Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрим представление алгебры Ли () в пространстве йо(й)гТ), полученное % е подллГеБРы кьРтьнл и РеГуляРные элементы 23 факторизацией присоединенного представления. Применяя к нему теорему Энгеля (гл. 1, $4, и 2, теорема 1), мы видим, что существует элемент х е= й (1)), для которого справедливы соотношения х Ф 1! и [(1, х) с: (!. Отсюда следует, что х принадлежит нормализатору подалгебры !) в алгебре й и, таким образом, 12 не является подалгеброй Картава в й.
Следствие 1, Пусть й — алгебра Ли и (! — ее подалгебра Картана. Если поле й бесконечно, то существует такой элемент хеп(), что () =йь(х). Действительно, так как () =!12(()), то можно применить предложение 9 (й) из $ 1. Следствие 2, Пусть !' й- й' — сюръективный гомоморфизм алгебр Ли. Если 1) — подалгебра Картана в алгебре й, то !" (()) — подалгебра Картана в алгебре й'. Прежде всего 1(()) — нильпотентная подалгебра в й'.
С другой стороны, рассмотрим представление х2 — Р ад !(х) алгебры Ли Ь в пространстве й', По предложению 9 (!у) из и' 3 э 1 имеем ) (!!2(())) = 3" (()). Но йь(1)) = !), и ясно, что !1 ь(()) =й ь(1(1))); следовательно, выполняется соотношение !(()) =й'ь(Щ)).
Для завершения доказательства следствии достаточно применить предложение 4. Следствие 3. Пусть 1! — подалгебра Картона и в."й (и) 1)— некоторый член нижнего центрального ряда алгебры,7и й (гл. 1, 5 1, и' 5). Тогда й=()+Ж",!. Действительно, по следствию 2 образ подалгебры () в алгебре а/%'"й является подалгеброй Картана этой алгебры и будет совпадать с ней, так как сама алгебра 91%"'й иильпотентна (пример 1). Следствие 4. Пусть !! — алгебра Ли, (! — ее подалгебра Картана и а — некоторая подалгебра в й, содержащая 1).
(!) Подалгебра а совпадает со своим нормализатором в алгебре й. (й) Предположим, что у=11 или С. Пусть 6 — группа Ли с алгеброй Ли й и А — интегральная подгруппа группы Ли 6 с алгеброй Ли а. Тогда А является подгруппой Ли группы 6 и совпадает со связной компонентой нейтрального элемента своего нормализатора в группе 6. Обозначим через п нормализатор подалгебры а в й. Так как й — подалгебра Картана алгебры и (пример 3)), то подалгебра (0) является подалгеброй Картава алгебры и/а (следствие 2) и поэтому совпадает со своим нормализатором в п(а. Гл, ч!е подАлгеБРы кАРТАНА. РегуляРпые элементы Таким образом, и=а.
Утверждение (й) следует из утверждения (1) и следствия предложения 11 из гл. 1П, $9, и'4. Следствпс 5. Пусть 9 — алгебра Ли и Š— подмножество в 9. расслютрим действие множества Е на пространстве й, заданное посредством огриничения на Е присоединенного представления. Для того чтобы подмножество Е было подалгеброй Картана алгебры д, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение Е = ~)о (Е) Указанное соотношение необходимо (предложение 4). Предположим теперь, что оно имеет место. По предложению 2 (й) из и'1 $1 множество Е является подалгеброй алгебры Ли.~). Если хек Е, то зндоморфизм аде(х) нильпотентен, поскольку Е ~ 1ь(Е), и, следовательно, алгебра Е нильпотентна.
Тогда по предложению 4 подалгебра Е является подалгеброй Картана. Следствие 5. Пусть й — илгебра Ли, йь — подполе поля й, для которого [й: йь) (+ со, и йь — алгебра,7и, полученная из 11 сужением поля скаляров до йь. Пусть () — некоторое подмножес|во в 1. Для того чтобы () было подалгеброй Картина в алгебре Ли а, необходимо и достаточно, чтобы () было подалгеброй Картана в йо Это вытекает из следствия 5, так как условие () = йь(()) не зависит от основного поля. ПРвдложение 5. Пусть й — алгебри Ли, с — ее центр и ()— некоторое векторное надпространство пространства й. Для того чтобы надпространство () было подалгеброй Картана алгебры 9, необходимо и достаточно, чтобы () содержало с и подпространство 6/с было подалгеброй Картана алгебры в(с.
