Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 45
Текст из файла (страница 45)
и 01, фм также устойчивы относительно этого гомоморфизма. Если алгебра Ли й расщепляема, то подалгебра 0; содержит некоторую подалгебру Бореля 6, причем (1 ~ п,(0;):э и ($3, и'3, предложение 13). Теоггмк 3. Предположим, что поле й алгебраически замкнуто. Пусть й — полупростая алгебры Ли и а — ее разрешимая подалгебра. Тогда в й существует подалгебра Бореля, содержащая подалгебру и. Ввиду следствия ! (Б) предложения 4 гл. Л1, 3 5, п'2, можно предположить, что подалгебра а разделяющая. Тогда существует коммутативная подалгебра ! алгебры й, состоящая из полупростых элементов и такая, что алгебра я будет полу- прямым произведением ! и п,(а) (гл.
ЧП, $ 5, п'3, следствие 2 предложения 6). Существует (следствие 2 теоремы 2) такая параболическая подалгебра и алгебры Ли й, что п„(я) с: и, (11) и нормализатор подалгебры п,(а) в алгебре Ли й содержится в я; таким образом, я с: я. Пусть (1 — подалгебра Бореля алгебры Ли й, содержащаяся в р, и (! — подалгебра Картана алгебры Ли й, содержащаяся в К Тогда 5 — подалгебра Картана в 0, и существует такой элемент з е= =Лп(, (0), что з(!) с 5 (гл. И1, 5 2, п'3, предложение !О, и гл. у11, $ 3, п'2, теорема 1).
Э гг. ХлАсСы ггггльпОТЕНТных эзементов И вг "ТРОЯКИ ЕО3 Тогда з (пв (г!)) = ггв (г)) (гл. Ч11, 5 3, и' 1, замечание !), так что з(а) =з(!)+ з (пв(п)) с= 9+ э(ггв(г))) = э+ пв(г)) с: Ь. Следствие. Если поле Ь алгебраически замкнуто, то любая максимальная разрешимая подалгебра алгебры Ли й является борелевской.
5 11. Классы иильпотентнык элементов и йвв-тройки В этом параграфе через й обозначается конечномерная алгебра Ли. 1. Определение й'вв-тройки Определение !. "В!в-тройкой в алгебре Ли й называется такой набор (х, Ь, у) элементов из й, отличный от (О, 0„0), что [Ь, х) =2х, [Ь, у)= — 2у, [х, у) = — Ь. Пусть (х, Ь, у) есть е!в-тройка в алгебре Ли й.
Линейное отображение т алгебры Ли ь!(2, Ь) в алгебру Ли й, такое, что т(ХЭ) =х, т(Н) = Ь, т(Х ) = у, — ненулевой (поскольку алгебра Лн ь!(2, Ь) проста) инъективный гомоморфизм, образом которого является надпространство Ьх+ ЬЬ+ Ьу, Значит, мы получаем каноническую биекцию множества ь(;троек алгебры Ли й на множество инъективных гомоморфизмов алгебры Ли ь!(2, Ь) в алгебру Ли й.
Если алгебра Ли й полупроста и (х, Ь, у) есть ь!в-тройка алгебры Ли й, то х и у — нильпотентные элементы алгебры Ли й, а Ь вЂ” ее полупростой элемент (гл. 1, $ б, и'3, предложение 4). Лемма 1. Пусть х, Ь, у, у'~ й. Если (х, Ь, у) и (х, Ь, у')— две Е!в-тройки алгебры Ли й, то у =у'. Действительно, у — у'ееКег(айвх) и (айвЬ)(у — у') = — 2(у — у') так что эндоморфизм ай,х инъективен в пространстве Кег(р+ + абв Ь) для любого целого р ) 0 ($1, и'2, следствие предложения 2). Лемма 2. Пусть и — така.я подалгебра алгебры Ли й, что для всех и ен и эндоморфизм ай, (и) нилыготентен.
Пусть Ь ы й— такой элемент, что [Ь, в) = и. Тогда е' вгм. Ь=Ь+ и. Ясно, что е в' .Ь с: Ь+ и. Пусть о ~ и. Докажем, что Ь+ о я е'~в~ г. Ь. Достаточно доказать, что Ь+ о еи е вг г. Ь+ +ЖРп для любого р)~1 (потому что %"гг=О для достаточно большого р). Это очевидно при р = 1, так как Жги = и. Предположим, что мьг доказали существование таких элементов ур еи и 204 Гл. Гп!. Ркс!пепле!и!ые полупРОстые АлГГГРы лп 1 и гр еи МРа, что Й + о = е'"! "Р .
