Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ь ь коне'и!омгРиые мОдули 169 Пусть р и р' — представления алгебры Ли 9, ассоциированные с модулями Е и Е*. Тогда представление р а а алгебры Ли 9 иеприводимо, а его старший вес равен — шь(в); следовательно, представление р а о эквивалентно представлению р'. 2) Предположим, что юь —— — 1. Тогда каждый конечномерный 9-модуль Е изоморфен модулю Е'. Напомним, что если 9 — простая алгебра Лн, то ш,= — ! в следующих случаях: 9 — алгебра Ли типа А,, В, (1)2), С, (1)2), О, (1 четное )4), Е„ЕМ Р, или Пт (гл. 1т!, таблицы). Лемма 2.
Если Ь~= Х„На, то Ьь= ~ ааНа, где ап — Цеа и Я+ паВ лые числа ) 1. Пусть (Ь,)„В, (с,)а в — такие семейства скаляров, что Ь,с„= аа длч всех корней а еи В. Положим х =— = ~„Ь„Х„, у = Х саХ „. Тогда существует такой гомоморааа па В физм <р алгебры Ли ь!(2, Ь) в алгебру Ли 9, что <р(Н)=Ьь, ~р (Х а) = х, ~р (Х ) = у. Тот факт, что а, — пелые числа ) 1, следует из того, что (Н ),  — базис системь| корней (Н,), а (см. гл. Ч1, з 1, и'5, замечание 5). Для любого корня а ен В имеет место равенство а(Ьп) = 2 (1) (гл. Ч1, $1, п'10, следствие предложения 29), значит; [К х] = Х Ьаа(Ьо) Ха = 2х, п~В [Ьь, у] = Х са( — а(Ьь)) Х „= — 2у.
а~В (2) С другой стороны, [х, у]= Е Ь,с [Х„Х ]= Х Ьасп [Ха~ Х-а] = ~ ааНа= — Ьп, (4) откуда следует существование гомоморфизма <р. ПРадложанив 12. Пусть Š— простой конечномерный й-модуль, ьэ — его старший вес, а зт — векторное пространство й-инвариант. ных билинейных форм на Е. Пусть т — целое число, равное в(Н,), т. е. т/2 равно сумме координат веса ьэ относиа~л+ тельно базиса В (гл. Ч1, з 1, и'!О, следствие предложения 29). Пусть твь — такой элемент группы 1)т, что шь(В) = — В. (1) Если шь(ьт) Ф вЂ” в, то Я=О. >то Гл. Еи!. РАсшеилен>1ые иолуиРостые АлгееРы ли А (й) Предположим, что и>а(в) = — в.
Тогда размерность пространства й! равна 1 и все ненулевые элементы пространства Я невырожденны. Если т — четное (соотв. нечетное) число, то все формы из Я симметрические (соотв. знакопеременные). а) Пусть Фее Я. Отображение !р модуля Е в модуль Е*, определенное равенством !р(х)(у) =Ф(х, у) для х, у е= Е, — гомоморфизм й-модулей. Если Ф~О, то !а~О; по лемме Шура Ч> является изоморфизмом, и, следовательно, форма Ф невырожденна. Следовательно, й-модуль Е изоморфеи й-модулю Е"„ так что ва(в)= — в.
Таким образом, мы доказали утверждение (1), б) Предположим теперь, что ша(в)= — в. Тогда модуль Е изоморфен модулю Е'. Векторное пространство >д изоморфно пространству Нощ„(Е, Е'), а следовательно, пространству Нощ,(Е, Е), размерность которого равна 1 (й 6, и'1, предло>кение 1 (!11)). Следовательно, 31щ.Я = 1. Вследствие п. а) каждый ненулевой элемент Ф пространства Я невь>рожден. Для х, у се Е положим Ф, (х, у) =Ф(у, х).
По предыдущему существует такой элемент Лен й, что для л>обык х, у~ Е выполняется равенство Ф, (х, у) =Л!1>(х, у), Тогда Ф(у, х) = Ы>(х, у)= =Л'Ф(у, х), откуда следует, что Лт= 1 и Л = ~ 1. Таким образом, форма Ф илн симметрическая, или знакопеременная. в) По предложению 9 (ч) из гл. И!, 5 1, и'3, пространства Е и Е" ортогональны относительно формы Ф, если Л+ 9ФО. Поскольку форма Ф невырожденна, то пространства Е" и Е " не ортогональны относительно формы Ф.
