Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть Ь вЂ” подалгебра Бореля алгебры Ли й. Тогда Ь' = Ь ййь й'— подалгебра Бореля алгебры Лн й', а следовательно, алгебра Ли а'ПЬ' содержит подалгебру Картана алгебры Ли й' (предложение 10). Пусть Ф вЂ” подалгебра Картана в ж () Ь. Тогда 18, й' — подалгебра Картана в ж'ПЬ', а значит, и в а' (гл. Аг11, $3, п'3, предложение 3). Поэтому 1 — подалгебра Картана алгебры Ли й, причем это расщепляющая подалгебра Картана, так как она содержится в Ь. Опведеленив 3. Пусть а — полупростая (или, более общо, редуктивная) алгебра Ли и й — алгебраическое замыкание поля я.
Подалгебра 1н алгебры Ли а называется параболической (соотв. подалгеброй Бореля), если ж Эьй — параболическая подалгебра (соотв. подалгебра Бореля) в алгебре Ли а ®Ай. Если а — расщепляемая алгебра Ли, то предложение 14 показывает, что это определение эквивалентно определению 2 (соотв. определению 1). Пведложение 15. Пусть а — редуктивная алгебра Ли, й' — рас. ширение поля й и а1 — подалгебра алгебры Ли а, Для того чтобы алгебра Ли ж была параболической подалгеброй (соотв.
11В ГЛ. УП1. РАСИ1ЕПЛИННЫР ПОЛУПРОСТЫВ ЧЛГРЗРЫ ЛИ 1 подалгеорой Боре,1я) в а, необходимо и достаточно, чтобы алгебра 7и и1 ЗА й' была параболической подалгеброй (соотв. подалгеброй Бореля) в а йэь й'. Это предложение непосредственно следует из предложения 14. г. Размеченные полупростые алгебры Ли ПРздложение 1. Пусть (й, ()) — полупростая расщепленная алгебра Ли, )т — ее система корней,  — базис системы В и (и (а, 3))„з э — соответствующая этому базису матрица Картана. Пусть Х„я й', Х-,я й " для любого ае=-В. Тогда для любых элементов а, [) ги В имеют место равенства =О = (6,)Х,, = — п([1, а) Х =О, ес и аФй, =О, если аФй, =О, если а чей.
Семейство (11,)„э является базисом подалгебры (1. Если Х„чиО и Х,~ О при всех а ~ В, то алгебра Ли й порождается множеством всех элементов Х„и Х „(аеи В). (Отметим, что если а, [1еи В и ачь [1, то п(3, а) будет'целым числом ~(О, поэтому формулы (5) и (6) имеют смысл.) Формулы (1), (2) и (3) очевидны. Если а-,~:3, то элемент р — а не является корнем, так как все корни представляются как линейные комбинации элементов из В с целыми коэффициентами одного знака (гл. И, 3 1, п'6, теорема 3). Это доказывает формулу (4).
Вследствие предложения 9 из гл. Ч1, $1, п'3, мы также получаем, что а-серия, определенная элементом 6, имеет вид (3, 3+ а, ..., 3 — п(3, а) а). Поэтому 3+(1 — п(6, а))азы И, что доказывает формулу (5). Равенство (6) получается аналогичным образом. Семейство (Н„), э является базисом для Я~, а следовательно, и для (). Если Х„ Ф О и Х , ~ О для всех ан= В, то [Х„, Х „] = ),Н„ $4. Расщепленные полупростые алгебры Ли, определяемые приведенной системой корней [Н„Н„] [11а Ха] [Н„,Х „] [х „,х] (абх.)- 1' ~Х', (айХ „)' """Х, (1) (2) (3) (4) (5) (6) г $ е Рьсшепленные полупРостые АлгевРы ли !!9 и !г,ФО.