Ь + 2 . Так как (адг Й) (и) = и, то (ай, Ь)[и — биективное отображение подпространства и в себя, и его ограничение на Жти, относительно которого Ютп устойчиво, тоже биективно; следовательно, существует такой элемент 2 ~ Ж и, что 2Р = [2, Й]. ТОГда ~41(эре ) Й ьгаел) еи [ 1!] + рР+! поэтому е'гв(эл+ь))! ~ Й+ о — 2 1 [2, Ь] + ф'Р+!н=Й+ о+ йРЕ1н, и наше утверждение доказывается индукцией по р, Лемма 3. Пусть к~ 3, Р=Кег(адх), )=1ГП(абх).
Тогда [Р»] с: 1 и РП 1 — подалгебра алгебры Ли й. Если иаир и о еи), то существует такой элемент ю еи й, что о = [х, Ге]; следовательно, [и, о] = [и, [х, ю]] = [х, [и, ес]] — [[х, и], ю] = [х, [и, ш]] ~ ». Однако, Р— подалгебра алгебры Лн й, следовательно, [РП» РП»] 'РП» Лемма 4.
Пусть (х, Й, у) и (х, Й', у') — две М;тройки в алгебре Ли». Тогда существует такой элемент 2 е= й, !то эндоморфизм ад,г нильпотентен, и выполняются равенства е'гц~х — х е'41*11 =Ь' е'гв'у =у'. Пусть и = Кег(айх) П1ГО(ай х) и»р —— Кег(а!1 Ь вЂ” р) для любого реп У. Ввиду результатов из 5 1, и'3 (примененных к присоединенному представлению алгебры Ли Йх+ Йу+ ЬЬ в пространстве й), мы получаем, что ес: ~ йр, следовательно, эндор>О морфизм аб, и нильпотентен при любом и ~ и и [Ь, и] = и. Таким образом, [х, Ь' — Й] =0 и [х, у — у'] =Ь' — Ь, а значит, Ь' — Ьеип.
Вследствие лемм 2 и 3 существует такой элемент 2 еи и, что е ~! Ь =Ь'. Так как 2~ Кег адгх, то г' !'х =х. Лемма 1 показывает, что е"1'у =у'. Ч. Т. Д. Пусть 6 — группа автоморфизмов алгебры Ли )1; 61,-тройки (х, Ь, у) и (х', Й', у') называются 6-сопряженными, если существует такой элемент д ~ 6, что дх=х', д)1 =Ь', ду=у'. Пведложеиие 1. Пусть 6 — группа автоморфиэмов алгебры Ли й, содерэхащая группу Ап1,(й), а (х, Ь, у) и (х', И', у') суть Ы,-тройки в алгебре Ли й.
Положим 1=йх+ ЬЙ+ Йу, !'= Йх'+ ЙЙ'+ Йу'. Т Э П. КЛЛССЫ «!ИЛЪПОТЮ1ТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И «1кТРОИКИ 205 Рассмотрим следующие условия: (!) элементы х и х' 6-сопряжены; (й) В(з-тройки (х, Ь, у) и (х, Ь', у') 6-сопряжены; (.И) надпространства 1 и !' 6-сопряжены. Тогда (!) ч=:. (й)=:-(«й. Если поле й алгебраически зал«кнута, то эти три условия эквивалентны. (1)ч=ь(й). Это следует из леммы 4. (й) =~(й!). Это очевидно. Предположим, что поле й алгебраически замкнуто, и дока- жем, что (И!)~(1). Рассмотрим прежде всего случай 1= !'= =3 =!«1(2, я).
Поскольку эндоморфизм аб,х нильпотентен, то эидоморфизм х пространства й' нильпотентен (гл. 1, $6, тео- рема 3). Поэтому существует такая матрица А ~ 61. (2, й), что АхА =.х', и, следовательно, существует автоморфизм а алгебры Ли в!(2, й), для которого а(х)=х'. Однако а~ АП1,(й) ($5, и'3, следствие 2 предложения 5).
Перейдем к Общему случаю. Предположим, что пространства 1 и !' 6.сопряжены, тогда достаточно доказать, что элементы х и х' 6-сопряжены. Можно предположить, что 1= !'. По предыдущему существует такой элемент [) ЕИАИ1,(!), что [1х=х'. Но если ! ен ! — такой элемент, что эндоморфизм ао«! нильпотентен, то эндоморфизм ад,! ниль- потентен. Следовательно, автоморфизм (! продолжается до эле- мента из группы АИ1,(й), Замечание. Три условия из предложения 1 будут эквивалентны, если предположить, что й = йг (см. упражнение 1), 2.
