Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 17
Текст из файла (страница 17)
а) Показзть, что ограничении на ]) линейных форм, которые названы корцямп в упражнении 17 в) гл. П1, $9, совпадают с весами подалгебры в и, т. е. с такими Х, что п~(Г)) ФО. Вывести отсюда, что такая форма Х обращается в нуль иа [) П ц)р. б) Пусть (х, у) ь [х, у]' — билинейное знакопеременное отображение 6 7г и в р, обладающее следующими свойствами: (!) если х щ й~(Г)), у е Я" (])), где Л~ О, р ~ О, то [х, у]'= [х, у]; (й) если х гы ро (Г)), у щ я" (])), то [х, у]'= [х, у] — р (х) у.
Показать, что таким образом пространство Я наделяется новой структурой алгебры Ли (использовать а)), Обозначим эту алгебру Лн через й'. в) Поназать, что если хсы6 (Г)), то отображение ад'хг у — э[х, у]' А нильпотентно. Вывести из этого, что алгебра и' нильлогантип (применить упражнение П гл. 1, э 4, к множеству Е эндоморфизмов ад' х, где х пробегает объединение надпространств й (Г))). 1) Пусть й — алгебра Ли, й' — ее подалгебра Картава. Тогда условия предложения 3 выполняются. Но произвольный элемент алгебры й', всегда регулярный в й', не обязательно регулярен в й. 2) Пусть й — вещественная алгебра Ли размерности и, У (соотв.
Н)— множество регулярнык элементов (соотв. подалгебр Картана) алгебры и и Гп! (Я) — группа внутреннвх автоморфизмов алгебры й (гл. Ш, Э 6, п'2, определение 2). а) Показать, что если элементы х и у принадлежат одной связной компоненте множества У, то подпространства йэ(х) н йэ(у) сопряжены относительно группы 1п1(й). б) Показать, что множество У имеет лишь конечное число связных компонент и что эта число ограничено некоторой константой с(п), зависящей только от и (применить упражнение 2 дополнения П).
в) Вывести из этого, что число орбит группы Гп((й) на множестве Н не превосходит с(л). 3) Пусть й — вещественная алгебра Ли, с — ее радннал, Г) н ()' — ее подалгебры Картаиа и ф — канонический гомоморфнзм из й иа й[т. Доказать, что следующие условия эквивалентны: (!) подалгебры Г) и Г)' сопряжены относительно группы !п1(й); (й) подалгебры ф(Г)) и ф ([)') соприжены относительна группы Гп1(й/т). (Следовать доказательству предложения 6.) г! О т гΠ— 1т 4) Пусть 6=61(2, !(), х !ч ), у=(ч ). Показать, что ]Гх ~О -1) ~! О ) и ((у — подалгебры Картвиа алгебры й, не сопряженные относительно группы Ац! (6).
гл. уы, подллгньвы клятлнл. явгялярыып элвмпнты у з б) а) Показать. что существует алгебра Ли 9 над нолем й с базисом (». Гь л, !), для которой Показать, что 9 разрешима н что 1 й»+ йу+ йг — поаалгебра алгебры 9 б) Показать, что элементарные автоморфнзмы алгебры 9 — это отображення вида 1+ лай у+ (заб й где Л, р щ К в) Показать, что 1+ аỠ— элементарный автоморфизм алгебры 1, кото! рый не продолжается до элементарного автоморфнзма алгебры 9. г) Пусть Ю вЂ” полупростая подалгебра некоторой алгебры Ли а.
Показать, что любой элементарный автоморфизм подалгебры й продолжается до элементарного автоморфнэма алгебры а. 6) Любой элемент редуктнвной алгебры Ли 9 содержится в некоторой коммутати зной подалгебре размерности гй (9). У) Пусть 9 — алгебра Лн, 9' — подалгебра алгебры 9, редуктнвная в 9. и а — подалгебра Картава алгебры 9'. Показать, что существует подалгебра Картана алгебры 9, содержащая а. Вывестн нз этого, что гй(9')~(гй(9), причем равенство возможно тогда н только тогда, когда 9' обладает свойствамн (1), (П), (1!!) предложения 3. 8) Пусть 9 — алгебра Ли, а — ее идеал, « — подалгебра Картана алгебры 9 и 9' (9) — объединение членов верхнего центрального ряда алгебры 9.