г) Существует такой гомоморфизм !р алгебры Ли Е( (2, й) на подалгебру Лн алгебры Ли й, который переводит элемент Н в элемент ~ На (лемма 2). Рассмотрим Е как 61(2, й)-моаа а.ь дуль, структура которого задается этим гомоморфизмом. Тогда элементы пространства ЕА имеют вес Л( ~ На). Если Л е= Р— (а~еж такой вес, что ЕАФО и ЛФв, Л~ — в, то — в<Л<в; следовательно, — т= — в( ~". Н,) <Л( ~„Н.) <в( ~: Н.)=т.
Пусть 6 — изотипная компонента типа у'(т) в й( (2, й)-модуле Е. Тогда длина модуля 6 равна 1 и 6 содержит пространства Е' и Е ". Вследствие п. в) ограничение формы Ф на модуль 6 равно нулю. Ввиду замечания 3 из 5 1, п'3, число т четно или нечетно в зависимости от того, является это ограничение симметрической или знакоиеременной формой. С учетом и. б) это завершает доказательство, г $ Е КОНЕЧНОМЕР77ЫЕ МОДУЛИ и Опггделгние 2. Конечномерное неприводимое представление р алгебры Ли й в пространстве Е называется ортогонильнзям (симплектическим), если на Е существует симметрическая (соотв.
знакопеременная) невырожденнан инвариантная относительно представления р билинейная Форма. б, Кольцо представлений Пусть а — копечномерная алгебра Ли. Пусть У", (соотв. ~„)— множество классов конечномерных а-модулей (соотв. простых конечномерных «-модулей). Пусть Я(а) — свободная коммутативная группа Хв'. Обозначим через [Е] класс конечномерного а-модуля Е. Пусть Р— конечиомерный а-модуль, н пусть (Р Р -~ ° ° ° Рь) — последовательность факторов ряда Жордана — Гельдсра модуля Р. Элемент ~ [Р,/Р, ~] группы Я(а) зависит только от модуля Р и не зависит от ряда жордана — Гельдера; обозначим этот элемент через [Р].
Если Π— ь Р' - Р -ь Р" — Π— точная последовательность конечномерных а-модулей, то [Р] =- [Р'] + [Рн] Пусть à — полупростой конечномерный а-модуль; для каждого Е ЕЕЕ, пусть пе — длина изотипной компоненты типа Е в модуле Р; тогда [Р] = ~, пе.[Е].
Если Р, Р' — полупростые Ею ве конечномсрные а-модули и если [Р] =[Р'], то модули Р и Р' изоморфны. Лемма 3. Пусть Π— коммутативная группа с аддитивной записью закона композиции и ф: 9,— ь 6 — некоторое отображение, Для каждого конечномерного а-модуля Р мы, допуская некоторую вольность, обозначим через ф(Р) образ класса модуля Р при отображении ф, Предположим, что для каждой точной последовательности конечномерных а-модулей О-+Р'- Р- Рн-+О имеем ф(Р) = ф (Р') + ф (Р"). Тогда существует единственный гомоморфизм 6: Я(а) — ~ 6, такой, что 6( [Р]) =ф(Р) для каждого конечномерного а-модуля Р. Существует единственный гомоморфизм 6 группы Я (а) в группу О, такой, что 6([Е]) =ф (Е) для любого простого конечномерного а-модуля Е. Пусть Р— конечномерный а-модуль, 1тг ГЛ.
УПЕ РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕбРЫ ЛН а (Р„, Еь н ..., Рь) — последовательность факторов ряда Жордана — Гельдера модуля г'; если и > О, то, проводя индукцию по и, получим, что Если п = О, то [г"! = О, следовательно, 8 ( [Р! ) = 0; с другой стороны, рассматривая точную последовательность 0-» 0 -» 0-» -»О- О, мы видим, что ~р(0) =О, Пример.
Положим 6 = Х и ~р (г) = — дпп Е. Соответствующий гомоморфизм группы Я(а) в группу Х обозначается через б)ш. Пусть с — класс тривиального 1-мерного а-модуля, н пусть ф — гомоморфнзм и»-»пс группы Е в группу Я(а). Ясно, что б)шов = 1бъ и, значит, Я(а) является прямой суммой групп Кег б)ш и Ес.
еуемма 4. На аддитивной группе Я(а) существует единственное умножение, дистрибутивное по отношению к сложению и такое, что [Е] [Е] =[ЕЗЕ] для любых конечномерных а-модулей Е и Р. Таким образом, группа Я(а) наделяется структурой коммутативного кольци Класс тривиального 1-мерного а-модуля является в этом кольце единичным элементом. Единственность очевидна. В группе Я(а) =Х(е') существует такое коммутативное н дистрибутивное по отношению к сложению умножение, что [Е][Р! =[ЕЗГ! при Е, рева,. Пусть Ен Еэ — конечномерные а-модули, 1, и 1г — их длины. Докажем, что [Е,! [Ее]=[Е~ЗЕ2], индукцней по числу 1~+1,.
