Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 21
Текст из файла (страница 21)
111, дополнение). Для целых чисел т, и, таких, что О(п(т, положим ГЛ, УПЕ РАСШЕПЛЕПНЫГ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН ПРедложение 3. При любых гп~)0 (г(т) — абсолютно простой ь!(2, й)-модуль. В этом модуле егь >=и является примитивным элементом веса т. Р!меем Х+и"=0 и Ни =ти; следовательно, и — при мнтнвный элемент веса т. Подмодуль модуля (г(т), порожденный элементом и", имеет размерность гп+1 (предложение 2(!)) и, значит, совпадает с (г(т), Из предложения 2 (У) вытекает, что модуль !г(гп) абсолютно прост.
Теоэема 1, Каждьш" простой 61(2, й)-модуль конечной разлгерности и изоморфен модулю )г(п — 1). Каждый конечномерный а!(2, й)-модуль является прямой суммой подмодулей, изоморфных модулям !г(гп), Эта теорема следует из леммы 4 и предложений 1, 2, 3. Замечания. 1) Присоединенное представление алгебры Ли Ь!(2, й) определяет на ней структуру простого ь!(2, й)-модуля.
Этот модуль изоморфен (г(2); соответствующий изоморфизм переводит иэ в Х+, 2ио в — Н, о' в Х 2) Для и -":0 и т)п имеем Х е~„> = — (т — и) ( 1и -"-'о" +' = — (и+ 1) е~„)п ~п/ Следовательно, (е' г, е', ', ..., е<'"1) — базис модуля у(т), ассоциированного с примитивным элементом е~ь"', 3) Пусть Ф вЂ” такая билинейная форма на )г(т), что Ф(е'„'"1, е„'",>) = О, если и+ и' ~ т, Если х=аи+ оо и у=си+ йо, то Ф(х, у ) =(аа — Ьс)'".
Легко проверить, что форма Ф инвариантна, симметрична при четных и знакопеременна при нечетных т. ПРедложение 4. Пусть Š— конечномерный ь!(2, й)-модуль, т — целое число, большее или равное нулю, Р— множество примитивных элементов веса т. Пусть Ь вЂ” векторное пространство гомоморфизмов из ь! (2, я)-модуля (Г(т) в Е! (2, я)-модуль Е.
Отображение ) Р)(и ) пространства Ь в Е линейно, инзективно и его образом является Рм 1) (О). 4 ь ), ллгевгх ли ь) и, ь) и вв пэвдстьвлвния 9! Очевидно, что это отображение линейно. Оно также инъективно, поскольку элемент и порождает 6!(2, й)-модуль У(т). Если ! ы ь'., то Х+ () (и )) = ! (Х+и ) = О, Н (! (и )) = ( (Нй) = т) (и ), следовательно, 1(и ) еи Р 0 (0). Пусть е я Р н У вЂ” подмодуль модуля Е, порожденный элементом е. В силу предложения 1 сугаествует изоморфизм модуля У(т) на модуль У, который переводит и в е. Итак, Ь(и )=Р„()(0). Следствия. Длина изогипной компоненты типа У (т) модуля Е равна бпп (Р () (0)).
4. Линейные представления группы 8.(2, й) Напомним (А!д., с))ар. 111, $8, и'9), что символом Я. (2, й) обозначается группа квадратных матриц порядка 2 с коэффициентами в поле й и определителем, равным 1. Если элемент х ~))1(2, й) нильпотентен, то хт = О (А1д„с))ар. Н1, 9 5, саго!!а!ге 3 бе 1а ргорозрбоп 5) и е'= 1 + хан 8Ь(2, й). Если Š— конечномерное векторное пространство и р — линейное представление алгебры Ли ))!(2, й) в пространстве Е, то эндоморфизм р(х) ннльпотентен, и, следовательно, определен эндоморфнзм еь)*' (гл.
1, 9 6, и'3). Опэвдвлвнин 2. Пусть Š— конечномерное векторное пространство и р (соогв. и) — линейное представление алгебры Ли !)! (2, й) (соотв, группы Ли 8Ь (2, й)) в пространстве Е, Скажем, что представления р и и согласованы, если длч калсдого нильпогентного элемента х алгебры Ли 91(2, й) выполняется равенство и (~х) ер )л) Иначе говоря, представления р и и согласованы, если для любого нильпогентного элемента х из ь!(2, й) ограничение представления р на подалгебру Ли йх согласовано с ограничением представления и на группу 1+ йх (гл.
