Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Рассмотрим гомоморфизм ф кольца й [Т] на поле й, для которого ф(Т) = О, и пусть ф — гомоморфизм 1 |ь ф алгебры | ®»й[Т] на алгебру й. Ясно, что ф(1) — подалгебра в й класса нильпотентности (с, содержащая элемент ф(х+ Ту) =х. Свободный ЦТ]-модуль й Э» й [? ] содержит подмодуль?ранга 1, причем фактормодуль (й Э» й [Т])/Г является модулем без круче. ния.
Следовательно, подмодуль 1 выделяется в модуле й З» й [Г] прямым слагаемым (см. Алг., гл. Ъ'П, $4, и' 2, теорема 1), и 51|и»ф(1) =1, что и требовалось доказать. 4, Сопряженность аодалгебр Картана и раэреигимой алгебре Ла Пусть й — разрешимая алгебра Лн. Обозначим через Ю (й) пересечение членов нижнего центрального ряда алгебры й (гл. 1, $1, и'5). Оно является характеристическим идеалом в,), причем это наименьший среди идеалов |и алгебры й, для которых факторалгебра й/е| нильпотентна. Так как ег" (й) ~ [й, й], то У" (й)— ннльпотентный идеал в алгебре й (гл. !, з 5, и' 3, следствие 5 теоремы 1).
В силу предложения 1 из и' 1 множество автоморфизмов е'е", где х~Ю (й), составляет подгруппу группы Ац((й), содержащуюся в подгруппе специальных автоморфпзмов (гл. 1, $ б, и' 8, определение б), Теооема 3. Пусть й — раэреишмая алгебра Ли, а ?), (?' — ее нодалгебра| Картана.
Тогда существует элемент х е:-()7 (й), для которого е'г'(? = ()'. Проведем индукцию по б!|и й. Случай й = О тривиален.. Пусть и — ненулевой минимальный коммутативный идеал алгебры 5. Пусть ф: 1- о/и — канонический морфизм. Тогда ф(ет (й)) = = ЕУ (й/и) (гл. 1, $1, и' 5, предложение 4). Ввиду того что |р(()) и ф(!)') — подалгебры Картана алгебры 1/и 5 2, и' 1, следствие 2 предложения 4), по предположению индукции существует такой элемент х~%' (й), что е'еэолф(())=ф(й').
Заменяя 5 иа еье'1?; можно далее предполагать, что ф((?)=ф(()'), т е. (? + и = ))'+ и Следовательно, подалгебры ?) и ??' являются подалгебрами Картана алгебры ()+ п. Если ()+п эь й, то доказываемое утверждение вытекает из предположения индукции. Поэтому мы предположим теперь, что ?)+п=()'+и=5. Гл уп подАлГеБРы кАРТАнА. РЕГУЛЯРНЫЕ эЛементы Так как идеал п минимален, то илн [!1, и] = (0), или [9, и] = и. Если имеет место равенство [9, и] =(О), то и с- !) и и с:()' (~ 2 и' 1, предложение 5), поэтому () = 9+и=()'+ и= 9'. Остается рассмотреть случаи [!1, и] = и. Тогда и с: е."" (9), и идеал п является простым !)-модулем, Так как 9=9+и и [и п]=(О) то идеал и — простой ()-модуль.
Если () [) п Ф (0), то п~ Ь, а значит, 9 = () и Ь'=(). Предположим, что () [)п= (О). В этом случае ()9п и !! =()'9п, так как пространства !) и !)' имеют одинаковую размерность. Для каждого элемента хя () обозначим через /(х) тот единственный элемент идеала и, для которого х — /(х) еи ()', В этих обозначениях, если х, у еи(), то [х, у] — [х, /(у)] — [/(х), у] = [х — /(х), у — /(у)] еи ()', Поэтому /([х, у]) =-[х, /(у)]+ [/(х), у].
По следствию предложения 9 $1, и' 3, существует такой элемент аеип, что /(х) = = [х, а] для всех х еи (), Тогда (ай а)' (9) ~ (ай а) (и) = О, так что е'"'х=х+ [а, х] =х — /(х) для всех хеий. Таким образом, е"г'(Ь)=()' н а~В (!). Тем самым теорема доказана. Лемма 3. Пусть ! — алгебра Ли, т — ее радикал, ср — канонический гомоморфизм алгебргя 9 на факторалгебру 9/Г и о — не. который элементарный автоморфизм алгебры 9/Г.
