Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 22
Текст из файла (страница 22)
гл, И1, $1, и'3). Напомним следующие факты: йз =() (гл. П1, $2, и'1, предложение 4); алгебра Ли й — прямая сумма пространств 9А (гл. ЧП, $1, и'3, предложения 8 и 9); пространство йА — это множество таких элементов х~ а, что 1й, х) =А(й)х длн всех Ь~ ч (гл. ЧП, $2, и'4, следствие 1 теоремы 2); линейные функции А, на (), такие, что йАФО, называются весами подалгебры Картана () в алгебре Ли й (гл. 711, $1, и'1).
Опнеделение 2. Корнями расщепленной алгебры Ли (й, ()) называются ненулевые веса подалгебры Картона () в алгебре Лй й. Множество корней расщепленной алгебры Ли (9, ()) обозначают через К(й, ()) или просто через )т. При этом й=() йэ .ь й". 96 Гл юп. Рлсп!еплеиные полупРостые ллгееРЫ лп Р ПРедложеиие 1. Пусть а, б — корни расщепленной алгебры Ли (й, «), а (...) — инвариантная симметрическая билинейная форма на пространстве 6 (например, форма Киллинга на 6). (!) Если а+[)ФО, то надпространства й' и йа ортогональны.
Ограничение формы (...) на !!а л, 6-а невырожденно. Ограничение формы (...) на подалгебру Картава «невырожденно. (й) Пусть х ~ й'", у ~ й ' и Ь я «. Тогда [х, у] я «и (Ь, [х, у]) = а (Ь) (х, у). Утверждение (1) является частным случаем предложения 10 (Гй) из гл. И1, $1, и'3. Если х ~ йа, у я,1 ' и Ь ен «, то [х, у]~йа '=«и (Ь, [х, у]) =([Ь, х], у) =(а(Ь)х, у) =а(Ь)(х, у). Теовемл 1.
Пусть а — корень расщепленной алгебры Ли (!1, «). (!) Векторное пространство йа одномерно. (й) Векторное подпространство« =[йа, й а] пространства одномерно. Оно содержит единственный элемент Н„такой, что а(Н,) =2. (1й) Векторное надпространство 6 = «, + 1!а+ й является подалгеброй алгебры Ли й. (1У) Если Ха — ненулевой элемент пространства й, то существует единственный элемент Х аеп а, такой, что [Ха, Х,]= = — На. Пусть ф — линейное отображение алгебры Ли 61(2, Ь) в алгебру Ли а, которое переводит Ха в Ха, Х в Х- и Н в Н; тогда ф — изоморфиэм алгебр Ли 61(2, Ь) и 6,. а) Пусть Ьа — такой элемент подалгебры Картана «, что а(Ь)=(Ь, Ь) для всех Ьев «. Из предложения ! следует, что [х, у]=(х, у)Ьа при всех хенй, уев й-а.
С другой стороны, (йа й а) ФО. Таким образом, «„=[ба й- ] =ЬЬ б) Выберем такие элементы х ев йа, у ен 6 ', что (х, у)=1; тогда [х, у] =Ьа. При этом [Ь„х] =а(Ь,)х, [Ь„у] = — а(ЬР)у. Если а (Ь,) =О, то Ьх+ Ьу+ ЬЬ,— нильпотентная подалгебра ! в алгебре Ли а. Так как Ь е= [1, !], то эндоморфизм аб, Ьа нильпотентен (гл. 1, 5 5, и'3, теорема 1). Но это невозможно, потому что аб, Ь, — ненулевой полупростой эндоморфизм. Следовательно, а(Ь,)ФО. Поэтому существует единственный элемент На е= «„ такой, что а (Н ) = 2, и это завершает доказательство утверждения (й). в) Выберем в пространстве й" ненулевой элемент Ха.