Г!оказать, что еслн а с «, то а ~ 9',,9 (другими словами, 9г„й — это наибольший идеал алгебры 9, содержащийся в «). (Ввести к случаю, когда поле й алгебраически замкнуто, н обратить внимание на то, что подпространство а устойчиво относнтельно всех элементарных автоморфизмов алгебры 9.
Тогда из соотношения а ~ «следует, что а содержится во всех подалгебрах Картана алгебры 9. Затем использовать упражнение !5 нз $2.) $9) Пусть 9 — алгебра Лн, « — ее подалгебра Картава и» вЂ” элемент нз «. Пусть 9 «Щ9+ — разложение Фиттяига ($1, п'1) алгебры 9 относительно прнсоеднненного действия подалгебры «, а) Пусть и — максимальный полупростой «-подмодуль, содержащийся в 9 (») Д 9 ~. Показать, что п = 0 тогда н только тогда, когда 9 (») = «, т, е. о + о когда элемент » регулярен в 9. б) Показать, что « Щп — подалгебра алгебры 9. Показать, что если «'— пересечение подалгебры « н централнзатора подпространства и, то «' — ндеал подалгебры «Щп, содержащий В)«и». Вывели из этого, что «'~:9' («Щп) (упражненне 8), вследствие чего» лежит в 9' («Щ п) н, значит, принадлежит любой подалгебре Картана алгебры «Щп. в) если п чьО, то подалгебра «Щп ненильпотентна н имеет бесконечно много подалгебр Картава ($2, упражненне 10).
Вывести отсюда, что бесконечно много подалгебр Картана алгебры 9 содержит элемент». г) Для того чтобы элемент алгебры 9 был регулярным, необходимо н достаточно, чтобы он принадлежал единственной подалгебре Картава. $10) Пусть 9 — алгебра Лн, с — ее радннэл, и — ее наибольший ннльпотентный идеал н а — одна из ее подалгебр Леви.
а) Положнм 9'=и+9)9. Показать, что 9' пЩа. (Использовать то, что (9, т) содержится в и.) Есля 9 Ф О, то 9' Ф О. б) Предположим, что поле й алгебраяческн зла~кнуте. Пусть ()'!) факторы ряда Жордаиа — Гельдера 9-модуля 9 (относнтельно присоединенного представления). Показать, что если» щ т, то» вЂ” гомотетия н»г — — 0 при к! всех ! тогда н только тогда, когда»щп, Вывести отсюда, что для того, 77 УПРАЖНЕНИЯ чтобы элемент у /м й приналлежал й', необходимо и достаточно, чтобы при всех (/м 1 выполнялось равенство Тг [ду ] = О.
!/ в) Обозначим через М подпространство векторного пространства й, порожденное элементами х, для которых эндоморфизм аб х нильпотентен. Показать, что М вЂ” подалгебра алгебры й (использовать тот факт, что подпространство М устойчиво относительно Лн(/(й)). Показать, используя б). что М ~= й'. г) Пусть « — некоторая подалгебра Картава алгебры й. Предположим, что существует такое подмножество Й в «', что 6 = «9 ® й («).
амп Это всегда так, если поле й алгебраически замкнуто. Показать, что при этом М содержит подалгебры й~(«), Е)«. п; вывести отсюда. что М содержит Я', и, значит, М =й'. д) Если поле й алгебраически замкнуто и Я~О, то й содержит элемент х, для которого аб х нильпотентен. (Действительно. это так потому что й ФО.) 1] П) Пусть й — алгебра Ли и г — ее радикал. а) Пусть 6 — некоторая подалгебрз Леви алгебры й, а 1 — подалгебра Картана алгебры Ф, Показать, что подалгебрз 1 содержится в некоторой подалгебре Картана «алгебры Я, равной сумме подалгебры 1 и некоторой подалгебры алгебры г. (Использовать теорему 2, предложение 1О и следствие 2 теоремы 1 из э 2.) б) Пусть «' — подалгебра Картана в й, Показать, что существует такая подалгебра Леви й' алгебры Я, что «' совпадзет с суммой подалгебры Картана алгебры й' и некоторой подалгебры алгебры г.