Тогда существует такой элементарный автоморфизм и алгебры 9, что вьы полняется равенство ср ь и = о а<р. Можно предположить, что автоморфизм о имеет вид е'гь, где Ье=9/т и эндоморфизм айЬ нильпотентен. Пусть ь — подалгебра Леви алгебры 9 (гл. 1, $6, и' 8, определение 7) и а — такой элемент подалгебры б, что ~р(а)=Ь. Так как эндоморфизм ай, а нильпотентеи, то эндоморфизм ай, а тоже нильпотентен (гл.
1, $6, и'3, следствие предложения 3) и и=е' Г'— элементарныи автоморфизм алгебры 9, для которого у о и = о о ф. Пведложение 5. Пусть 9 — алгебра Ли, т — ее радикал, () и ()' — ее подалгебры Картана и у — канонический гомоморфизм алгебры 9 на факторалгебру 9/т. Тогда следующие условия эквивалентны; (1) подалгебргя () и ()' сопряжены относительно группья элементарных автоморфизмов алгебры 9; (В) подалгебрьГ ср(()) и ф(Ь') сопрязсены относительно группы элементарных автоморфизмов олгебргя 9/Г, (!) =ь.
(В). Очевидно. (!!) =Р.(!). Предположим, что условие (!!) справедливо, н докажем (!). Вследствие леммы 3 можно предполагать, что ср(()) = $3. ТЕОРЕМЫ СОПРЯЖЕННОСТИ =гр((г'). Пусть 1=()+т=()'+т — разрешимая подалгебра алгебры й. При этом подалгебры () и 1)' являются подалгебрами Картана алгебры 1 и существует элемент х~ е" (1), для которого е' г'5=(г' (теорема 3). Так как алгебра г(г нильпотентна, то У (1) с:г. С другой стороны, %' (1) с [1, 1) с: [й, й[, поэтому хыт() [й, й), и по теореме 1 из гл. 1, $ 5, и' 3, эндоморфизм ай х будет нильпотентным.
Таким образом, элементарный автоморфизм е'ее' алгебры й переводит подалгебру (г в (г'. б. Одно предложение о группах Ли Предложение 6. Предположим, что основное поле Ь вЂ” это поле Р„С или полное иедискретиое ультраметрическое поле ха» рактеристики О. Пусть 6 — группа 7и конечной размерности над полем Й, е — ее нейтральный элемент, й — ее алгебра .7и, ()— ггодалгебра Картина алгебры й и (),— множество регулярных элементов алгебры й, прииадлежаи(их подалгебре 1). (г) Пусть 6 — векторное надпространство пространства й, до.
полнительное к (), 6ь — окрестность нуля в подпространстве 6, на которой определено экспоненг)иальное отображение, и Иьеи))„ Тогда отображение (з, Ь) ~Е(з, Ь) =(ехрайз).Ь ггрямого произведения 6, Х () в й этально в точке (О, Ид). (й) Отображение (у, Ь) -.Г'(йг, Ь)=(Айд).Ь прямого про. изведения 6Х(г, в й является субмерсией'). В частности, образ 11 этого отображения — открытое множество. Для любого элемента х еи й надпространство йь (х) — это подалгебра Картона алгебрьг»3, сопряженная с подалгеброй )) относительно группы Аб(6). (ш) Пусть Ьь~(),.
Если У вЂ” произвольная окрестность элемента е в группе 6, то множество (1 (Аг(а)((г,) — окрестность ее У элемента Ьь в й. Будем использовать обозначения Ьь и 6 утверждения (1). Пусть Т вЂ” касательное линейное отображение к отображению Е в точке (О, Ьь). Так как Е(0, Ь) Ь при всех Ь~(г, то Т(0, Ь) =И при всех Ь ен 1). С другой стороны, если окрестность 6ь достаточно мала, то касательным к отображению з ехр аб э окрестности 6, в пространство Епд(й) в точке 0 будет отображение з ~аде пространства 6 в пространство Епй(й), Следовательно, Т (з, 0) = [з, Ьь] для всех з ~ 6.
Таким образом, отображение пространства 91() в себя, полученное из отображения ай Ьь факторизацией, биективно. Отсюда следует, что отображение Т биективно; тем самым утверждение (1) доказано. Теперь из того факта, что ехр аде =Ай ехрз для всех э ~ 6, достаточно близких к О, ') См. Мн. Се. рее., 5.9,1, — Прим. рев, ГЛ УН ПОДАЛГЕЕРЫ КАРТАНА. РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 40 следуют утверждение (гй) и первая часть утверждения (й). Так как любой элемент к~й имеет вид (Ада)(Ь) для некоторых аен О и Ьее !)„То !!'(х) =(Ада)(й'(Ь))=(Ада)((!), и это подалгебра алгебры й, сопряженная с () относительно группы Аб (О). $4. Регулярные элементы группы Ли В этом параграфе в пп' 1, 2 и 3 предполагается, что поле Ь вЂ” это 11, С или полное недискретное ультраметрическое поле характеристики нуль.