Таким образом, последнее утверждение следует из предложения 9(111), 5 3, п'3. Опееделение 1, Пусть (41, (г) — полупростая расщепленная алгебра Ли, а  — ее система корней. Мьг будем называть разметкой расщепленной алгебры Ли (41, 5) пару (В, (Х„), в), где  — базис системы корней Я, а Х, — ненулевой элемент пространства й" при калсдом а ее В. Набор (41„11, В, (Х )„в), где (й, 11) — расщепленная полупростая алгебра Ли, а (В, (Х ) в)— разметка алгебры Ли (г), ()), называется разлгеченной полупростой' алгеброй Ли, Разметкой алгебры Ли й называют разметку расщепленной алгебры Ли (й, (!), где 1! — некоторая расщепляющая подалгебра Картина в й.
Пусть аг — — (г!ь ()4, В4, (Х,), в) и аг=(йгь 1[„Вг (Ха)п~в,) — две размеченные полупростые алгебры Ли. Изоморфизмом алгебры Ли а, на алгебру Лн аг называется изоморфизм 4р алгебры Ли йг на алгебру Ли й,, который переводит подалгебру (!г 4 2 в подалгебру 6„ базис В! в В, и элементы Х, в Х4„ для всех а ен В, (где 4[4 — отображение, контрагредиентное к отображению цг(()г). Если эти условия выполняются, то говорят также, что отображение р переводит разметку (Вь (Х,)„в ) в разметку (в,, (хй)„,,). Если (В, (Х,)„в) — разметка расщепленной алгебры Ли (г), (!), то для каждого элемента аен В однозначно определен элемент Х „из подпространства й-", для которого [Х„, Х „) = — Н„ (2 2, п'2, теорема 1(1У)), Семейство элементов (Х„), вщ в, мы будем называть системой образующих, оггределенной данной разметкой (ср.
предложение 1). Эта же система образующих определяется разметкой ( — В, (Х„)„в). Пусть для каждого корня а~В()( — В) задан такой элемент г,як*, что 1„2,=1 при всех а~ В. Тогда семейство (1,Х„)„вв„г „, будет системой образующих, определенной разметкой (В, (1,Хь)„в), 2. Предварительная конструкция В этом и следующем пунктах мы будем обозначать через 14 приведенную систему корней в векторном пространстве )г, а через  — некоторый базис системы К. Обозначим через (п(а, Р))„з в матрнну 1г,артана относительно базиса В, Нацомннм, что п(а, 3) =-(а, ~3ч), Мы докажем, что система В 120 ГЛ УП!. РАСШЕПЛЕПИЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ а является системой корней некоторой однозначно определенной расщепленной полупростой алгебры Ли; мы увидим, что такой алгеброй будет алгебра Ли, определенная соотношениями предложения 1. Конструкция этого пункта может быть применена к любой квадратной матрице (я (а.())) а в над й, определитель которой не равен нулю и для которой и (а, а) 2 при всех а ~ В (см.
гл. Ч1, з 1, и' 1О, формула (14)). Пусть Š— свободная ассоциативная алгебра иад множеством В над полем (с. Напомним, что Š— градуированная алГЕбра тИПа Р) (А(сг, С)!ар. П!, 5 3, П'1, ЕХЕГС1СЕ 3). ДЛя КаждОГО а ея В мы построим эндоморфизмы Хп „Но, Хо векторного пространства Е степеней 1, О, — 1 соответственно. Для любого слова (а„..., а„), составленного из элементов множества В, положим Хо (ап ..., а„) =(а, ап ..., а„), (7) и н,,, ..., ..)=( ь, „.!)!...„!.
!8) Элементы Х'„(аи ..., а„) определяются индукцией по п по формуле Хс(а а ) (Хо Хс б Нс)(а а ) (9) где б,,„— символ Кронекера. Если (а„...„а„) — пустое слово, то Х',(ап ..., а„) мы полагаем равным нулю. Лемма 1. Для любых корней а, ре=В имеют место равенства Действительно, соотношение (9) означает, что (ХеХо,)(а,,..., а ) =(Хс, Х )(а, ..., а ) — 6 Н (а..., а ); [х'., х' ) = — н'„. [Н„НБ1 = О, [Н,„, ХЯ=и(р, а) Ха, [Не, Х' рз) = — п (б, а) Х з, [Хс„Хо р] = О, если а ~ б. (10) (1 1) (12) (! 3) (14) З с Рлсщвплвииыв полэпгостыв ллгвьгы ли 12! это доказывает формулы (10) и (14).
