Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 24
Текст из файла (страница 24)
расщепленные полрпростые клгевры лп 4 Лемма 4. Г!усть а, 5 ен Р— такие корни, что а+ () ен !т. Пусть р (соотв. о) — наибольшее целое число 1, такое, что 6+ + уа ее Й (соотв. !! — То ен)с). Тогда )(!а, В'1-а, а+В Р (ч + 1) (3) >У вЂ” а. а+В(НВ, НВ) = Ж-а -В (На+В Нааз), (4) У )У (ц! 1)г (5) Пусть р — представление алгебры Ли В!(2, (г) в пространстве й, ассоциированное с элементом Ха. Элемент е=Х„, „ является примитивным элементом веса р+ д(предложение 4 (!)). Положим е„= —,р(Х ) е при и)0.
( — 1!" а! откуда >у-а,а+В(ХВ, Х вЂ” В) = л! а В(Ха+В Х вЂ” а — В). что ввиду леммы 3 доказывает формулу (4). Ограничение формы (...) на 1> невырожденнои инвариантно относительно группы Вейля (предложение 5). Отождествим пространства (> и (>* с помощью этого ограничения. Если у ен )г, то элемент Нт отождествляется с элементом 2у>(у, у) (гл. Ч1, з 1, и' 1, лемма 2); следовательно, каковы бы ни были корни у, бее!с, <у, у> <нм нь> (6) <а,а> <н„,н >' Таким образом, в силу предложения 10 (гл. Ч1, $ 1, п' 3) получаем (7) (а+ р, а+(>> д+1 (р р> р Следовательно, из формул (3), (4), (6), (7) вытекает, что <НВ, НВ> а В -" -В а В а а+В (!<а~!а, >тара> ч+ ! )Уа, фУ-а.а+В (и+ 1) ° Из предложения 1 з 1 получаем (ад Ха)ер — — (д+ 1) ер „ (ад Х,) (ад Х,) ер — — — р (о + 1) ер.
Это доказывает формулу (3), потому что ер — ненулевой элемент пространства йа. В силу инварнантности формы (...) справедливо равенство ($Х-а1 Хааа! Х вЂ” В) = — (Хара, (Х-а Х В!), $ а. подАлгеБРы РАсщепленных полупРостых АлгеБР лн 1об Определение 3. Системой Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, ()) называется такое семейство (Ха), что (1) Х,ен й' для всех корней а~В (П) [Х, Х в] = — Н, для всех корней аен)т; (1П) линейное отображение из й в й, которое равно — 1 на $ и переводит Хо е Х для всех корней аевТХ', является автоморфизмом алгебры Ли й. Это определение немедленно распространяется на случай, когда (й, Ч) — редуктивная распгеплениая алгебра Ли.
Мы увидим (в 4, и' 4, следствие предложения 5), что системы Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, ()) существуют. Предложение 7. Пусть (Х„), л — система Шееалле расщепленной алгебры Ли (й, 'ч). Сохраним обозначения леммы 4. Тогда й! е, В= 3!о, р и )т'и, а = ~ (д+ 1) длл а, Р, а+ Р ен Д.
Пусть у — автоморфизм алгебры Ли й, рассмотренный в определении 3 (ш). Имеем а -рХ о р= [Х-а Х р] = [ф(Хо), ф (Ха)] = = Ч) ([Ха Хр] ) = ~Р (й!а, ВХа+р) = Ага, рХ-о-р~ откуда получаем, что йг е = йг . Вследствие формул (5) У а + (у+ 1) Предложение 8, Пусть (Х ), и — система Шевалле расщепленной алгебры Ли (», й). Пусть М есть Х-подмодуль е (), содержащий элементы На и содержащийся в группе весов системы Рч. Пусть й — это Х-подмодуль в й, порожденный модулем М и элементами Х,. Тогда йх является Х-подалгеброй алгебры Ли й и каноническое отображение йх Э й в й будет изоморфизмом. Если и, реиП вЂ” такие корни, что а+йяР, то )и',, ееХ (предложение 7). С другой стороны, если аы)А' и йеиМ, то а(й) ~ Х (гл.
