Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Комм. алг, гл. 1Ч, э 1, в' 4, определенне 2). Прн этом можно определить ехри влн е" по форь!уле е" (о) = ~ (1/л!) и" (о) для любого о !и Ч, »~е 128 гл. юп. гхсшеплнпные полтптостыг. ллгввгы лн Ф группа 97(И) порождается отражениями еа (гл. Л, $ 1, и' 5, замечание 1), то достаточно доказать утверждение леммы для ю=э,. Вследствие леммы 8 можно определить отображение и азха аах а азха Так же как и в гл. 1, $8, и' 8, можно проверить, что О,— автоморфизм алгебры Ли 8. При этом О (Н ) =е' хае' -а(Н вЂ” п(а, (3) Ха) = =е' а (Н — п(а, Р)Х + п(а, ЯХ-,— п(а,(3) Н вЂ” "— '2Х )= =е' а(Н вЂ” п(а, р)Н,— п(а, 13)Х,)= = Н вЂ” и (а, (3) Н вЂ” и (а, р) Х вЂ” и (а, (3) Х вЂ” п (а, 13) ( — 2Ха) = = На — п(а, 13) На. Если ген йа, то ьНВ Оа 4=0а (Н — п(а, р) На г1= =О, ((и, р )г — п(а, Щ(р, а ) г) = = (И вЂ” (а~, р) а, )3~) О, |г = (э, р, р') О, ~ г; следовательно, О„'г ен О*а", Тем самым доказано, что 8, '8" с с 8' ".
Вследствие того что Π— автоморфизм и указанное включение справедливо при всех и ~ Я, имеет место включение Оа Оа= 8' а. Это доказывает леммУ. Лемма 10. Пусть а ~ф, и предположим, что элемент и не пропорционален никакому корню. Тогда существует такой элемент ш е- :1(т(В), что некоторые координаты элемента юр относительно базиса В больше нуля, а некоторые — меныие. Обозначим через )та векторное пространство Я Эх К, в котором система В является системой корней.
По предположению существует такой элемент 1ен (те, что <1,а) Ф О для всех а еи Я и (1, р) = О. Обозначим через С такую камеру системы р'< что 1~С. По теореме 2(1) из гл. ч'1, Э 1, п' 5, существует такой элемент в ен Г Я), что ю1 принадлежит камере, ассоциированной с базисом В, т. е. <ю)', а>) О при всех аен В. Представим элемент юр в виде юи= ~.
~ а. Тогда аее 0=<1, р>=<а(, шн>= Е (а<ю1, а>, ааз а это показывает, что некоторые числа 1, больше О, а некото- рые — меньше. Э ь гзсщгплпп~ыз полтпгостыа клгпвгы ли 129 Лемма 11. Пусть ре-:(). Если )х~!ко(0), то д"=О. Если р бн тб, то 5 йп дб = 1. 1) Если вес р не пропорционален элементу из !б, то существует такой элемент юбн'йт, что бс1з~Я.к()9 (лемма 1О). Тогда яка = О, дяи =0 и, следовательно, дя = 0 (лемма 9). 2) Р!усть а бн В и гп — целое число. Так как пь — свободная алгебра Ли с ооразующими (х,)„з, то б)тип'=! и а "=0 при и>! (гл. П, $2, и 6, предложение 4). Поэтому бипдб(1 и д "=0 при т >!. Если бы д" было равно О, то х, ен и+ Оп; но тогда идеал и+ дп содержал бы Ь,= — (х„х,), что невозможно, так как б" П(п+ Оп) =О.
Следовательно, дпп д" =1. 3) Если ц б= Р, то существует элемент ю бн (г'(!к), для которого га(р) ~ В (гл. Ч!, $1, и'5, предложение 15), поэтому б)гп дб =пЧт д б =1, Если же и — целое число > 1, то д ля=О, а значит дквп 0 Доказательство теоремы 1. Поскольку бпп д = Сагд В, из леммы 1! следует, что пространство д имеет конечную размерность, равную Сагд В + Сагд )с. Докажем, что алгебра Ли д полупроста. Пусть ! — коммутативный идеал алгебры Ли д.
