Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда (1) [Н, Х"] = 2пХ" для любого целого п ) О; (П) Если 2 — такой элемент алгебры А, что [2, Х] = Н, то для всех целых и > О [ с, Х "1 = пХ" ' (Н + и — 1) = и (Н вЂ” и + 1) Х" '. Отображение А-+А, заданное формулой Т ~[Н, Т], является дифференцированием; отсюда следует утверждение (1). По условию утверждения (Н) имеют место следующие равенства: ~г, Х"1= ~' Х'НХ'= с+с-е-с (ХсХсН+ Х'2»Хс) = с+1= -с =пХ" 'Н+ 2Х" ' 2 Хк-с (Н С другой стороны, вследствие пункта (1), Х" '(Н+п — 1) = =(Н вЂ” и+ 1) Х" '. Ч. Т.
Д. Напомним, что символом 61(2, й) обозначается алгебра Ли, состоящая из квадратных матриц 2-го порядка с коэффициентами из поля й со следом нуль, Эта алгебра является простой 86 Гл. Щп. РАсщепленный полупРостые АлГЙБРы лн т 3-мерной алгеброй Ли (гл. !, $6, и' 7, пример). Каноническим базисом в 61(2, й) называется базис (Хэ, Х, Н), где Х =, Х =, Н= Выполняются следующие равенства: [Н, Х+1=2Х.„[Н, Х [= — 2Х, [Х+, Х ]= — Н. (1) Тождественное представление алгебры Ли Ы (2, и) инъектнвно, поэтому Н вЂ” полупростой элемент алгебры Лн Ы(2, й), а Х+, Х вЂ” ее нильпотентные элементы (гл.
1, $ 6, п'3, теорема 3). Как следует из примера 4 гл. ЧП, 5 2, и'1, пространство йН является подалгеброй Картана в Ы(2, й). Отображение () ~ — '() — ииволютивный автоморфизм алгебры Ли 6! (2, и), называемый ее канонической инволюцией; эта инволюния переводит базис (Х+, Х, Н) в базис (Х, Хэ, — Н). Лемма 2. В универсальной обертываюи(ей алгебре алгебры Ли Ы(2, й) для всех целых и ~)0 выполняются соотношения [Н, Х+[=2пХ+, [Н, Х" [= — 2пХ", а если п> О, то [Х, Х+1=пХ"+ '(Н+п — 1) =п(Н вЂ” и+1) Х".|. ', ~Х~, Х" 1=их" ( — Н+и — 1)=п( — Н вЂ” и+1) Х" Первое и третье соотношения следуют из леммы !.
Остальные соотношения выводятся из них с помощью канонической инволюции алгебры Ли Ы(2, й). 2. Примитивные элементы 61(2, й)-модулей Пусть Š— некоторый 6!(2, й)-модуль. Если А~6!(2, и) и х еи Е, то часто вместо Асх пишут Ах. Пусть А ен и. Если Нх =!х, то, допуская вольность речи, говорят, что х — элемент нз Е веса Й илн что А — вес элемента х. Если Š— конечномерный модуль, то Нв — полупростой эндоморфизм, поэтому множество элементов веса Х является примарным подпространством эндоморфнзма Нв в пространстве Е, отвечающим весу А (см.
гл. ЧП, 5 1, п'1), Лемма 3. Если х — элемент веса Х, то Х+х — элемент веса А+ 2, а Х х — элемент веса А — 2. 2 $1. АлГеБРА ли,1(2, а! и ее пРедстАВлеппп вт Примеры. Элемент Хе является примитивным элементом веса 2 относительно присоединенного представления алгебры Ли э! 12, Ь). Элемент (1, О) пространства йг является примитивным элементом веса ! относительно тождественного представления алгебры Ли э)(2, а) в лт. Лемма 4. Пусть Š— нетривиальный конечномерныи" Ы(2, й)- лсодуль. Тогда он содержит примитивный элемент, Так как Х+ — нильпотентный элемент алгебры Ли 61(2, Ц, то Хев — нильпотентный эндоморфизм. Предположим, что Хее Был, а Х+Е=О.
Тогда по лемме 2 т(Не — и+ 1) Х+е =(Х е, Х+е)=0, и, следовательно, элементы множества Х~ '(Е) — (О) являются примитивными. ПРедложение 1. Пусть Š— некоторый Ь! (2, н).модуль, а е — примитивныи элемент модуля Е веса )с, Положим е„= Х" е для п~О и е, =О. Тогда Не„= (к — 2п) е„, Х е„= — (и+ 1)е„+1, Х+ е„= ()ь — и + 1) е„1. (2) Первое равенство следует из леммы 3, второе — из апре- деления элементов е„.
Докажем третье равенство индукцией по и. Оно справедливо при и = О, так как е, = О. Если п>0, то пХ+е„= — Х+Х е, = — (Х+, Х )е„, — Х Х+е„-1= =Не„! — Х (Х вЂ” и+2)е„,= = (Х вЂ” 2п + 2+ (и — 1) (Х вЂ” и + 2)) е„1 = =п(Х вЂ” и+!)е„ь Действительно, НХ+х = [Н, Хе) х+ Х+Нх 2Х+х+ Х„.Лх = =(Х+2)Х+х и, аналогично, НХ х=(Х вЂ” 2)Х х (см. также гл. ЧП, $1, и'3, предложение 10(11)). Определение 1. Пусть Š— некоторый б( (2, й)модуль.