Ч1, $1, и' 9). Это доказывает, что й есть Х-подалгебра Ли алгебры Ли». Но М вЂ” свободная коммутатнвная группа ранга, равного 41пт5 (Алг., гл. ЧП, $ 3, теорема 1); следовательно, й — свободная коммутативная группа ранга й(пт й. Отсюда вытекает последнее утверждение. 3 3. Подалгебры расщепленных полупростых алгебр Ли В этом параграфе через (й, ()) обозначается полупростая расщепленная алгебра Ли, а через 1т — ее система корней. ГЛ. УН1. РАСШЕПЛИП!ЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ !ое 1.
Подалгебры, устойчивые относительно ай !) Лемма 1. Пусть у' — векторное подпространство в й и Р()т)— множество такик корней а ен Я, что йа с )т. Наибольшим векторныл! подпространством пространства )т, устойчивым относительно множества эндоморфизмов ай !>, будет подпространство (уП())+ Х йа. а~я!У! Векторное подпрострапство К пространства )т тогда и только тогда устойчиво относительно множества эндоморфизмов ай !), когда его можно представить в виде (р'=((р'и())+ Х (!р ПО') йР— ~ йа а~Р а а-Р Если Р с: Р и Я с Я вЂ” два подмножества, то, очевидно, ((), й'] 1йе йо] й(Р+й!пл ( ь е (1) (2) Напомним (гл. Ч1, $ 1, и' 7, определение 4), что подмножество Р системы корней Р называется замкнуть!м, если из условий а ен Р, р ен Р, а + (! ен т! следует, что а + (1 е Р, иначе говоря, если (Р + Р) П Я с: Р. Лемма 2. Пусть ()' — векторное подпространство пространства () и Р— под.иножество системы корней Р. Пространство ()'+ йе является подалгеброй алгебры Ли й тогда и только тогда, когда Р— замкнутое подмножество системы корней Р, причем () -з !)РЕ1-Р! Действительно, (!)'+ й', 1)'+ й') = !()', й']+ Ь', й') = ()Рг!(-Р! + ( ~ ~ й ) + '1 (Алг., гл.
Ъ'11, 5 2, и' 2, следствие 1 теоремы 1). Следовательно, наибольшим подпространством векторного пространства )т, устойчивым относительно эндоморфизмов ао )), является пространство ()т П (!)+ ~ ((т П йа). Таким образом, ()!вайа) = йа а~я для корней аентА'() ), и ()РПйа)=0, если аФЯ()т), так как д!шй = 1. Для любого подмножества Р системы корней тт положим $ ь подхлгввгы Рхсгаяплвнных полупэостых ьлГЕБР ли !от Следовательно, пространство (!'+ !е является алгебры Ли,! тогда и только тогда, когда и 1!!~+~ганс цэ, подалгеброй что доказывает лемму.
Утверждение '(!) сразу же следует из лемм 1 и 2. Пусть Р, (~, ()', (!" такие же, как в утверждении (й). Тогда (()' ! )э, (!" +я — () +(ф' йо) ! (!)- ф') ! 1!ь+енпя Следовательно, пространство ()" + ае будет идеалом в алгебре Ли (!'+ аэ в том и только том случае, когда ((,«д'! ~ йо, й!г+е)пя ~ йо Отсюда вытекает утверждение (й). Пгвдложянив 2. Пусть а — подалгебра алгебры Ли й, устойчивая относительно эндоморфизмов аб !), и пусть (!' с:. К Р с: Я таковы, что а = !)' + !!э. (1) Пусть 1 — множество таких элементов хеп(), что а(х) =О для всех а ~ Р Д ( — Р). Радикалом алгебры Ли а является алгебра 7и 1+ (!о, где ьг — множество таких корней аеп Р, что — а ЯР. При этом пространство йа — нильпотентный идеал алгебры Ли а.
(й) Лля того чтобы алгебра Ли а была полупростой, необходимо и достаточно, чтобы Р = — Р и ()' = ()р. (ш) Для того чтобы алгебра Ли а была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы Р () ( — Р) = Я. Если это так, то (а, а)=8э, где 5 = ((Р + Р) П Р) ь) (а ен Р ! а (()') ч~ 0).