Через 6 обозначается группа Ли конечной размерности над полел! Ь, через й — ее алгебра Ли и через е— ее нейтральный элемент. Мы будем обозначать через й'(а), где а еи О, нильпространсгво эндоморфизма Ай(а) — 1, или, другими словами, пространство й! (Аб(а)) (см. 5 1, и' 1).
1. Элементы, регулярные относительно линейного представления Лемма 1. Пусть М вЂ” аналитическое многообразие над полем Ь и а =(аь, а„..., а„н а„=1) — последовательность аналитических функций на многообразии М. Обозначим через г,(х), где хан М, верхнюю грань таких чисел !'ее (О, и), что а!(х) =О при / < !', а через г,(х) — верхнюю грань таких чисел ю'~ (О, и), что а! равна О в некоторой окрестности точки х при 1 ( !'. (!) Функция г полунепрерывна сверху. (й) гь (х) = йп! (п1У г, (у) для всех х е= М. (гй) Функция гь локально постоянна. (1ч) Множество точек х енМ, таких, что г',(х) =г,(х), совпадает с множеством тех точек многообразия М, в окрестности которых функция г постоянна.
Это множество открыто и всюду плотно в М. Если Ь =С и многообразие М связно и конечно- мерно, то это множество связно. (!) Если г,(х) с, то а! (х) чь О. Следовательно, для всех точек у из некоторой окрестности точки х тоже а,(у) чь О, и г (у)~(!. (й) Если гь(х)=4, то функции а, ..., а,, равны нулю в некоторой окрестности точки х. и, таким образом, для всех точек у из этой окрестности выполняется неравенство г,(у))!. Поэтому 1нп !п1„„г,(у) "!. Однако любая окрестность точки х содержит некоторую точку у, для которой а!(у) ч' О и, следовательно, г, (у) ( !'. В результате мы получаем равенство 1нп !п1 „г, (у) = !.
(И) Пусть (=гь,(х), и пусть )г — такая окрестность точки х, что а!(у) =О для всех усе )г и любого 1 < !. Как мы предпо- 1 $ С РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ ЛИ 41 ложили, х ~ (М вЂ” с), где Л обозначает множество тех точек многообразия М, в окрестности которых функция а, равна нулю. Так как множество с замкнуто в М (Мн. Св. реэ., 5.3.5), то множество )г П (М вЂ” л) — окрестность точки х. Для любой точки у из этой окрестности г',(у) =~', (!ч) Функция г„— гь полунепрерывна сверху, и ее значение в любой точке ' О.
Если г,(х) =гз (х), то функпия г — г', равна нулю в некоторой окрестности точки х; ввиду утверждения (ш) это означает, что функция г, постоянна в некоторой окрестности точки х. Обратно, если функция г, постоянна в окрестности точки х, то вследствие утверждения (й) имеет место равенство г'„(х) =г,(х). Таким образом, множество 11 тех точек хан М, для которых гь(х) = г,(х), открыто в М. Если г",(х) < г,(х) для какой-либо точки х е= М, то любая окрестность точки х содержит' такую точку у, для которой г,(у) ( Г,(х), причем ~"„'(у) = г",(х), Следовательно, в любой окрестности точки х существует такая точка у, что г, (у) — гз (у) ~ г (х) — гь (х). Таким образом, мы получаем, что множество 11 всюду плотно в М.
Если многообразие М связно и значение функции г", на М есть р, то множество 11 состоит из тех точек х ен М, для которых ар(х) ныл. Если я=С, то связность множества й следует из леммы 3 дополнения П. Пусть р — аналитическое линейное представление группы 0 в векторном пространстве )г конечной размерности и над полем й. Рассмотрим бе1(Т вЂ” р(д)+ 1) =ар(д)+ а1 (д)Т+ ... +а„,(д) Т" ' +Т". Функции г, и г',, построенные по последовательности (а, а„... ..., а„н 1), мы будем обозначать через г„и г„'соответственно. При этом для любого элемента дя б справедливы равенства г,(д) =б(гп Р(р(д)), гь (у) — 1цп ~п(, бпи )г (р (д )). Лемма 2. Пусть Π— р )г'-у 1г — р )гь -ь Π— точная последовательность Б-модулей, определяюи1их аналитические линейные представления р', р и р" еруппы 6 соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