Его ненулевой элемент называется примитивным, если он является собственным вектором эндоморфизма Не и принадлежит ядру эндоморфизма Х+в. Для того чтобы ненулевой элемент е еи Е был примитивным, необходимо и достаточно, чтобы пространство йе было устойчивым относительно действия эндоморфизмов из йН+ йХ„; это следует, например, из леммы 3.
88 гл. юп. плсщгплеппыг полтпностыс ллгещ ы ли Следствие. Подмадуль модуля Е, порожденный элементом е, совпадает с подпространсгвом векторного пространства Е, натянутым на векторы е„. Это непосредственно вытекает из формул (2). Целые числа п ) О, такие, что е„ Ф О, составляют некоторый интервал в множестве натуральных чисел Ы, а соответствующие векторы е„образуют базис над полем )г подмодуля, порожденного элементом е (действительно, эти элементы линейно независимы, так как являются ненулевыми весовыми векторами с различными весами).
Такой базис мы будем называть базисом, ассоциированным с примитивным элементом е. Предложение 2. Пусть )г — конечномерный подмодуль модуля Е, порожденный примитивным эле,чентом е. Тогда (1) вес Л элемента е — целое число, равное е(ип (г — 1; (й) набор (е„еь ..., ел) является базисом пространства г' и е„=О пэи п > Л; (и(1) собственными значениями эндоморфизма Нг служат числа Л, Л вЂ” 2, Л вЂ” 4, ..., — Л, кратность каждого собственного значения равна 1; (гч) каждый примитивньи1 элемент пространства У пропорционален е; (ч) ком гутант ') модуля )г состоит из скаляров, в частности, модуль 1/ абсолютно прост.
Пусть т — наибольшее из тех целых чисел, для которых е ФО. Тогда О=Хее е,=(Л вЂ” т)е„„следовательно, Л=т; так как набор (е„е„..., е ) является базисом пространства )', то утверждения (1) и (й) доказаны. Утверждение (гй) следует из равенства Не„=(Л вЂ” 2п)е„. Имеем Хее„Ф 0 для 1((п(т, откуда следует (1ч). Пусть с — элемент коммутанта модуля 1'. Тогда Нс(е) =сН(е) =Лс(е), следовательно, существует такой элемент )ген )е, что с(е) =-ие. Значит, сХ' е = Хв се = )тХ" е для всех д вО. Таким образом, с=)г . 1, что и доказывает утверждение (ч). Слидствие. Пусть Š— конечномерный 81 (2, й)-модуль. (1) Эндэморфизм Нв диагонализуем, и его собственные значения являются целыми числами.
(й) Для каждого числа ре= Х обозначим через Ев собственное подпросгранство эндоморфизма Не, отвечающее собственному значению р. Пусть 1 — целое число, больичее или равное нулю. ') См. А ~в,, гл, г'111, з 1, и'2, определение 4 — Прим. перев, > о <. ьлгввро лп ««о, м н рс првдстовлеиня 89 Отображение Х' е ~ Е„; Š— Е „. инъективно при «р, биективно при ! = р и еюръективно при ! ) р. Отобрамение Х+е ~ Е р: Е р » -»Е»„инъективно при <е..р, биективно при <=р и сюръективно при 1 ~~ р. (!!!) длина модуля Е равна дпп КегХ+е и <(!<п Кег Х в.
(!ч) Пусть Е' (соотв. Е") — сумма пространств Ер по четным (соотв. нечетным) р. Тогда пространство Е' (соотв. Е") является суммой простых подмодулей модуля Е, имеющих нечетную (соотв. четную) размерность; имеем Е = Е'РйЕ". Длина модуля Е' равна д!гп Ео, а длина модуля Е" равна <!!шЕ,. (ч) Имеют место следующие включения: КегХ»ей 1>п Х е ~ 2, Е, рьо Кег Х «П1гп Х в <:.
Х Ер. р<о Если Š— простой модуль, то он порожден примитивным элементом (лемма 4), н достаточно применить предложения 1 и 2. Так как все конечномерные <>!(2, й)-модули полупросты, то тем самым утверждения следствия доказаны и в общем случае. 3. Простые модули У(т) пространства й'. Для верны следующие соот- Пусть (и, о) — канонический базис тождественного представления 6!(2, й) ношения: Х+и=О, Ни=и, Х+о=и, Но= — о, Х и= — о, Х о=О. е< > = и "о" еи 'р'(т).
и Рассмотрим симметрическую алгебру 8(йо) пространства йо (Алг., гл. 111, $8, и'9, предложение !7). Действие элементов из <>! (2, й) однозначно продолжается до дифференцирований алгебры 8(й'). Таким образом, мы снабжаем 8(йо) структурой 6!(2, й)-модуля (гл. 1, $ 3, и'2). Пусть $'(т) — множество однородных элементов алгебры 8(йо) степени т. Тогда Г(т)— в! (2, й)-подмодуль модуля 8 (й') размерности т+ 1, являющийся т-й симметрической степенью модуля !'(!) = й' (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