Существует такой элемент Х, ~ й ', что [Х, Х,] = — На (так как, согласно б), [Х, й-'] =«,). Тогда [На) Ха] = а (На) Ха = 2Ха~ [На Х-а] = а(На) Х а = 2Х-а' [Х, Х ]= — Н,. Э К системА корнев Таким образом, подпространство ЬХ„+ йХ, + яН, — подачгебра алгебры Ли !О и линейное отображение ф алгебры Ли ь!(2, Ь) на ЬХ,+/гХ,+ ЬН, для которого ф(Х+) =Х, ф(Х )= =Х „ф(Н)=Н„явчяется изоморфизмом алгебр Ли. г) Предположим, что д!гп2') 1.
Пусть у — ненулевой элемент пространства й '. В пространстве й, существует такой ненулевой элемент Х„что (у, Х,)=О. Выберем элемент Х „ как в пункте в), и рассмотрим представление р: ир-ьад,ф(и) алгебры Ли е! (2, Ь) в пространстве й. Тогда р(Н) у= [ф(Н), у] = [Н, у] = — 2у, р(Х+) у = [р(Х+), у] = [Х„у] =(Х„у) й, =О. Таким образом, у — примитивный относительно представления р вектор веса — 2, что противоречит предложению 2 из $ 1, и'2. Следовательно, утверждение (!) доказано. д) Утверждение (ш) следует теперь из в).
С другой стороны, если Մ— ненулевой элемент пространства й', то, поскольку б(гп й '= 1, эчемент Х „построенный в пункте в),— единственный элемент из пространства й-', такой, что [Х„Х,] = — Н,. Последнее утверждение в (!ч) следует из пункта в). Ч.
Т. Д. В дальнейшем мы сохраним обозначения 6„, Н, и 6„. (Чтобы определить элементы Ь„надо в качестве формы (, .) взять форму Киллинга.) Пусть Մ— ненулевой элемент пространства й". Тогда изоморфизм ф из теоремы 1 и представление и аб,ф(и) алгебры Ли 61(2, й) в алгебре Ли й будут называться ассоциированными с Х . Следствие. Пусть Ф вЂ” форма Киллинга на алгебре Ли й. Тогда при любых а, Ь е— : Ь имеет место равенство Ф (а, Ь) = ~„ у (а) у (Ь). чыя Действительно, эндоморфизм ада,адЬ переводит каждое корневое пространство йч в себя, и его ограничение на йт— гомотетия с коэффициентом у(а) у(Ь); если у ~ О, то д!пч йч= 1. Предложение 2.
Пусть и, рен а — корни. Тогда (!) б(Н.) =г; (й) если Ф вЂ” форма Киллинга на й, то Ф(Н„Н ) ен Е. Пусть Х,— ненулевой элемент пространства й, а р — представление алгебры Ли з!(2,Й) в алгебре ЛИ й, ассоциированное с Х,. Собственными значениями эндоморфизмов р(Н) будут О и р(Н,), где р ~ тс. Итак, утверждение (1) вытекает из 4 Г рва~и зв гл, у!п. РАсщепле1И1ые полупРостые АлгеБРЫ лил а следствия предложения 2 з 1, и'2. Утверждение (И) следует из утверждения (1) и следствия теоремы 1. Ч. Т. Д.
Пусть а ~ й, Մ— ненулевой элемент пространства Х, — такой элемент пространства й ", что 1Х„, Х „) = — Н„ и р — представление алгебры Ли ь( (2, й) в алгебре Ли й, ассоциированное с Х,. Пусть и — согласованное с р представление группы Ли $1.(2, й) в алгебре Ли й (э 1, п'4, теорема 2). Так как эндоморфизм а13 Х, нильпотентен (гл. у'П, $1, п'3, предложение 10 (1ч)), то эндоморфизм и (е~э) = е'гха является элементарным автоморфизмом алгебры Ли й, Следовательно, п(51. (2, й)) ч АЕ!а(й). Будем использовать обозначение О(!) из $1, и'5. Положим для всех 1ен й* (1) и (0(1)) аг1«а аг1 'х а аг1ха (1) Лемма 1.
