Действительно, из предложения 11 5 2, п' 3, следует, что подалгебра йь(()) обладает свойством (И). Пэвдложвиие 4. Пусть й — алгебра Ли ранга 1, с — класс нильпотентности ее подалгебр Картана и хан й. Тогда в й существует подалгебра размерности ! и класса нильпотентности ««с, содержащая элемент х. Пусть Т вЂ” переменная, я'=й(Т) и й'=й®ьк'. Если ()— некоторая подалгебра Картана алгебры й, то !) 9ьй' есть подалгебра Картана алгебры й'. Таким образом, ранг алгебры й' равен 1 и класс нильпотентности ее подалгебр Картана равен с.
Выберем регулярный элемент у алгебры й. Используя обозначения п' 2 $2, получаем, что а,(у) Ф О. Будем обозначать продолжение полииомиальной функции а, на пространство !1' тоже через ао Рассмотрим элемент а~(х+Ту) кольца много- » $3. ТЕОРЕМЪ| СОПРЯЖЕННОСТИ 37 членов ?г[Т]. Его старшим коэффициентом будет а,(у). Поэтому элемент х + Ту регулярен в алгебре |1'. Обозначим через ()' нильпространство эндоморфизма аб(х+ Ту) в алгебре й'. Тогда б)т()'=1, и класс нильпотентностя алгебры (?' равен с. Пусть 1 = й' () (й 4?»» й [Т] ). Отметим, что 1 9» |т| й (Т) = ()'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