51-тройки в полупросгых алгебрах Ли Лемма 5. Пусть )г — конечномерное векторное пространство, А и  — эндоморфизмы пространства 7. Предположим, что эндоморфизм А нильпотенген и [А, [А, В]] =О. Тогда вндоморфизм АВ нильпогентен. Положим С = [А, В]. Поскольку [А, С] =О, при любом целом р~О имеют место равенства ]А, ВС |=[А, В]С"=С"', Следовательно, Тг(СР) =О прн всех р,Р-.1, что доказывает нильпотентность эндоморфизма С(А!у., с(«ар. ЧП, $3, и'5, сото!- !а«ге 4 де 1а ргоровйюп 13), Пусть теперь й — алгебраическое замыкание поля й, а Х ен й и х~ к'8«й таковы, что АВх= Хх, хчьО.
Соотношение ЦВ, А], А] =О показывает, что при любых целых р)~О имеет место равенство [В, АР]=р[В, А]АР '. 206 ГЛ. 1'Н!. РАСН1ЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛН т Пусты — наименьшее целое число, для которого Л'к=О. Тогда ХА' х=А" АВх = А'Вх = ВЛ'х — [В, А']х = — с[В, Л]А' х. Так как зндоморфизм [В, А] нильпотентен и Л' 'хФ О, то 1 = О. Таким образом, все собственные числа эндоморфнзма АВ, принадлежащие полю Й, равны нулю, что доказывает утверждение леммы. Лел1ма 6.
Пусть Ь, хенч таковы, что [й, х] = 2х и й~(абх)(в). Тогда существует такой элемент у ~ а, что набор (х, Ь, у) равен или тройке (О, О, О), или ь(-тройке. Обозначим через а' разрешимую алгебру Ли Ьй+ йх. По- скольку х~ [й', ч'], эндоморфизм аб,х нильпотентен (гл. 1, $5, и'3, теорема 1).
Пусть п — ядро этого эндоморфизма. Так как [ад й, ас( х] =2 ай х, то (ас( й) пс: и. Пусть г ~ й — такой элемент, что й= — [х, г]. Положим М„=(абх)" и для любого целого и .О. Если и > О, то мы получаем 6 1, и' 1, лемма 1), что [ас( г, (ад х)'] = и ((ад й) — и + 1) (ас( х)" '. Следовательно, если и ы М„ ,, то и ((ай Ь) — и + 1) и ен (ай г) (ай х) и + М„, Так как (ай Ь) и ~ и, то из этих выражений следует, что ((аб й) — и + 1) (п Д 1И„1) с: п (),И„, Эндоморфизм ад х нильпотентен, поэтому для достаточно боль- ших и мы получаем 1И„= О, Следовательно, собственными числами эндоморфизма аб й]п будут целые числа РО. Вслед- ствие этого ограничение зндоморфизма аб й + 2 на простран- ство п обратимо.
НО [й, г] + 2г е- =и, поскольку [х, [й, г] + 2г] = [[х, й], г] + [й, [х, гЦ + 2 [х, г] = = [ — 2х, г]+ [й, — Ь]+ 2[х, г] =О. Следовательно, существует такой элемент г' се п, что [Ь, г'] + + 2г'=[Ь, г]+ 2г. Это означает, что [Ь, у] = — 2у, если поло- жить у=г — г'. Так как [х, у]=[х, г] = — Ь, это завершает доказательство леммы. ПРедложение 2 (Джекобсон — Морозов). Предположим, что алгебра Ли й полупроста. Пусть х — ненулевой нильпотентный элемент алгебры Ли ч. Тогоа существуют такие элементы й, у ен ч, что (х, й, у) есть Р1;тройка.
Пусть и = Кег (аб х)'. Если г сн и, то [аб х, [аб х, ас( гЦ = = ас(([х, [х, гЦ) = О. По лемме 5 эидоморфизм ад хо ад г ниль- С 4!С КЛАССЫ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И С.-ТРОСТКН 207 потентен, а следовательно, Тг(ад х ад г) =О. Это показывает, что элемент х ортогонален к надпространству и относительно формы Киллинга Ф алгебры Ли й. Так как Ф ((ай х)г у, у') = Ф (у, (ад х)з у') при любых у, у'ен й и форма Ф невырожденна, то ортогональ- ным подпространством к подпространству и будет образ эндо- морфизма (ад х)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