(А(ожно таким образом выбрать подалгебры й, 1, «, удовлетворяющие услоэням пункта а), что «+ г = «'+ г. Положим тогда а = «+ г; это разрешимая подалгебра. По теореме 3 существует такой элемент х щ 'ч*~(а), что ее~а "« = «'. Тогда специальный автомоуфнзм еа"й» алгебры й переводит подалгебру й в искомую подалгебру Леви.) в) Пусть  — подалгебра Леви алгебры й « — подалгебра Картава в й, равная сумме полалгебры Картана 1 алгебры 6 и подалгебры 1 алгебры т. Пусть с — централнзатор подалгебры 1 в алгебре с. Показать, что 1 — подалгебра Картана алгебры с.
(При х/и( зндоморфизм ад х почупрост, а эндоморфизм аб) х нильпотентен, следовательно, [1, «] О. Если у ьяс и [у, Цс1, то [у, «] с«, поэтому у /ы «Д а=1.) г) Пусть 6 — нодалгебра Леви алгебры у, 1 — подалгебра Картана алгебы д, с — централизатор подалгебры 1 в с и 1 — подалгебра Картана в с. Тогда 1+ 1 — подалгебра Картана в Я. (Пусть х = у+ х (у щ Ф, г /и») — элемент из нормализатора и подалгебры «в й. Показать, что [у, 1] ~ 1, откуда у гц( и а /и и.
Палее показать, что [а, 1] ~= «Д г ~: с, вследствие чего [1, [1, а]] = О, откуда [1, х] =О н асяс. Наконец, [а, 1] ~:1, поэтому х/м1 и хяп «,) д) Пусть 6, ь с те же, что и в пункте г), н и [й, г] — нильпотеитный радикал алгебры й. Пусть х щ и и и — специальный автоморфизм еа~ ». Если и (1) ~ 1+ с, то х /в с. (Рассмотреть присоединенное представление р алгебры Ф в пространстве ц и обозначить через и устойчивое относительно р дополнительное к э" ц подпростраиство в э"ф Пусть рг — подпредставление представлении р, определенное подпространством пп и пг р;[ 1.
Пусть пз— // централизатор 1 в ц, и цг — устойчивое относительно и, дополнительное / // / м к щ/ подпространство в и, Пусть х=»~+ хг + ... + х„+ х„, где // хг щ и,, х, /м Яг Рассуждая от противного, предположить, что не все хг 78 ГЛ, ЧП ПОДЯЛГЕБРЫ КЯРТАНЛ, РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНГЫ У з и и и равны нулю, например, х~ = ... =хи 1=-0, хр ФО. Если й гц 1, то и (Ь) = й -1-[х„, й)+ у, где у гц 9'р+'и.
так как и(й) гц 1+ с, то [х, й) + у ш ш яр + црь! + ... + и„. поэтому [й, хр3 ш Яр и [й, х 3 = О. Таким образом, х ~ = О, что приводит к противоречию.) р е) Пусть « — подалгебра Картана алгебры Ли 9. Тогда «представляется единственным образам в виде суммы «()т и одной из подалгебр Картана некоторой подалгебры Лени алгебры 9. (Для доказательства единственности использовать д) и теорему 5 из гл. 1, 6 6, п'8.) Возникающая подзлгебра Леви определена, вообще говоря, неадвозначно. ж) Пусть « — подалгебра Картана алгебры Ли 9 и 1 = йз («() г), Тогда « — подалгебра Картана в 1. При этом 9 =1+ т (использовать разложение Фиттипга для присоединенного представления алгебры «П г в пространстве 9). Алгебра 1()г нильпотентна и является радикалом алгебры Ли 1 (использовать упражнение 5 из 6 2), з) Предположим, что поле й алгебраически замкнуто, Пусть « — подалгебра Картава алгебры 9. Тогда существует подалгебра Леви 8 алгебры Лн 9, такая, что для любого )г ш «' 9' («) = (9" («) П й) + (9' («)() г).
(Пользуясь обозначениями пункта ж), взять в качестве й падалгебру Леви алгебры 1, для которой « = («П 8) + («Пг); она сущестяует ввиду б). ')) Я 12) а) Пусть 9 — разрешимая алгебра Лн и 0 — конечная (соотв. ком. пактная, если й = (т илн С) подгруппа группы Аи1(9). Показать, что суше. ствуст подалгебра Картана алгебры 9, устойчивая относительно 6. (Провести индукцию по сцш 9 и свести к случаю, когда 9 есть расширение нильпотентной алгебры 91п при помаши коммутативного идеала и, который является простым нетривиальным 91п-модулем (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