Ъ'11, $ 3, п' !). Если представления р и и согласованы, то дуальные представления, т-е тензорные и т-е симметрические степени представлений р и и тоже согласованы (гл. ЧП, 9 5, п'4, леммы 1(!) и (й)). Согласованными являются также представления, индуцированные представлениями р и и на векторном подпространстве, устойчивом относительно представлений р и и (там же). В частности, представление р„алгебры Лн ь!(2, й) в пространстве У(т) (и'3) согласовано с т-й симметрической степенью п„тождественного представления и, группы 8Ь(2, й). 99 Гл.
Рпь РАсщепленные полэпРОстыв АлГББРы лн Как и выше, полагая е< ~= и "о", получим, что л ~ит и (е) е<'"> = (эи) (эо)" (3) для е я Я. (2, й) и О (и ( пт. ТеОРемА 2. Пусть р — линейное представление алгебры Ли 6!(2, я) в конечномерном векторном пространстве Е. (1) Существует единственное линейное представление и группы 3Ь(2, й) в пространстве Е, согласованное с представлением р. (И) Для того чтобы надпространство Р пространства Е было устойчивым относительно представления и, необходимо и достаточно, чтобы оно было устойчивым относительно представления р. (И!) Пусть х ен Е.
Равенство и (э) х = х выполняется для любого элемента зев 3Ь(2, й) тогда и только тогда, когда элемент х инвариантен относительно представления р (т. е. р (а) х = О длл всех аен61(2, й)). Сушествованне представления и следует из предыдушего и из теойемы 1. С другой стороны, известно, что группа Ли $Ь (2, я) порождается элементами вида е+=, е где ! Би й (А!й., сйар. П1, 5 8, п'9, ргорозИ!Оп !7). Это доказывает единственность представления и. Утверждения (И) и (!И) следуют из сказанного и леммы 1(!) гл.
Ч11, $3, п'1. Ч. Т. Д. Каждый конечномерный 61 (2, й)-модуль снабжен также канонической структурой 8Ь(2, я)-модуля, которая называется ассоциированной со структурой 61(2, й)-модуля. Замечание, Когда поле й есть К, С или ультраметрическое полное недискретное поле, алгебра Ли 61(2, й) является алгеброй Ли группы Ли Я. (2, й). Пусть р и и такие же, как в теореме 2. Гомоморфнзм и является гомоморфнзмом группы Ли Я (2, й) в группу Ли ОЬ (Е); это очевидно, когда Е = !т(гп); ввиду теоремы 1 отсюда следует и обший случай.
Ввиду гл. ЧП, $3, п'1, имеем р(ХР)=Ь(п)(ХР), р(Х )=Ь(п)(Х ), Таким образом, р = Е (и) (обратное утверждение см. в упражнении 18). ПРеДлОжение 5. Пусть Е, Р— конечномерные 6! (2, я)-модули и !'Би Ногае(Е, Р). Тогда следующие условия эквивалентны; (!) ! — гомоморфизм 6! (2, й)-модулеи. (И) !' — гомоморфизм Я. (2, я)-модулей. а 4 ь Алгевпл ли м (2, Ф) и ее првдстлвлгния 9З Условие (!) означает, что ! — инвариантный элемент 91(2, й)- модуля Ноги„(Е, Р), а условие (0) означает, что !' — инвариантный элемент Я!.
(2, й)-модуля Ногль(Е, Р). Так как вследствие леммы 1 (ш) из гл. Ч11, э 5, и'4, структуры этих модулей согласованы, то предложение вытекает из теоремы 2 (ш). Опрвдилаиив 3. Присоединенным представлением группы 51. (2, й) называется линейное представление Аб группы Б!. (2, й) в пространстве е! (2, й), определенное равенством Аб (з).
а =заз-' для всех а ен е! (2, !г) и всех з ен Я. (2, й). Когда поле Гг есть и, С или ультраметрическое полное педнскрет. ное поле, мм получаем определение 7 иа гл. И1, з 3, п'12 (см. тол лее, предложение 49). Из леммы 1 (!) и (ш) гл. ЧН, 0 5, п'4, следует, что присоединенные представления 4! (2, й) и 31. (2, й) согласованы. Из замечания 2 гл. Ч!1, $ 3, п'4, следует, что Аб (Я.
(2, й)) = =Ап(,(г!(2, й)). 5. Некоторые элементы из группы $! (2, й) Для произвольного ! ~ й' положим О (1) = е +е -е + = 01 — 1~101 — 10 г-'х гх г-'х =е -е +е В обозначениях п'3 получим, что О (!) и = — Г'в, 0 (!) о = !и, следовательно, 0(!)е,' '=( — 1) "(т" "е'"'„. (4) à — 1 ОХ Таким образом, элемент О(!)т=~ ) действует на )7(пт) — 0 1) как оператор умножения на ( — 1) .
