Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 49
Текст из файла (страница 49)
рмо Р 224 Гл. 1'п». РлслпГплп»пые полтпРостыГ ллгвБРы ли 6 Заменяя во второй сумме р на р — 1 и перегруппировывая члены, получим ()и+1)(айх»ы)у»ы+и= 2„у»ы-Р+1)А к»п Р', (19) Р Р' 1 где Г'т + и — р + ! — Ь ' Ар — — (т — р+ 1)1 !+ л»+и — р — Ь Полагая г=т+и — р — Ь, можно переписать Ар также в следующем виде: Ар — — —,(т — р+ 1)(г+ 1)г(г — 1) ... (г — р+2)+ 1 +, (г — т)г(г — !) ... (г — р+ 2) = ! = —, г (г — 1)...
(г — р + 2) [(и — р + 1) (г + 1) + р (г — т)) = (»и+!)+и — р — 1 — Ь Подставляя это в формулу (!9), мы получаем формулу (17ы+1), откуда следует утверждение (!), / Ь '» Предположим, что ~ ~енА' при р <и. Тогда для всех Р многочленов Р я ле'11 ) степени <и, для которых Р(Х) с Х, Р(Ь) будет лежать в А' (и'4, следствие предложения 2). Таким образом, учитывая формулу (!6) и равенство т=и, имеем Ь и 1 Ь „Ф„,ы п-1 + ~~~ у»п-Р) Р )К»п-Р) Е= Ап / 2и — — ! — Ьд р-О Отсюда утверждение (Б) выводится индукцией по и.
б, Бииорлдки в универсальной обертываюи!ей алгебре раси!еиленной редуктивной алгебры Ди Пусть й — редуктивпая алгебра Ли над полел» л1, »» — рас* щепляющая подалгебра Картава алгебры Лн 0 и й=й(6, «) Я 2, и'1, замечание 5). л'>и порядки шгвлллв »25 Определение !. Решетка Я в пространстве подалгебры Картона «называется дозволенной ') (относительно алгебры Ли й), если Н, е= Я и а(УФ) с Е при каждом а ~ В. Замечания. 1) Пусть  — базис системы >с. Решетка Я в « является дозволенной тогда и только тогда, когда Н, ен Я и а(Я) ~ Х при любых а е= В.
2) Пусть с — центр алгебры Ли й. Для того чтобы решетка Я в «была дозволенной, необходимо и достаточно, чтобы (г(>с~) с: с: Яс: Р(В'У)9с. При этом Я Д Юй — дозволенная решетка в подалгебре Картана «Д одй алгебры Ли Я)й. Однако могут существовать такие дозволенные решетки Я, что Я Ф (Я Д Юй)>х> 9(ЯП с) (см.
3 13, и'1, (1Х)). 3) Если алгебра Ли й полупроста, то дозволенными решетками в подалгебре Картава «являются такие подгруппы Я. векторного пространства «, что >',)()т'у) с: Я с Р(р>у). В дальнейшем в этом пункте мы предполагаем, что зафиксированы некоторая расщепленная редуктивная алгебра Ли (й, «), базис В системы корней В = >с (й, «) и для каждого а ен В такая пара элементов (х„у,), что у,яй ', х,енйв, [у„, х„)=Н». (20) Если через пе (соотв.
и ) обозначить подалгебру Ли алгебры Ли й, порожденную элементами хи (соотв, у ), то, как известно (3 3, п'3, предложение 9(!!!)), й=п 9«Щп+, (21) (>'(й)=5>(п )с3)а(>'(«)с3)„(>(н.>) (22) (где через (>(й), ... обозначены универсальные обертывающие алгебры алгебр Ли й, ...). Обозначим через И„Х-подалгебру алгебры (>(и+), порожденную элементами хс»> при а ~ В н и ~ й). Пусть )(>т — группа Вейля системы корней г(, а В~ — множество корней, положительных относительно базиса В. Лемма 5. (>) се+ — решетка в векторном пространстве (>(и+).
(й) Для любого корня а с= В имеет место равенство а П(т'(йа) = Е Ххс»), »ен По определению г.-модуль Я+ порождается элементами хы' = П хы и», 'у Фо) ') В оригинале регине. — Прим. перев. 8 Буре»»» 226 гл. )п1 Р(с(исплеппы(: полгпРОсты(' лл1сБРы лп где т~М, (р=(ф(!))енВ' и п=(п(1))енМ'. Снабдим алгебру В(и+) градуировкой типа Я(В) таким образом, чтобы все подпространства 9а(а ен Вл) были однородными степени а.
Тогда одночлен х(м описанного выше вида однороден и его степень равна и (1') р(1) ~ О((с). 1:! л (24) (25) Одночленов такого вида данной степени () конечное число, и они порождают над (е однородную компоненту степени д алгебры У(п„). Это доказывает утверждение (1). Если а ~ В, то Я+ ПО(йа) содержится в сумме однородных компонент, степени которых кратны и. По предыдущему под- пространство И+ () 0(9') порождается элементами х(л), для ко- торых ~ п (1) ф (1) ен Мщ Отсюда следует, что ф (1) =. а при всех 1' (поскольку  — базис системы корней (с). Поэтому х(л) Г(л (!)) х(л (л))— (л(1) + ... + л(т)Н .!л(1)+ "+л(.)) . а ''' а ц(1)! ...
