Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(1) т' и !' — градуированные алгебра многочлеиов (гл. Ч, и 5, и' 1) степени трансцгидгитностп !. (й) Алгебра л изоморфна алгебре многочленов от ! независимых переменных над полем я. Каноническая фильтрация универсальной обертывающей ал. гебры алгебры Ли а индуцирует фильтрацию в алгебре 2. Вследствие теоремы 1 из гл. 1, 5 2, и и'8 гл. 1, 5 2, алгебра 2 изоморфна 1', С учетом предложении 1О из Ком. алг., гл.
1П, 9 2, и' 9, отсюда следует, что (!) =Р(й). С другой стороны, теорема 1 и следствие 2 из нее показывают, что утверждение (!) верно, когда и — расщепленная алгебра Ли, Общий случай сводится к этому благодаря следующей лемме. Лемма 4'). Пусть А = 9 А" — градуированная я-алгебра, о)о й' — расширение поля й и А' = А З» й'. Предположим, что А' — градуированная я'-алггбра много'глгнов. Тогда А — градуированная й-алгебра многочленов. Так как А"=!8', то Ао=!е. Положим А = ® А" и Р= л)! = А„/А+. Тогда Р— градуированное векторное пространство и можно найти градуированное линейное отображение степени нуль 1: Р-»А+, композиция которого с канонической проекцией А+ — Р— тождественное отображение на Р.
Снабдим алгебру 8(Р) градуировкой, построенной по градуировке пространства Р (А1д,, сйар. 1!1, 5 6, и'6). Гомоморфизм Ьалгебр д: 8(Р) — >А, продолжающий гомоморфизм !' (А(д„сЬар. 111, $ 6, и' 1), является градуированным гомоморфизмом степени 0; индукции по степени немедленно показывает, что гомоморфизм д сюрьективен. Лемма 6. Лля того чтобы алгебра А была алгеброй много- членов, необходимо и достаточно, чтобы пространство Р бала конечномгрным, а отображение д — биективным. Если Р— конечномерное пространство, то очевидно, что 8(Р) — градуированная алгебра многочленов, и если гомоморфизм д биективен, то А — градуированная алгебра мпогочленов.
Обратно, предположим, что алгебра А порождена однородными алгебраически независимыми элементами хи ..., х, степени которых равны соответственно йи ..., с( . Пусть ') В леммах 4, 5 я 6 поле » произвольное, 184 гл. тпь глсщпплггшыи полтпиостыи ллгвипы ли з х, — образ элемента х, в пространстве Р. Сразу же проверяется„ что элементы х; образуют базис пространства Р, а поскольку степень элемента х, равна с(г, то алгебры 8(Р) и А изоморфны. В частности, для любого и имеет место равенство г((ш8(Р)" = = дпп А".
Так как гомоморфизм д сюръективен, то он обязательно биективен. Теперь немедленно получаем доказательство леммы 4. Действительно, лемма 5, примененная к (г'-алгебре А', показывает, что гомоморфизм у 8 1: 8(Р) 8 (г'. АЗ (и' биектнвен, а следовательно, биективен и гомоморфизм д. Пгвдложпнии 5. Сохраним обозначения ггредложенич 4 и обозначим через р идеал алгебры 8(а'), порожденньгй однородньгми элементами алгебры У степени»1. Пусть х~п.
Тогда для того чтобы элемент х был нильпотентным, необходимо и достаточно, чтобы У (х) = 0 при всех 1 ~ р '), Расширяя при необходимости основное поле, можно считать, что алгебра Ли а=й расщепляема. Предположим тогда, что х — нильпотеитный элемент. Для любого конечномерного линейного представления р алгебры Ли й и любого целого числа и > 1 имеет место равенство Тг(р(х)") = О, поэтому 1(х) = 0 для любого однородного элемента )ен У(й*) степени и 1 (теорема 1 (В)) и, следовательно, ) (х) = 0 для любых )ен Р.
Обратно, если У(х)=О при всех (~р, то Тг((ас$х)")=0 при любых гг' э! (теорема 1 (Й)), поэтому х — нильпотентный элемент. 'Замечания. 1) Пусть Р„..., Р, — однородные алгебраически независимые элементы алгебры У, которые ее порождают. Тогда система (Ро ..., Рг) есть 8(а")-регулярная последовательность (гл. Ч, $5, п' 5).