Если Š— простой 61(2, й)- модуль нечетной размерности, то эндоморфизм 0(!)г является инволютивным автоморфизмом векторного пространства Е. В частности, взяв в качестве Е пространство присоединенного представления, мы получим, что 0(!)аХ+ =! Х, О(!)в Х-=! Х+, О(!)е!.1 = — Н. (5) 94 ГЛ Ч[!1 РАСШЕПЛЕННЫЕ ПОЛУ[[РОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ! Таким образом, эндоморфизм 6(1)в=9( — 1)е является канонической инвол[опией в алгебре Ли ь!(2, Ь). Для любого элемента ! ее Ь' положим Тогда Ь(!)и=(и, Ь(!) о=! о и, следовательно, Ь (!) (Ря т-"л [ч[! (6) ПРедложение 6. Пусть Š— конечнол[ерный [:! (2, Ь)-модуль и ! Би Ь". Пусть ЕР— множество элементов модуля Е веса р.
(1) 6 (!)е ! Е,— биективное отображение пространства ЕР на Е р. (И) Отображение Ь (!)е ! Ер действует на Ер как гомотетия с коэффициентом !Р. Если Е= У(п), то это предложение следует из формул (4) и (6). Общий случай получается отсюда благодаря теореме 1. Следствие. Пусть Е =Е'ВЕР— разложение пространства Е, [т — 1 О'[ определенное в предложении 2.
Элемент ( ) из группь! 6Ь(2, Ь) действует на пространстве Е' как оператор умножения на +1, а на пространстве Е" — как оператор умножения на — 1, Это следует из утверждения (!!), примененного в случае [ = — 1. 5 2. Система корней расщепленной полупростой алгебры Ли 1. Расщепленные волувростые алгебры Ли Опгеделение 1. Пусть 6 — полупростая алгебра Ли. Подалгебра Картона (! алгебры Ли 6 называется расщепляющей, если для всех х~ !) оператор а[!!х приводится к треугольному виду, Говорят, что полупростая алгебра Ли расщепляема, если она содержит расщепляющую подалгебру Картона.
Полупростой расщепленной алгеброй Ли называется пара (6, !)), где 6 — полу- простая алгебра Ли, а (! — ее расщепляющая подалгебра Картона. Замечания. 1) Пусть 6 — полупростая алгебра Ли, (! — ее подалгебра Картана. Для всех хен $ эндоморфизм аб,х полу- прост (гл. И1, $2, п'4, теорема 2). Поэтому утверждение о том, что 6 — расщепляющая подалгебра, равносильно утверждению о диагоналнзуемости эндоморфизма аб, х для всех хен(). 2) Если поле Ь алгебраически замкнуто, то каждая полу- простая алгебра Ли расщепляема и каждая ее подалгебра г Ф 2, системА когиен 95 Картана расщепляющая.
Когда поле й не является алгебраически замкнутым, то существуют нерасщепляемые полупростые алгебры Ли (упражнение 2а)), более того, в расщепляемой алгебре Ли й могут быть подалгебры Картана, не являющиеся расщепляющими (упражнение 2 6)). 3) Пусть й — полупростая алгебра Ли, () — ее подалгебра Картана, р — такое конечномерное точное представление алгебры Ли й, что эндоморфизмы из р(()) приводятся к диагональному виду.
Тогда для любого хеи() эндоморфизм аб,х приводится к диагональному виду (гл. И1, $ 2, и'1, пример 2), и, следовательно, () — расщепляющая подалгебра. 4) Мы увидим ($3, и'3, следствие предложения 10), что если й и 1)' — расщепляющие подалгебры Картана алгебры Ли й, то существует элементарный автоморфизм алгебры Ли й, переводящий 5 в 8'. 5) Пусть й — редуктивная алгебра Ли. Тогда 8=с Х6, где с — центр алгебры Ли ((, а В=У(( — полупростая алгебра Ли. Подалгебры Картана алгебры й имеют вид (1 = с р,' у', где ()' — подалгебра Картана алгебры Ли Ь (гл.
Н1, 5 2, и'1, предложение 2). Говорят, что подалгебра Картана () расщепляющая, если ()' — расщепляющая подалгебра Картана в б. Отсюда очевидным образом выводится определение расщепляемых и расщепленных редуктпвных алгебр. 2. Корни расщепленной полупростой алгебры Лн В этом пункте (й, ()) означает расщепленную полупростую алгебру Ли. Для любого элемента А еи ()' обозначим через йк(5) или просто через йк примарное подпространство пространства й веса А (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