(!) Оа(1).Ь=Ь вЂ” а(Ь) Н„для любого Ь ее (!. (И) 0 (1)(й )=й а( а)" для всех ~~)с. (1И) Если а, 13еи !с — корни, то (3 — 13(Н„) аен)с. Пусть Ь ~ (). Если а(Ь) =О, то (Х„, Ь) =-!Х „Ь) =0 и, сле. довательно, 0„(1).Ь=Ь. С другой стороны, формулы (5) из $1, и'5, показывают, что 0,(1). Н,= — Н,. Это доказывает утвер- ждение (!). Отсюда следует, что 0„(1)'!(3=10, Если х~йа и Ья$, то [Ь Оа(!)х) =Оа(!) (Оа(!)Ь, х) =(3(оа(Г)Ь) Оа(Г)х= ф (Ь) — а (Ь) !3 (Н„)) . О„(1) х = (Р 13 (На) а) (Ь) . Оа (!) «~ следовательно, 0,(г)х~ й а( а)'.
Это доказывает утвержде- ние (И). Утверждение (И!) следует из (И), Теовема 2. (1) Множество )1=)с(й, ()) является приведенной системой корней в пространстве () . (И) Пусть а ~ )1 — корень. Отображение з,, н , 'Л 1-а )а— — Ь(Н,) а пространства ()' в себя — однозначно определенное отражение з пространства ()*, для которого з (а) = — а и з(Й)=т(. Для любого ! Ен й' отображение з является сопряженным к ото- бражению 0,(1) !(1. Во-первых, множество Я порождает пространство ()', так как, если существует такой элемент Ьее(3, что а(Ь)=0 для всех а~)(', то ад Ь=О; отсюда следует, что й=О, поскольку центр алгебры Ли ! равен нулю. По определению 0 Ф)1. Пусть а ~ 1«.
Так как а(Н„) =2, то з =а,, н — отражение и з(а) = = — а. По лемме 1 (И!) имеем з()1) = 1( и р(1!,) ы Х для всех г 5 а системА котиеи 99 бен)с (предложение 2 (1)). Следовательно, множество )с является системой корней в пространстве ()*. Для всех Ьен)) и всех Ь ен ()* выполняются равенства (з (Х), Ь) = (Ь вЂ” Ь (Н„) а, Ь) = =(Л, Ь вЂ” а(Ь) Н„) =(Х, 0„(() Ь).
Значит, преобразование э сопряжено с О,((),'(). Покажем, наконец, что )с — приведенная система корней. Пусть а ~ Я и йен ф". Так как ЗаФ (т (гл. У!, 9 1, п'3, предложение 8), то [Х„, у[=О; с другой стороны, [Х „и[~ 0 +з' =й'=ЬХ, и, следовательно, [Х„[Х „, у)[=О. Таким образом, 4у = 2а (Н,) р = [Н„, д! = — [[Х„, Х,], р[ = О, откуда у =О и, следовательно, й'"=О.
Иначе говоря, 2а — не корень. Ч. Т. Д, В дальнейшем мы канонически отождествляем пространства () и 9"". Ввиду теоремы 2 (й) получаем, что (используя обозначения гл. 1т1, $1, и'1) Н„= а для всех а «и )с. (2) Элементы Н, составляют, таким образом, систему корней )с~ в пространстве (), дуальную к )т'. Мы будем говорить, что й(11, ()) — система корней расщепленной алгебры Ли (й, ()).
Отражения з,, и будем обозначать просто через э„. Группу Вейля, группу весов, числа Кокстера ... системы корней (с (й, ()) будем называть группой Вейля, группой весов, числами Кокстера ... расщепленной алгебры Ли (й, ()). В соответствии с гл. Ч1, 5 1, п'1, будем рассматривать действие группы Вейля не только на пространстве ()', но и иа пространстве 6, где оно определяется формулой з,=й,(~) [5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