Так как подпростраиство ! устойчиво относительно эндоморфизмов апд, то 1=(!() 11)+ Х (б() д~). и~а Ясно, что д'+ д-'+ ФН„при любом корне абпВ есть подалгебра, изоморфная В((2, )т). Вследствие леммы 9 при любом и ~ )с подпространство да содержится в некоторой подалгебре алгебры Ли д, изоморфной б((2,!т), поэтому !()дб =0 и, таким образом, !с: д. Тогда [1, дб) ~ ! () дб = О, и, значит, рз(!)=0 при всех ран ь'.
Вследствие этого 1=0, что и доказывает полупростоту алгебры Ли д. если р бн й, то существует цен В, для которого (р, а )ФО, и эндоморфизм (аб )! )! ди будет вследствие этого ненулевой гомотетией. Таким образом, подалгебра д совпадает со своим нормализатором в алгебре Ли д и, следовательно, является подалгеброй Картава в последней. При любом цен э эндоморфизм а0 и приводится к диагональному виду, поэтому (д, д)— полупростая расщепленная алгебра Ли. Ясно, что пРи каждом 1х~ )б элемент Ра ЯвлЯетсЯ коРнем алгебры (д, д), а дк — соответствующим собственным подпространством.
Число корней алгебры (д, "э) равно дип д — д'ип д = = Сагд В, поэтому отображение )т~-~ рз пространства )т на д' переводит систему (б в систему корней алгебры (д, 11). З ьурбакн !зо гл г!!!. Рхсщкплс!!!!ыв полупяостыс злгвьгы л!! 4. Теорема единственности Пнвдложснис 4. Пусть (а, !!, В, (Х,), в) — полупростая размеченная алгебра Ли, (и (а, р))„а в — ее матрица Картона и (Х„), вн! в, — соответствующая система образующих.
Тогда (!) система образующих ((Х„, Н„, Х „))„в и соотношения (16) — (22) иэ и'3 состивляют задание алгеоры Ли а; (й) сел!ейство (Х ), е и соотношенич (2!) из п'3 составляют задание подалгебры алгебры Ли а, порожденной элементами (Хч)ь в в.
Пусть Р— система корней расщепленной алгебры (3, 5). Применяя к Р и В конструкции из и'2 и п'3, мы получим объекты, которые обозначим через а', й', Х', Н,',, ... вместо а, 3, Х„Н„, .... Ясно, что существует гомоморфизм !р алгебры Ли та' на алгебру Ли а, при котором ф(Х„) = Х„, !р(Н„) = Н,, !р(Х,)= = Х, для всех а ен В (предложеиие 1). Так как б!гп а'= = Сагб Р+ Сагб В = сйщ й, то отображение !р биективно. Тем самым доказано утверждение (!). Подалгебра, порожденная элементами (Х') в алгебре Ли ь авв а'=а'/(п'!ээ О'и') =(а' Ща" 9а' )/(и' й) О'и'), естественно отождествляется с и',л!и'. Тогда утверждение (й) следует из предложения 3 и определения идеала и'.
Слвдствив. Каждая полупростая размеченная алгебра Ли получается из полупростой раз.иеченной алгебры Ли над полем (л расширением поля скаляров (г до й. Это непосредственно следует нз предыдущего предложения. Твогсмк 2. Пусть (О, У, В, (Х„) э) и (6', 5', В', (Х„) в,)— полупростые размеченные алгебры Ли, Р и Р' — системы корней расщепленных алгебр Ли (3, Ф) и (6 !! ) (п('! р)) ам в (соотв. (п'(а, р))„а в,) — матрица Картина системы Р (соотв. Р') относительно базиса В (соотв.
В') и Л (соотв. Л') — граф дынкина системы Р (соотв. Р') относительно базиса В (соотв. В'). (!) Если ф — такой изоморфизм пространства (!" на пространство г!'", что <р(Р) = Р' и !р(В) = В', то существует единственный изоморфизм ф разл!еченной алгебре! Ли (й, (!, В, (Х,)„в) на размеченную алгебру Ли (О', !!', В', (Х„'), в,), при котором р!!! ='ч (й) Если ! — такое биективное отображение множества В на множество В', что п'(!(а), Т(р))=п(а, р) при любых а, ренВ, ь е РАсщепленные полупРостые АлгеБРы ли !з! то существует изоморфиэм размеченной алгебры 7и (й, «, В, (Х ) ) на размеченную алгебру Ли (й', «', В', (Х') ~,).