Предположим, что () — подалгебра Кар ана в 0. Из соотношения [с, Д с () следует, что с ~ $. По следствию 2 предложения 4 подалгебра ()/с является подалгеброй Картана в 1/с. Предположим, что () ~ с и ()/с — подалгебра Картана в 1/с. Обозначим через / канонический морфизм алгебры Ли й на а(с.
Алгебра Ли () является центральным расширением алгебры ()/с и, следовательно, нильпотентна. Пусть п — нормализатор подалгебры 6 в а, Если х еи и, то [/ (х), Ь/с! с ()/г, поэтому /(х) я 5/с, х ~ (). Это доказывает, что алгебра () является подалгеброй Картана в алгеоре Ли 1. Следствие. Лусть Ж а — объединение членов верхнего центрального ряда алгебры Ли й (гл. 1, з 1, и'6). Подалгебра Кар. тана алгебры й есть полный прообраз подалгебры Картана алгебры йф.,й. $ е подьлгиБРы кьРтьнь и РагуляРпыа *лиывнты Действительно, центр алгебры ф2гд есть Ж,+,ОЯ'д, н следствие немедленно выводится из предложения 5 по индукции. Замечание.
зу й — это наименьший из идеалов п алгебры й, таких, что центр алгебры 8(и равен (О); это характеристический пильпотентный идеал алгебры 8. 2. Регулярные элементы алгебры Ли (Напомним, что, начиная с этого места, поле и предполагается бесконечным.) Пусть й — алгебра Ли размерности п.
Запишем характеристический многочлен энда мор физма ад х для элемента х ен .1 в виде бе1(Т вЂ” абх)= ~ а,(х)Т', где а,(х)енн. ~-о При этом а~(х) =( — 1)" 'Тг(гх" ' абх), см. А1у., сНар. Ш, $8, и'! 1. Следовательно, отображение х а, (х) является одно- родным полиномнальным отображением степени а — 1 про- странства й в поле й (А1д., свар. !Ч, $5, п'9).
Замечания. 1) Если 8 Ф (О), то а,=О, так как (ад х)(х) =О при л1обом хан р. 2) Пусть й' — расширение поля й. Запишем бе1(Т вЂ” абх')= = ~ а,'(х') Т' для х'еи~) Э й'. При любом 1 имеет место соот- ~-о ношение а,'~ 9 =а, Опяидиление 2. Наименьшее целое число 1, для которого а, 4: О, называется рангом алгебры Ли й и обозначается через гн(3). Элемент х алгебры й называется регулярным, если а,(х) ~ О.
Таким образом, для любого элемента к~а выполняется неравенство ги'(1) :й)ш~(ь(х), я равенство имеет место в том и только том случае, когда элемент х регулярен, Множество регулярных элементов открыто и плотно в в топологии Зарисского (дополнение 1). Примеры. 1) Если алгебра Ли ~1 нильпотентна, то ги(й) = = б1ш 9 и любой элемент алгебры 9 регулярсн. lу а~ 2) Пусть а = ь( (2, и).
Если х = ~ ) ен 8, то легко падр у считать, что бе1(Т вЂ” ай х) = Т' — 4(аф+ У')Т Гл. чпгподхлгввгы кхттми, ьагтлягныа элементы Если характеристика поля й не равна 2, то гп(й) = 1 и элементы х, для которых ай+ у'М О, регулярны. 3) Пусть 0 = 81(У), где 1' — векторное пространство конечной размерности и. Обозначим через й алгебраическое замыкание поля я. Рассмотрим элемент хай, и пусть )ч, ..., Մ— корни его характеристического многочлена в поле й (каждый корень записан столько раз, какова его кратность). Канонический изоморфизм пространства Р' Э )т на й согласован с заданной на них структурой й-модулей н переводит эндоморфизм 1 ®х— — 'х®1 в эндоморфизм адх (гл.
