Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Вследствие условия (!1) имеет место включение Ркс: У+(Л). Значит, гк — наибольший отличный от Х(Л) под- $6. мОдули ИАд РАсшепленггой пОлупРООТОЙ АЯГеБРОЙ ли гз! модуль модуля с (Л). Ясно, что фактормодуль с (Л)/РА прост и что образ элемента е в модуле 2(Л)/РА прн канонической проекции является примитивным элементом веса Л. Далее в этой главе д-модуль 2(Л)/РА, введенный в предложении 5, будет обозначаться через Е(Л). ТеоРБМА 1. Пусть Лен!г".
Тогда г)-модуль Е(Л) прост и его старший вес равен Л. Каждый простой рсмодуль со старишм весом Л иэоморфен модулю Е(Л). Первое утв ржденне следует из предложения 5(!!!). Второе утверждение следует из предложения 4. Паедложение 6. Пусть )т есть й-модуль, Л вЂ” элемент пространства гг, о — примитивный элемент из У веса Л. (!) Существует, и притом единственньгй, гомоморфизм ф: 2(Л) — )т й-лгодулеи, такой, что гг(е) = о, (В) Предположим, что модуль )т порожден элементом о. Тогда гомоморфиз,ч Чг сюръективен. Чтобы гомоморфизм гР бьгл биективен, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ненулевого элемента и алгебры 0(п ) эндоморфиэм иу был инъективен.
(11!) Отображение и иЗ1 модуля (/(гг ) в моду гь 2(Л) биективно. Пусть К вЂ” ядро представления алгебры 0 ((г ) в пространстве ЕА, в пространстве (/((гГ) коразмерность этого ядра равна 1. Пусть /=П(й) К вЂ” левый идеал алгебры (/(й), порожденный множеством К. Тогда модуль СА естественно отождествляется с левым (/(5~)-модулем (/(б )/К, а модуль 7(Л) — с левым 0(й) модулем (/(а)//. Имеет место равенство К.о =О, поэтому /. о =О, что доказьгвает утверждение (г).
Предположим теперь, что модуль (т порожден элементом о. Ясно, что гомоморфнзм ф сюръективен. По теореме Пуанкаре — Виркгофа — Витта (гл. 1, $ 2, и' 7, следствие 6 теоремы 1) базис пространства 0(п ) над полем й является также базисом правого (/((г~)-модуля (/(й). Следовательно, отображение <р: и РиЖ 1 пространства (/(гг ) в пространство (/(й) Эо<ь,! ЕА биективно. Пусть и ~ (/(и ), Тогда эндоморфнзм чг ' ° иг<Аг ° чг пространства (/(п ) совпадает с умножением слева на элемент и.
Учитывая следствие 7 теоремы 1 гл. 1, $ 2, п' 7, получаем, что гомоморфизм игэа инъективен, если и Ф О. Следовательно, если гомоморфизм гр биектпвен, то зндоморфизм иу инъективен для всех ненулевых элементов и алгебры 0(гг ). Предположим, что эндоморфизм чг не инъективен. Тогда сушествует такой элемент иге П(п ), что и ~ О и г(г(гр(и))=О. !52 Гл. Еп!.
РАсщепленные полупРОстые АлГеБРЮ ли 1 Таким образом, ик . о = иг . ф (1 Я 1) = ф (и ® 1) = ф (ф (и)) = О. Следствие 1. !!усть Л ен!1' и а~В таковы, 1то Л(Н )+ 1 еи1), Тогда модуль Х( — а+ заЛ) иэоморфен некоторому й-нодмодулю модуля Х(Л). Положим т=Л(Н,). Пусть х=Х ~~.ееи_#_(Л) и à — подмодуль модуля Х(Л), порожденный элементом х.
Мы получаем, что х ныл (предложение 6). С другой стороны, хаим(Л)~ ' Е1' . Если реп В и 6 Ф а, то [й ", йа) = О н йа.е= О, следовательно, йа. х = О. Наконец, поскольку !Ха, Х „) = — На, то 1Х„, Х,+~) = =(т+1)Х",( — Н,+пг) (э 1, п' 1, лемма 1(В)), откуда, следует, что = (п1+ 1) Х-а (те Л (На) с) = О. Таким образом, х — примитивный элемент веса Л вЂ” (п1+ 1)а, Учитывая предложение 6, получаем, что 11-модуль Г нзоморфен МОдуЛЮ Я (- - а + Л вЂ” та) = ь ( — а + З1,Л).