(1!!) Если существует изоморфиэм графа Дынкина Л на граф Дынкина Л', то существует изоморфиэм размеченной алгебры,7и (й, «, В, (Х„)„в) на размеченную алгебру,7и (й', «', В', (Х.'),,1. Доказательство непосредственно следует из предложения 4 (!) (при доказательстве утверждения (ш) нужно использовать еще предложение ! из гл. У1, $4, и'2).
Примечание. С каждой полупростой расщепляемой алгеброй Ли й ассоциируется граф Дынкина, который определяет саму алгебру Ли й с точностью до изоморфизма (теорема 2(!!!)), Граф Дыикина является связным и непустым тогда и только тогда, когда й проста (Э 3, п'2, следствие ! предложения 6). Ввиду теоремы 1 из и'3 и теоремы 3 из гл. У1, 3 4, п'2, простые расщепляемые алгебры Ли — это алгебры Ли типов Ар (!~ )!), В~ (1> 2), С~ (!~)3), 0~ (!>4), Еы Е,, Ев г4 Ом Перечисленные в этом списке алгебры Ли попарно неизоморфны. ПРедложение 5.
Пусть (й, «, В, (Х„)„) — полупроетая размеченная алгебра Ли и (Х„)„в и — ее система образующих. Тогда существует едингтвенньчй автоморфиз.н 0 илгебры,7и й, для которого 0(Х )=Х при всех ае-:В()( — В). При этом 0'=1б, и 0(Ь) = — й для всех 6 ~ «. Единственность непосредственно следует из того, что (Х,), эщ,— система образующих алгебры Ли 0.
Вследствие предложения 4 существование автоморфизма 0 следует из рас. суждений, приведенных в п'3 перед теоремой 1. Следствит. Пусть (й, «) — полупростая расщепленная алгебра Ли. Тогда алгебра Ли (й, «) обладает системой Шевалле (э 2„ п'4, определение 3). Пусть  — система корней расщепленной алгебры Ли (й, «).
Пусть Х, для любого корня и ела — некоторый ненулевой элемент подпространства й". Предположим, что элементы Х, выбраны таким образом, что [Х„, Х „] = — Н, при любом а ~ Я 5 2, п'4, лемма 2). Обозначим через В некоторый базис системы корней )7, и пусть 0 — такой автоморфизм алгебры Ли й, что 0(Х,) = Х, при а ~ В() ( — В). Тогда 0 !« = — 1йь Поэтому для каждого корня аенД существует такой элемент !,Бнй', 132 ГЛ. Рп!. РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ что ЕХ =1 Х,.
При этом 1.1 .н.=[1.х ., 1.х.) =[ех., ех .[= =е([х., х .])=6( — на)=н„. Следовательно, 11, = 1 при всех а ~ и. Определим числа М, Б так же, как в п'4, 5 2. Если а, р, а+ реп й, то М-а, — Б1а1БХ вЂ” а-з 1а1з [Х а~ Х-з[ = [ЕХа, ЕХЗ) = поэтому вследствие леммы 4 из з 2, и'4, получаем, что И+ ) аа ааа+Р где !) — целое число. Таким образом, если Г, и 1 являются квадратами в й', то элемент (,„З тоже равен некоторому квадрату.
Поскольку 1, = 1 при а ы В, то предложение 19 из гл. И, 9 1, и'6, показывает, что элементы 1, еи й являются квадратами при всех аеи й. Выберем для каждого аеи1с Некоторый элемеит и„~ Й, для которого и'; =1,. При этом можно выбрать эти элементы так, чтобы для всех аеий выполнялось равен. ство и,и,=1. Положим Х',=и„-'Х,. Тогда при любом ае.=й х,'еи йа, [х,', х' 1=[х„х,[= — н, и Е(Х, ) = 6(иа Ха) =на Гах а =иаХ-а =пап-аХ вЂ” а = Х „; ПО- этому (Х') — система Шевалле расщепленной алгебры а аая Ли (й, [!), 5 5. Автоморфизмы полупростой алгебры Ли В этом параграфе через а обозначается полупростая алгебра Ли. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