1, 5 3, п'3, предложение 4). Используя предложение 4(1) из $1, легко получить, что корнями характеристического многочлена эндоморфизма ад х являются Х,— Х! для 1~(!(~п, 1~(!(~п (каждый корень записан столько раз, какова его кратность). Поэтому ранг алгебры Ли й равен и, и для того чтобы элемент х был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы каждый корень Х, был простым корнем характеристического многочлена этого элемента.
Пэвдложвнив 6. Пусть й — алгебра Ли, я' — расширение ноля й и й'=й Эьй', (1) Для того чтобы элемент хан 8 был регулярен в й, необходимо и достаточно, чтобы элемент х®1 был регулярен в й'. (П) гй(й)=гй(8') Этн результаты следуют из замечания 2. Пэадложвннв 7. Пусть (й;),,— конечное семейство алгебр Ли и й хай. (1) Для того чтобы элемент (х,), был регулярен в й, необ. ходимо и достаточно, чтобы для каждого йг=! элемент х, был регулярен в йе (Н) ги(й) ~'., гд(й;). с~т Действительно, для любого х= (х~), , ы й характеристиче» ский многочлен эндоморфизма абзх есть произведение харак.
теристических многочленов эндоморфизмов аб,,хе Пивдложвнив 8. Пусть 1: й-э й' — сюръективный еомоморфиэм алгебр Ли. (!) Если х — регулярный элемент алгебры Ли й, то 1(х)— регулярный элемент алгебры й'. Обратное утверждение верно, если подалгебра Кег ! содержится в иентре алгебры й, (11) Имеет место соотношение гд(11) >гй(й'). З х подхлгавгы кхгтьнл н эагэлягныа эламанты 27 Введем обозначения гя(й) =г, гя(6') =г'. Пусть хана.
тогда характеристические многочлены эндоморфизмов ад х, «д((х) и адх1Кег) могут быть записаны в следующем виде: Р(Т) =Т" +а ~(х)Т" '+ ... +а,(х) Т", Я(Т) =Т" +Ьы-~(х) Т" '+ ... +Ь„(х) Т', Д(Т)=Т" +с„- ~(х)Т" ~+ ... +с,.(х)Т", где аь Ь, и с; — полиномнальные функции на й н а, Ф О, Ь; ~ О, с,. ФО. При этом Р=(гй, следовательно, выполняются соотношения г =г'+ г" и а„(х) =Ь;(х) с,-(х), которые доказывают утверждение (И) н первую часть утверждения (1). В случае когда подалгебра Кег 1' содержится в центре алгебры й,' имеем й(Т)=Т", поэтому а,(х) =Ь; (х), что доказывает вторую часть утверждения (1). Следствия. Пусть Ж„й (и -э О) — некоторый член верхнего иентрального ряда алгебры й (гл.
1, э 1, и'6). Регулярными в алгебре и, являются те элементы этой алгебрьи образы которых в фЖ„~ регулярны. Пгадложзниа 9. Пусть и — алгебра Ли и 9' — ее подалгебра. Каждый элемент алгебры а', регулярный в 9, регулярен и в й'. Если х~ а', то эндоморфизм аб, х порождает при ограничении на подпростраиство 9' эндоморфизм ад„х и потому определяет на факторпространствс й(9' некоторый эндоморфизм и(х), Обозначим через йь (х) (соотв. й (х)) размерность нильпространства эндоморфизма абь х (соотв.
и(х)), и пусть сь (соотв. с~)— минимум чисел йь(х) (соотв. й,(х)) для всех элементов х из подалгебры а'. Существуют нен)левые полнномиальные отображения р, и р, пространства а в поле я, для которых йь (х) = сь ч=:- рь (х) ~ О, 4 (х) = с, ч=ь р, (х) Ф О. Так как поле А бесконечно, то множество 5 тех элементов х~н6', для которых йь(х) =сь и й,(х) =сь не пусто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
