Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Тогда Кегз = О, отображение з биективно и зее Ац1(й), Однако для любых элементов х, у ее й отображения з ~-~ [зх, зу] и з К(зх, зу) пространства У в алгебру Ли й и поле й соответственно — полиномиальные отображения. Предложение 9. Пусть 5 — расщепляющач подалгебра Картана алгебры гуи й.

Тогда (!) [ (Та) — замкнутая в топологии Зарисского подгруппа группы Ац((а); (й) [(д(ТР)) — всюду плотном в топологии Зарисского подгруппа группы [(Та). Утверждение (1) следует из равенства [(То) = Ац((й, ч) П Кег а (предложение 2). Положим т=(Р(11): 1г(Я)). Пусть г — полиномиальная функция на пространстве (Г. Предположим, что она обращается в нуль на всех элементах, являющихся т-ми степенями элементов группы [(То), и покажем, что Р[[(То)=0. Ввиду леммы 3 это будет доказывать утверждение (й).

Множество ]Г' элементов из т', индуцирующих тождественное отображение на 5 и таких„что все надпространства й" устойчивы относительно действия этих элементов, можно отождествить с пространством нн. Пусть р — ограничение функции р на множество у' = йя; это полиномиальная функция. Имеет место включение 1(То) с: Г. Пусть В=(ап ..., а!)— базис системы корней З. Пусть !р(!) для всех ! =(Гп ..., П) ~ еп И"в — гомоморфизм группы (,1(й) в группу й', продолжаю- 4 э 5.

АВТОМОРФИЗМЫ ПОЛУПРОСТОИ АЛГЕЬРЫ ЛИ ыз щий». Тогда Р'()(ф(»))) записывается в виде конечной суммы с„„»", ... »", = Н (»и ..., »,). и,, ..., лГыа По предположению имеет место равенство 0= О(»",, ..., »™)= ~' с»,"о,, », г прн любых»,, ..., », а= й'. Таким образолм числа с„ коэффициенты многочлена от 1 переменных, который обращается в нуль на я"г] следовательно, все они равны нулю. Предложении !О. »гредполоким, что д — расщепляемая алгебра Ди. (]) Группа АИ1,(д) — всюду плотная подгруппа групп»я Лп1о(д) в топологии Зарисского.

(В) Группы Ап(,(д) и Ап(о(д) связны в топологии Зарисского. По предложению 3 имеет место включение» (г»(ГР)) с: Ли1,(д). По предложению 9 для всех автоморфизмов в ~ Ап(,(д) замыкание л]ножества 5.) (у(ГР)) в топологии Зарисского содержит группу 5.»(ГО). Следовательно, залгыкание группы Лп1,(д) содержит Ап(,(д).1(ГО)= Лп(о(д) (ггрсдложение 6). Это доказывает утверждение (]). Пусть Ап1,(д) = ьа Ц 'ьа' — разбиение группы Ап(,(д), где 51 и 51' — относительно открытые в топологии Зарисского множества, причем 11 М бд.

Если отен за и если х — нильпотснтный элемент алгебры Ли д, то отображение т: » шехр(» аг(х) поля й в Ап(,(д) полиномиально и, следовательно, непрерывно в топологии Зарисского. Таким образом, множество т (й) связно, а поскольку озент(й), то имеет место включение т(й)с:51. Таким образом, 11.(ехр ад йх) с: О, поэтому ьа. Ап1,(д) с: ьа и ьа =Ап1,(д). Это доказывает, что группа Лп1,(д) связна.

Вследствие утверждения (!) группа Ап!5(д) тоже связна. Ч. Т. Д. Мы увидим ($ 8, и'4, следствие предложения б), что группа Лп(с(д) замкнута в множестве ]г в топологии Зарисского и является связной компонентой единицы группы Ап((д). Группа Ап(,(д), напротив, не будет, вообще говоря, замкнутой в топологии Зарисского. "Предположим, что (З, «] — расшепленная алгебра Ли. Группа Ап(,(д] — это группа 6 (й) й-точек некоторой связной полупростой алгебраической группы О с тривиальным центром (присоединенной группы).

Группа )(ТО) совпадает с группой Н (»г), где Н вЂ” подгруппа Каргана группы Лн 6 с алгеброй Ли «. Группой Мточек прообраза Й !44 Гл учп. РАсп!Бпленные полупростые АлГеБРы ли группы й в универсальной наирыеаюпчей 6 группы 6 (в алгебраиче. скоп смысле) будет группа Т . Группа 6(л) совпадает с образов группы Ап!а(П) в группе 6 !)с) = Ап1а(З).„ 5.

Случай групп Ли ПРедложение 11. Предположит!, что поле й равно й, С или полному ульграмегрическому недискрегному полю. Пусть )) — расщепляющая подалгебра Каргина алгебры Ли 9. (!) Группа Ац1 (и, ))) является подгруппои Ли группы Ли Ац((й) с алгеброй Ли ас))). (й) ) (То) и (д е !)(Тр) — открытые подгруппы в группе Ац((9, !)), (ш) Ац(,(й) — открытая подгруппа в группе Ац1(й), (Гу) Если й = 11 или С, го группа Ап1,(й) является компонентой нейтра.чьного элемента в Ап1(й), т. е. равна !п1(9). По следствию 2 предложения 29 гл.