1 ч-1 Слгдствне 2. Пусть р= — ~ а и Л, р~() . Предположим, 2 х'.а а я+ что Л+ р — доминантный вес относительно системы И и что суи1ествует элемент шеи ЧУ, для которого р+р=ш(Л+р). Тогда ,иодуль г. (1А) изоиорфен некотором» подмодулю ходуля 2(Л), Утверждение очевидно, если со = 1. Предположим, что справедливость утверждения установлена при условии, что длина элемента щ меньше д, Если теперь длина элемента е равна д, то существует такой корень а~а В, что и1=з„ю' причем !(1в') = д — 1.
Мы получаем, что ж'(а) еи В+ (гл. Ч1, $1, п'6, следствие 2 предложения 17) и, следовательно, (1в'-1(Л+р))(Н„)=(Л+р)(Н„а) — целое число . РО. Положим р'=ш' '(Л+р) — р По предположению индукции модуль с (р') изоморфен подмодулю модуля Х(Л). С другой стороны, по предложению 29(й) из гл. Ъ'1, $1, п'10, мы получаем, что — а + зар' = — а + з„щ'- ' (Л + р) — э,р = щ (Л + р) — р = р. Кроме того, р (На) = 1 (гл. Г1, $1, предложение 29 (й!)), а ЗНаЧИт, р'(На) + 1 ЕН 1). ТаКИМ ОбраЗОМ, ИЗ СЛЕдетВИя 1 ВЫтЕ- кает, что модуль Х(р) изоморфен подмодулю модуля 7,(р'), а следовательно, некоторому подмодулю модуля 2(Л). % к модули нлд глсшвпленнон полтпгостои ьлгевгон лн !вз 4. Централизатор нодвлгебры Картина 5 в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли й Пусть У вЂ” универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли й, а $' с:.
У вЂ” универсальная обертываюшая алгебра алгебры Ли 5. Алгебра К естественно отождествляется с симметрической алгеброй 8((!) пространства (!, а также с алгеброй полиномиальных функций на (1". Обозначим через ап ..., а„ попарно различные положительные корни. Пусть (Н„..., Н,)— базис пространства (ь По теореме Пуанкаре — Биркгофа— Витта элементы иИд,.), (и,), (р,))=Х»', ... Х'" Н, ' ...
Н, ~Х" ... Х"» (д,, а;, р; — целые )~0) образуют базис векторного пространства У. Для каждого Ьен !) имеет место равенство (й, и(И,), (т;), (рч))) = =((р, — о,)а, + ... +(р„— у„)а„)(6)иИд,), (т;), (р,)). (3) Векторное пространство У является й-модулем (а следова- тельно, и ()-модулем) относительно присоединенного предста- вления.
Если !. ~ !)', то определены подпространства У' и Ух (гл. Ъ'П, 5 1, и'3); формула (3) показывает, что У'=Ух и что У = ® У~ (где Я вЂ” группа радикальных весов системы й). лап В частности, У» является централизатором модуля () или мо- дуля»' в алгебре У. Лемма 3.
Положим ь(п У)() У», (!) Е=(Уп+)() У», и ь — двусторонний идеал алгебры У'. ((!) уо ррах Ясно, что и У (соотв. Уп+) — это множество таких линейных комбинаций элементов и((у;), (лг;), (р,)), что Х д; > 0 (соотв. ~, р; > 0). С другой стороны, и((у;), (т~), (р~)) е= У»с=» р а, + ... + р„а„=о~а, + ... + о„а„. Поэтому (и У)() Уь=(Уп )() У». Наконец, (и У)() Уь (соотв. (Уп+) () (Р) является правым (соотв. левым) идеалом в У», откуда следует утверждение (!). Кроме того, элемент и((о,), (пт,), (р )) алгебры У» принадлежит Г (соотв.
Б) тогда и только тогда, когда р, = ... = р„ = о, = ... = о„ = 0 (соотв. р, + ... . + р„+ у~+ ... + д„> 0), что доказывает утверждение (И). Ч. Т. Д. Ввиду леммы 3 проекция У» на»' — гомоморфнзм алгебр, ядро которого равно Л. Этот гомоморфизм называется 154 Гл чп! Расщепленные полтпРОстые АПГГБРы ли 4 гомоморфизмом Хариш-Чандры алгебры (7' на алгебру У (относительно базиса В).