Действительно, расширив при необходимости основное поле, можно считать, что алгебра Ли а=а расщепляема. Пусть Ф = г) (ш й, а ((ег ° ° (ен-г) — базис ортогонального к () подпространства в й', Если пг — идеал в алгебре 8(й'), порожденный элементами Р„..., Рп ©о ..., (;)„-г, то факторалгебра 8(й*)/т изоморфна фактор- алгебре 80)")УУ, где У вЂ” идеал алгебры 8(()"), порожденной элементами ((Рг), ..., г'(Рг). По теореме 1 и по теореме 2 из гл. Ч, $ 5, и'2, 8(()У)УУ является конечномерным пространством. Поэтому и пространство 8(й')/(и конечномерно.
Вследствие одного результата из Комм. алг. отсюда вытекает, что семейство ') Милого показать (Коыап1 В., ь(е ягоир гергезеп(аиопз оп ро(упопт1а( ипи, Лыег, У. Ма(И., ХХХХХ (1988), 827 — 404, теоремы 1О и 15), что П вЂ” простой илеал алгебры 8(а') и кольцо 8(а')гр целозамкиуто. 4 О 8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВЛРИЛНТЫ 1ЗЗ (Рн ..., Р,, 0н ..., 0н 4) есть 8(й*)-регулярная последовательность, и а /от!4от4 это верно и для (Р„..., Р,). 2) Алгебра 8(а') — свободный градуированный модуль над /. Действителюю, это следует из предложения 4, замечания 1 н из леммы 5 гл. Ч, $5, п'5. е. Свойства групп Ап(о Лемма 6. Пусть )' — конгчномерное векторное пространство, 0 — конечная группа автоморфизмов пространств т', а о и э'— такие элементы пространства Р', что о'ф 0п. Тогда существует такая 0-инвариантная полиномиальная функция / на пространстве 1', что /(о') Ф /(о).
Действительна, для любого элемента з ен 0 существует полиномиальная функция д, на пространстве р', принимающая на элементе о значение 1, а на элементе зо' — значение О. Тогда функция у=1 — П д, принимает на элементе о значение О, 4МО а на элементах 0о' равна 1. Полиномиальная функция = П 1. д 0-инвариантна, равна О на элементе о и 1 на эле4мо ментах 0о'. ПРедложение 6. Пусть а — полупростая алгебра Ли и зги АН1(а), Тогда следующие условия эквивалентны: (1) з ен Ап(о(а); (!!) для любой инвариантной полиномиальной функции / на алгебре а имеет место равенство /4 з = /.
Расширив поле скаляров, можно считать, что поле алгебраически замкнуто, Импликация (!)=~-(!!) вытекает из предложения 3. Предположим, что утверждение (й) выполняется, и докажем справедливость утверждения (!). Ввиду предложения 3 и следствия 1 предложения 5 $5, и' 3, можно предположить, что з ен Ап((й, й) и что некоторая камера Вейля С устойчива относительно автоморфизма з. Пусть х ен С Д йа. Тогда зх он С. Если д есть Ж'-инвариантная полиномиальная функция на алгебре Ли о, то д(х) =д(зх) (теорема 1(1)). По лемме 6 отсюда следует, что эх он йтх.
Поскольку зх ~ С, то х = эх (гл. Ч, $3, п'3, теорема 2). Тогда з)э=1йо и зон АН(о(й, Ц (э 5, и'2, предложение 4). Следствие. Группа АН1о(а) открыта и замкнута в группе АН1(а) в топологии Зарисского. Предложение 6 показывает, что АН1о(а) замкнута. Пусть й — ал гебраическое замыкание поля й. Группа АН1(ай!й)/Ап(о(абай) конечна ($ 5, и'3, следствие 1 предложения 5); следовательно, 1ЗЗ Гл.
Ечп. РАсщепленные полупРостые АлГеБРы ли группа АН1(а)/АП1,(а) тоже конечна, Так как смежные классы группы АН1(а) по подгруппе Ап(ь(а) замкнуты, то подгруппа Аи(ь(а) открыта в группе Ац!(а), б. Центр универсальной обертывающей алгебры В этом пункте мы фиксируем некоторый базис В системы корней )7, Пусть Я+ — множество корней, положительных отно- 1 т сительно базиса В.