Соотношение 11!) очевидно. Вследствие этого (Н» Х" )(а„ ..., а ) = / » = н у..., ...,, ! ~. ( г „»,,~) э „, 1 ! = — пф, а)(р, а,, а„)= = — пф, а)Х» (а„..., а ), что доказывает равенство (13). Наконец, 0 =(Н„(Ха, Х' Д (ввиду (10), (11), (14)) = =ГСН ХД, х- 1+!Х3 Гн~, х — 11= Н» Хоа) п(у а)Х»з Х»т) (ввиду (13))= =~(Н», Хвз — пф, а) Хв, Х~ тД (ввиду (14)). (15) Если мы рассмотрим пустое слово, то очевидно„что (~Н„, ХД вЂ” пф, а) Ха)(8) =О, и вследствие равенства (15) (~Н», Ха| — пф а) Хв) Х Х Х (Я)=0 при любых ув ..., у„~В; это доказывает формулу (12). Лемма 2. Все зндоморфизмы Х~, Н~в, Х»т, где а, р, уеьВ, линейно независимы. Так как Х',(8) =а, то ясно, что эндоморфизмы Х~, линейно независимы.
Предположим, что х а,Н,=О. Тогда для » » любого элемента рея В имеет место равенство О=Ц" а»Н», Х-а1= Ха»п(~, а)Х вЂ” з. е» 3 » Так как г(е1(пф, а)) ~ О, то а„=0 для всех а. Предположим, что ~ а„Х» = О. Вследствие формул (7), (8), (9) » Х»ф) 0 Х» ф, нв) = 2б». внв для любого ренВ, Из этих равенств следует, что аа — — 0 для всех р. Так как степени эндоморфизмов Х„Н„и Х, равны 1зй Гл. Щгс Рлсщеплениыв полтпгостыв Алгевгы ли У соответственно — 1, О, 1, то утверждение леммы следует из доказанных выше утверждений. Обозначим через 1 множество В Х ( — 1, О, 1). Положим х,=(а, — 1), а,=(а, 0) и х,=(а„1). Пусть а — алгебра Лн с системой образующих ! и следующим множеством опреде- ляющих соотношений Я: [и„, 6„], [й„ха] — н(0, а) х, [Ь„х „] + н (р, а) х [х„х „]+А„ [х„, х ], если аФй (см.
гл. 1!, $ 2, и'3). По лемме 1 однозначно определено ли- нейное представление р алгебры Ли а в пространстве Е, для которого р[х ) — Х р[Ь ) — Н р[х ) — Х Используя лемму 2, получаем отсюда следующий результат: Лемма 3. Множество канонических образов в а элементов х„йа, х, где а, О, уев В, линеино независимо. В дальнейшем мы отождествляел1 элементы х„й„х, с их каноническими образами в алгебре Ли а. Лемма 4. Существует единственный инволютивный автоморфизм 0 алгебры Ли а, для которого 0(х,)=х „, 0(х )=х„0(Ь )= — Ь„ нри всех ая В.
Действительно, ясно, что существует инволютивный авто. морфизм свободной алгебры Ли Ь(1), удовлетворяющий данным условиям. Множество Я() (-Я) устойчиво относительно этого автоморфизма, поэтому он определяет при переходе к фактор- алгебре инволютивный автоморфизм алгебры Ли а, удовлетворяющий условиям леммы. Такой автоморфизм единствен, так как алгебра Ли а порождается своими элементами х„ Ь„ х , (ая В).
Данный автоморфизм называется каноническим инволютивным автоморфизмом алгебры Ли а. Пусть Я вЂ” группа радикальных весов системы й'; группа Я является свободным г,-модулем с базисом В (гл. 1Ч, $ 1, п'9). На свободной алгебре Ли Е(!) можно определить такую градунровку типа Я, что х„й„, х будут элементами степеней а 5 е РАсшьпленные полупРостые АлГеБРы ли 1ЕЗ а, О, — а соответственно (гл. П, 5 2, и'6). При этом все элемеяты множества Я будут однородными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