Это очевидно, если 11+Ц~(2. С другой стороны, пусть г,— подмодуль модуля Ен отличный от 0 и ЕР Тогда по предположению индукции [Е,] [Ее! = [Р~ ЗЕЕ! и [Е~/Р~] [Ег] = [(Е~/Р~) ЗЕЕ!. С другой стороны, модуль (Е, ЗЕ,)/(р, ЗЕе) изоморфен (Е1/Е1)З З Е,. Следовательно, [Е11 [Ее] = ( [Е1/И + [И ), [ЕЛ = = [(Е~/Р,) З Ее! + [г", З Ет! = [Е, З Ег], что доказывает наше утверждение.
Отсюда сразу следует, что определенное выше умножение ассоциативно, поэтому на Я(а) определяется структура коммутативиого кольца. Наконец, ясно, что класс тривиального 1-мерного а-модуля будет в этом кольце единичным элементом, $7. ковач!юмегные модули 1тз Лемма 5. В колы1е Я(а) срл1ествует единственный инволютивный автоморчиь» Х т Х", такой, что для каждого конечно- мерного а-модуля Е имеет место равенство [Е[' = [Е*[, Единственность очевидна.
По лемме 3 существует такой гомоморфизм Х ~ Х' аддитивной группы Я(а) в себя, что [Е[" = [Е"[ для каждого конечномерного а-модуля Е Имеет место равенство (Х')'= Х, и, следовательно, этот гомоморфнзм биективен. Он является автоморфизмом кольца Я(а), так как модуль (ЕЗР)* изоморфен модулю Е" ЗР' прн любых конечно- мерных а-модул»х Е и Р.
т!. Т. Д. Пусть ~/(а) — универсальная обертывающая алгебра для а, а 0(а)" — пространство, дуальное к пространству 0(а). Напомним (гл. П, $1, и'5), что структура коалгебры на У(а) определяет на У(а)' структуру ассоциативной коммутативной алгебры с единицей. Для каждого конечномерного а-модуля Е отображение и +Тг(ив) алгебры 0(а) в поле й — это элемент те пространства У(а)". Если Π— +Е'-+Е- Е" — Π— точная последовательность конечномерных а-модулей, то тг — — тг + тг . По лемме 3 существует, и притом единственный, гомоморфизм, обозначаемый через Тг, аддитивной группы Я(а) в группу 0(а)', такой, что Тг [Е[ = те для любого конечномерного а-модуля Е.
Если через й обозначить тривиальный 1-мерный а-модуль, то легко проверить, что Тг [й[ — единичный элемент кольца У(а)'. Наконец, пусть Е и Р— копечномерные а-модули. Пусть и сии(а) и с — копроизведенне в коалгебре У(а). По определению 0-модуля ЕЭР (гл, 1, $3, и'2), если с(и)= 2„и;чаи[, то ив, = Х (и,) З(и,.)„. Следовательно, тенг(и) = ~~ Тг(и,.) Тг(и',.) е = ~ тг(и,.) г (и,'.)=(т ®т )(с(и)).
Это означает, что т тг = тев„. Таким образом, отображение Тг; Я(а)-э 0 (а)* — голоморфнзм колеи. Пусть а, и а,— алгебры Ли, 1 — гомоморфизм а, в а,. По каждому конечномерному а,-модулю Е определяется с помощью гомоморфизма [ некоторый агмодуль и, следовательно, элементы колец Я(аг) и Я(а,), которые мы временно обозначим через [Е), и [Е[ь По лемме 3 существует единственный такой гомоморфизм группы Я(а,) в группу Я(а,) (обозначаемый через Я ())), что Я ()) [Е[а=[Е[1 для любого конечномерного аа-модуля Е. При этом гомоморфизм Я()) является гомоморфизмом колец.
174 Гл. Рлп. Рлсщеплн1ные полупРостые АлГеБРы ли т Если О([) — гомоморфизм алгебры 0(а1) в алгебру У(а,), продолжающий гомоморфизм ) алгебр Ли, то следующая диаграмма коммутативна яш Я (а,) — Я (а,) 0 (аз) В 0 (а1)* В дальнейшем в качестве алгебры Ли а мы рассмотрим полу- простую расщепляемую алгебру Ли й. Кольцо Я(й) называется кольцом представлений алгебры Ли а. Для каждого веса Л ~ РРР обозначим через [Л[ класс простого а-модуля Е(Л) со старшим весом Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