1П, и'8, н предложению 36 из и'1О Ан1(й, !)) — подгруппа Ли группы Ац1(й), алгебра Ли которой состоит из тех элементов ад т (хан й), для которых (адх) 1) ~ !), т. е. равна ад!), Пусть Нее!). Существует число е> О, обладающее таким свойством: для таких 1~ я, что )1! < в, функция ехр(1у(Н)) определена при всех уен РЯ) и отображение у Рехр(1у(Н))— гомоморфизм о, группы РЯ) в группу й". Отображение ехр1ай Н определено при всех )1) (в и индуцирует тождественное отображение на пространстве !) и гомотетию с коэффициентом о, (а) на пространствах йе; следовательно, ехр)ай Н ее (д е)) (Т„).

Ввиду утверждения (!) это доказывает, что группа (де!)(Тр) содержит некоторую окрестность 1 группы Ац)(й, !)) и, значит, является открытой подгруппой в Ап((й, 1)). А !ог!гог! группа '1(То) является открытой подгруппой группы Ац((6, !)). Для всех корней асей имеет место вклчочение ехрач) йо~ с= Ац1,(9). Ввиду утверждения (й) группа Ап),(0) содержит некоторую окрестность 1 группы Ац((й), что доказывает утверждение (!й). Предположим, что й=й пли б.

Тогда Ац1,(9) содержится в компоненте единицы С группы Ац)(ч)) (гл. И1, $ 3, и'1) и вследствие утверждения (ш) является открытой подгруппой в Ап1(9). Следовательно, Ан(,(й) = С. Наконец, С =1п1(6) вследствие предложения 30 (!) гл. Ш, 5 9, и'8. й 6. Модули над расщепленной полупростой алгеброй Ли В этом параграфе мы обозначаем через (9, ))) расщепленную полупростую алгебру Ли, через !Ат — ее систему корнеп, через 1)г— ее группу Велла, через  — базис системы корнеи тт' и через Р ! ь ь модули нАЛ РАсшепленпОп полуптостоп АлГеБРОЙ ли 14Е (соотв, Н ) — множество положительных (соотв. отрицательных) корней относительно базиса В.

Мы полагаем п = ~ йа, а а Я+ бь =»+и„ ь =»+и. Имеют место равенства и+ =[»е, ».![, и =[», » ). Для всякого корня а е Н выберем элемент Х, ен йа так, чтобы выполнялось равенство [Ха, Х,[= — Н, (3 2, и'4); этот выбор не противоречит ни одному из данных выше определений. 1. Веса и лримитивные элементы Пусть У вЂ” некоторый й-модуль.

Для всякого А ~ »' обозначим через УА примарное относительно отображения 1. подпросгранство пространства У, рассматриваемого как »-модуль (гл. У11, $ 1, и' 1). Элементы пространства УА называются элементами веса А й-модуля У, Сумма пространств УА прямая (гл, УП, $1, п' 1, предложеяне 3). Каковы бы ни были корень аен»* н вес Хе= »', имеет место включение йаУ с: У'" (гл. УП, $1, и' 3, предложение !О(й)). Размерность пространства называется кратностью веса Г. в модуле У. Если кратность ) 1, т. е.

УАФО, то говорят, что А — вес модуля У. Если У вЂ” конечномерныи модуль, то эпдоморфизмы пространства У, определенные элементами из», полупросты н, следовательно, УА — это множество таких элементов хан У, что Их= Л(Н)х для всех Ня», Леима 1. Пусть У есть й-модуль и о ~ У. Тогда следующие условия эквивалентнь1; (!) Ь „о с: йо; (й)»ос" йо и п,.о= 0; (ш)»о ~ во и йао = 0 длл всех аен В, (1) =-(й).

Предположим, что имеет место включение »+о с: йо, Тогда существует такой элемент Х ~ »", что о ее УА. Пусть а ее Н+. Тогда йа. о с: УА () УА+'= О. Следовательно, и+о = О. (й) =~(й1). Это очевидно. (гй)~(1). Это следует пз того, что множество (Х,)а,,г порождает алгебру Лн и+ 5 3, и'3, предложение 9 (ш)).

146 Гл. УН1. РАсщепленпые полупростые АлГББРы лн Опредгление 1. Пусть У есть а-модуль, о ее У. Назовем о примитивнь и элементом модуля У, если он отличен от б и удовлетворяет условиям леммы 1. Примитивный элемент принадлежит некоторому пространству У . Для любого элемента 11~11" через У будем обозна. чать множество таких элементов и ее УА, что 5~о с йо. Следовательно, примитивные элементы веса Х совпадают с ненулевыми элементами пространства У„. Обозначим через а„..., а„попарно различные элементы из Н+.

Тогда элементы (- Р1 рг рл Х-а Х-а ° .. Х-» т', нл л!(Рг, ..., Рл)ан образуют базис пространства 0(п ), поэтому Для )г ~ ч" положим т.= .'Е грг ..., »„1 н", йХ Х л и — ра —...-р а А л л Предложение 1. Пусть У есть й-модугь, о — его примитивный элемент, а ы — вес э,гемента о. Предположилг, что как а-модуль У порожден элементом о. (1) Если П (и ) обозначив~ универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли и, то имеет лгесто равенство У=У(п ).о.

Характеристики

Список файлов книги