Напомним, что алгебру У можно отождествить с алгеброй полиномиальных функций па (!'. ПРедложениг 7. Пусть Л еи (1, У вЂ” некоторый й-модуль, порожденный приьштивным элементом веса )!, т, — центральный характер алгебры У и !г — гомоморфиэм Харии!- Чандры алгебры ()а на алгебру У. 7огда для любого г иэ центра универсальной обертывающей алгебры (I вьшолнено равенство 11(г)= =(Ч (г))Ь. Пусть о — примитивный элемент пространства У веса 11, а г — элемент из центра алгебры П. Тогда существуют такие и„..., и я(/ и п„...,пл~п+, чтог=!Р(г)+и!и!+...
+ирп Таким образом, Х (г) о = го = <р (г) о + и и, о +... + ирпро = !с (г) о = (!р (г)) (Ь) о. Следствие. Пусть (...) — невырожденная инвариантная сим- метрическая билинейная форма на алгебре 77и й, а С вЂ” элемент Казимира, ассоциированный с этой формой. Тем же симво- лом (... ) обозначим фор.иу на (1', являющуюся обратной формой для ограничения формы (...) на пространство (! ($2, п'3, 1 т-! предложение 5).
Тогда Х(С)=(7, Ь+2р), где р= — ~ а. а -л+ Воспользуемся обозначениями из предложения б $2, п'3. Имеет место равенство 1 т~ 1 (х х а) а -а+ ~ (х х > Х-аХа+ аел а а=я+ + ~', ' [Ха, Х а)+ ~Н!Н',. аыя+ 4а.т Следовательно, ц!(С) = ~ (х х ) (Ха* Х-а! + ~ Н!Н!. а ал+ !ы! По предложению 7 7.(С)= ~~ Х Х Ь((Ха, Х а))+ ~~ 7 (Н!)Р,(Н!). а ы Л+ с ! Пусть Ьх — такой элемент пространства 5, что (Ь„, Ь) = 7. (Ь) для всех Ьен(). По предложению 1 из $2, и'2, имеют место ь 7 конвчномвнныв модтли равенства 1 1 2 (<Хы Х >[Ха, Х-а1) =(ЬЛ <Х„Х )[Х„Х,[) =а(ЬЛ) =(Ь, а).
Следовательно, Х(С)=[ ~ (2„а))+(2., Ь)=(Ь, 2,+2р) 1,ьал, 5 7. Конечномерные модули над расщепленной полупростой алгеброй Ли В этом параграфе мы сохраним основные обозначения из $6. Через Р (соотв. <г) обозначается группа весов (соотв. группа радикальных весов) системы корней В. Через Р+ (соотв. Я+) обозначается множество элементов группы Р (соотв. <',1), положительных относительно некоторого определенного базисом В упорядочения системы Р. Через Реч обозначается множество доминантных весов системы В относительно базиса В (гл.
Ч1, $ 1, и' 1О). Элемент Ь просе ранства 5* принадлежит Р (соотв. Р„+) тогда и только тогда, когда все числа Ь(Н,), а ен В, целые (соотв. целые )О). Имеет место включение Р ~ с: Р~ (гл. Ч1, $1, п'6). Если юга Ф', то через е(щ) обозначается детерминант 1 х автоморфизма щ, равный 1 или — 1. Положим р=- — хт а. 2 .2~ а~ я+ 1.
Веса простого конечномерного й-модуля Пгедложеиие 1. Пусть à — конечномерный й-модуль. (!) Все веса модуля 1' содержатся в Р. (В) К= ® $'. ьяР (ш) Для всякого р ~ ()* пространство Г" состоит из тех хен'т', для которых Ь,х= р(Ь)х при всех Ь ев (). Для каждого корня а ел В существует гомоморфизм алгебры Ли Е((2, Ь) в алгебру Ли 11, который переводит Н в Н,.
По следствию предложения 2 из $1, и'2, эндоморфизм (Н,)т приводится к диагональному виду и его собственные значения — целые числа. Следовательно, множество эндоморфизмов (Н,)т при а~ В приводится к диагональному виду (А1д., сйар. 'Ч11, 5 5, и'6, ргороз11(ои 13). Следовательно, для всех Ь~(! эндоморфизм Ьг приводится к диагональному виду. По предложению 9 из гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