Пусть р= — гт а и б — автоморфизм ат- 2 аЙ„ гебры 8Д), который переводит любой элемент х ~ й в х — р(х) и, следовательно, функцию р на пространстве й* — в функцию АР-Р р(Х вЂ” р). Теогема 2. Пусть У вЂ” универсальная обертывающал алгебра алгебры гуи й, Х вЂ” ее центр, )Г с: У вЂ” универсальная обертывающая алгебра алгебры Аи 5 (отождествляемая с алгеброй 8(5)), (/' — централизатор алгебры )Г в алгебре (/, ф — гомоморфизм Хариш-Чандры 5 6, п'4) из (/а в )Г относительно базиса В. Обозначим через 8 (5)н множество У7-инвариантных элементов алгебры 8 (ч). Тогда (б о ф)1Я вЂ” изоморфизм алгебры Х на алгебру 8(ч)~, не зависящий от выбора базиса В.
а) Пусть Ро+ — множество доминантных весов системы корней Й, в~%', Агарь+, 1А=вА. Тогда модуль Х(1А — р) изоморфен подмодулю модуля Х(А — р) 5 6, п 3, следствие 2 предложения 6) и ф(и)(А — р)=ф(и)(1А — р) для любого элемента и~Я (5 6, и'4, предложение 7).
Таким образом, полиномиальные функции (боф)(и) и (баф)(и) о ГЕ, определенные на пРостРанстве 5*, совпаДают на множестве Ро.Р. Множество Р+ь плотно в пространстве 5' в топологии Зарисского. Это легко получить, если отождествить пространство 5* с пространством йв, используя базис, образованный фундаментальными весами Гьа, и применяя предложение 9 из Л1д., сйар.
1Ч, $ 2, и'3. Таким образом, имеет место равенство (б о ф) (и) = (б о ф) (и) о и, что доказывает включение (Ьоф)(Х) с: 8(Цы. б) Пусть т1 — изоморфизм алгебры /(й) на алгебру 8(э)а', определенный в следствии 2 теоремы 1 из п' 3. Рассмотрим канонический изоморфизм й-модуля П на й-модуль 8(й) (гл. 1, 5 2, и' 8), и пусть 0 — ограничение этого изоморфизма на подалгебру Х. Тогда 0(Х) =/(й). Пусть г — элемент алгебры Я, 5 5 О С!!ММЕТР!!ЧВСКИВ и!!ВАРИА!!ТЫ 187 фильтрация которого в алгебре (I не превосходит 1. оl ~ (0) ',ч г 8(6) ' 8(й)" Будем использовать обозначения из О 6, и'4, и положим г = Х Х,,а,),(„, ),( .)и((д1), (т!), (р!)).
Е а!+Еж!+АР!~! Пусть о((о!), (т,), (р;)) — одночлен Ха' ... Ха" Н"' ... Н !ХР' ... Х" -а ''' — а ! ''' 1 п ''' а ' ! и ! и вычисленный в алгебре 8(й). Обозначив через 85(й) сумму однородных компонент алгебры 8(й) степеней О, 1, ..., 5(, получаем, что О (г) — = ~ Х(а,), (,.), (Р,)о ((57!), (т,), (р!)) (гное 8! — ! (Ф)), г, а,+5. т1+Е Ра=! откуда следует, что (51 ' 0) (г) = г А!о!, !ы.), 5о!о ((О), (т,), (О)) (!по!( 81-! (8)) В ма=! и, значит, (т1аО)(г)— = ф(г) (п!об 81 !(6)).
(3) в) Покажем, что отображение баф; Х- 8(6)5Р биективно. Канонические фильтрации в алгебрах (7 и 8 (О) индуцируьот фильтрации в алгебрах У, /(О), 8(6)5Р и гомоморфизмы О и т1 согласованы с этими фильтрациями, так что нг(т1 а О) — изоморфизм векторного пространства Ог(Л) на векторное пространство дг(8(8)!Р). Из формулы (3) мы получаем, что дг(ф) = = нг(5) а О), и ясно, что гомоморфизм нт(6) тождествен. Следовательно, гомоморфизм От(6аф) биективен, поэтому биективен и гомоморфизм 6 о ф Я -+ 8 (ь)!1' (Кон55, алг., гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