(1ч) Лля того чтобы алгебра Ли а была редуктивной подалгеброй в алгебре Ли 1, необходимо и достаточно, чтобьь Р = — Р. Пггдложепие 1, (!) Подалгебры алгебры Ли (), устойчивые относительно энда.норгйизмов аб 6, — это векторные подпространства вида 9'+ !!э, где Р— замкнутое подмножество системы корней Р и (!' — векторное надпространство пространства (), содержащее !)рп, рт (й) Пусть (!' и (!" — векторные подпространства пространства (!, а Р, Я вЂ” замкнутые подмножества системы корней Р, такие, что !!':э()рп< рт ()" ~(!' и (гс: Р.
Лля того чтобы надпространство (!" + йа было идеалом в алгебре Ли ()'+ йэ, необходимо и достаточно, чтобы (Р+ Я) (! Я с —.. Я и (!рг! „с:. ()ь ~ ! ! Кег а. э.ьво 1ОВ ГЛ. ЧП! РАС!ЦЕПЛЕИНЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН ! (ч) Длл того чтобы алгебра Ли а состояла из нильпотентных элементов, необходимо и достаточно, чтобы (!' = О. Тогда Р() ( — Р) = Я и алгебра а нильпотгнгна. Докажем утверждение (ч). Если алгебра а состоит из нильпотентных элементов, то очевидно, что она нильпотентна и !)'=О, так как элементы подалгебры (! полупросты. Предположим, что(!'=О.
Из предложения! (!) вытекает, что Р Д( — Р) = Я. По предложению 22 из гл. ч'1, $ 1, и' 7, существует такая камера С системы корней 11, что Р с: 11+ (С). Следовательно, существует такое целое число п> О, что если аь ..., а„епр и й~ 11() (О), то а, + ...
+ а„ + б Ф 11 ()(О). Отсюда вытекает, что все элементы алгебры Ли !)Р нильпотентны, а это и доказывает утверждение (ч). Докажем утверждение (1!!). Если Р П ( — Р) = Я, то йг — подалгебра алгебры Лн й (предложение 1(!)); эта алгебра нильпотентна вследствие условия (ч). Таким образом (а, а)=(()', йп)+Ы', йв) =(()', Ф')+й!Р+Р!и' =й', следовательно, алгебра а разрешима и коммутант (а, а) равен )з. Если Р()( — Р) Ф Я, то существует такой корень а ~ Р, что — а ~ Р. Тогда (), + й" + й-" — простая подалгебра алгебры Лн а, и, следовательно, алгебра Ли а не является разрешимой.
Докажем утверждение (!). Так как Р— замкнутое множество, то (Р+$()11 сР. Если асар, ~яЯ и а+реп!1, то корень а+р не принадлежит множеству — Р, поскольку из замкнутости Р следует, что — б= — (а+ О)+ а сп Р, тогда как бя Я. Таким образом, (Р + 1;!) () !1 с Я. Это доказывает, что пространство йо является идеалом в алгебре Ли а, и в силу утверждения (ч) этот идеал нильпотентен. Мы получили, что РП( Я)= Я и РП( — Р)=Р()С!г, следовательно, ()рп< о>с: с: 1 с: П Кег а, В силу предложения 1 (й) пространство а ~ Р.
выл 1+ йа является идеалом в алгебре Ли а. Так как ЯП( — (;!) = 3, то этот идеал разрешим ввиду утверждения (!В). Следовательно, он содержится в радикале т алгебры Ли а. Так как радикал т устойчив относительно всех дифференцирований алгебры Ли а, то т устойчив относительно эндоморфизмов из аб !). Тогда существует такое подмножество 5 множества Р, что =(т() (!)+ йв. Предположим, что а~5 и что — аен Р. Тогда !)„= 1й', й '] с: т, следовательно, й-"= !р„) ") с:т и, таким образом, — иена.
Ввиду утверждения (!!!) это противоречит тому, что алгебра Ли т разрешима. Поэтому Яс:Я. Наконец, если хек!()(! и если аенРП( — Р), то [х, йч) с:й" ()!=О, а $ а подалгввры Рлсшгплвнных полулростых ллгевр ли !б« значит, а(х) =О, что дает включение х~ 1. Таким образом, т с:1+ йо, и утверждение (!) доказано. Докажем утверждение (!ч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