л(т)! Таким образом, Ил () И(9а) ~ ®Хх(л), что и доказывает утверл ждение (В). Ч. Т. Д. Если Е и г суть Х-подмодули в (л'(9), то далее в этом параграфе мы будем через Е.г обозначать Х-подмодуль мо- дуля У(9), порожденный произведениями а(), где а я Е, () гн г". ПРидложвнив 3. Пусть Я вЂ” дозволенная решетка в подал; гебре Картана 1). Пусть Ил, И, Иь суть Х-подалгебры ал- гебры 0 (9), порожденные соответственно элементами х(л) (а с= В, /Ь1 п ен М), у(л) (а ен В, и ен М), ( ~ (т) ен лэ, и я М), а Я вЂ” Х-пода и алгебра алгеоры У(9), порожденная множествами Ил, И, Иь, (!) Я вЂ” бипорядок в биалгебре (1(9). (В) И=И- ° Ио ° Ил, И()1)= лэ, и при любом а ен В И() 9'=Хх„И() 9-' =Ху,, По лемме 5 и предложению 2 ИР, И, И, — порядки в (е-алгебрах 0(ил), В(п ), 0(1)) соответственно, и ( ) ~Ь+()~ ~яИ~ для любых йехие, ()енХ, ряМ.
(23) Р Положим Я=И-.ЯР.Я+ с: У(9). По формуле (22) 2' — ре- шетка в (л'(9). По построению И .Я~Я, й,".И., ~ У, б % )а погядки <пвВАллв в то время как из леммы 3 и формул (23) следует, что И„.У с 2', а ' Ио с- а . Пусть а ен В, и я Х, г я М, (р = (ф (()) я В' и (л) (1), ..., т(г)) сн 51'. (26) (27) Покажем, что х< )у() (<в ... у<.(гв ~ ~ (28) а а ()) ' ' ' а (р) ил и ввиду условия (25) что гх(а) у(м и)) у(т (г))1 е- ~ (29) а ' ап) '"' а(р) Доказательство проведем индукцией по г. Рассматриваемый коммутатор представляет собой сумму членов вида у(ар (и) у<м (р)) Гх(а) у(ар (р+<нт у(ар (р+р)) у(ар (а)) (30) ан) ''' а(р) с а ' р(р+» з р(а+и ..
р(р) При а~ ф(у+ 1) элементы ха и у, р» перестановочны. Сле- довательно, )"х(а), у<"('р(Р++»Н))=0. Еслй а=<р(Ь+1), то выраже- ние(30) является, согласйо формуле(17 ), суммой выражений вида Гд — Ь~ < и)) ... у('"(Р))у<'"(Р+»-Р)~ ~х(а-Р)у<"'(Р+з))...
у('"(')' (31) Уа(» ' а(М а(РР» ~, р,Г( а рыба) ' ф() где д я Е, р я ()) — (О), Ь ен 7в". Из предположения индукции и условий (24) и (26) следует, что выражение (31) принадлежит решетке .У. Таким образом, мы доказали формулу (28). Согласно (28), х<')И с: Ы; следовательно, согласно (25) и (27), х~") У ~ У, откуда И+ . У с: .У и У.Ыс И .Иа.Ус=И .Усы, Таким образом, .У есть Х-подалгебра в (7(8); следовательно, И=Я. Если с — копроизведение в коалгебре (7(8), то с(И) с: с: И З И (и'2, предложение !).
Пусть у — коединица в ко- ОЬ)') алгебре У(8). Так как у(х("') = у(у(")) = у ~~ Я = 0 при п > О, то у(И) с: Х. Это доказывает утверждение (1). С другой сто- роны, из предложения 2. п'4 вытекает, что И П () = ~' П () = Ир П () = Ж и, аналогично, ввиду леммы 5 Ипй"=И Пй"=их« Это доказывает утверждение (11). 228 гл. шп. гксщгплгнныв полхпгостыг клггвгь< ли б Замечание. 4) По предложению 5 из 2 4, и'4, существует единственный автоморфизм О алгебры Ли й, такой, что 0(х,) = у, и 0(у„) =х, при всех а ~ В и 0(п) = — и при всех Ь ги 5, причем 0'=1. Из построения решетки Я следует, что автоморфизм алгебры П(й), который продолжает О, переводит решетку И в себя. Слвдствиг 1. Положим У =И() й.
Тогда У вЂ” порядок в алгебре Ли д, устойчивый относительно автоморфизма О. Имеет место разложение У=Уб+ ~' (У() й'). Для любых ае— = В и я пги<( отображения (адх,)"/п1, (аду )<п) переводят решетки Я и У в себя. Первое утверждение очевидно. Второе получается из сравнения градуировок типа <г'()х) в П(й) и И. Третье утверждение вытекает из леммы 2 п'5. Слвдствии 2. Пусть и<~ От.
Тогда существует элементарный автоморфизм ф алгебры Ли й, перестановочный с О, который переводит решетки У и И в себя и служит продолжением автоморфизма и. Достаточно исследовать случай, когда автоморфизм в имеет вид з„(а~В). Заметим, что эндоморфизмы абх„и аду, пространства П (й) локально нильпотентны, иначе говоря, для каждого и еп П (й) существует такое целое число и, что (аЙ х,)" и= =(ад у,)" и = О. Это позволяет определить эндоморфизмы е' "ь = Ю вЂ” <(адх„) и е'г" пространства П(й). Легко проверить нее-О посредственно, что эти автоморфизмы алгебры П(й) переводят ре- шеткуЯ в себя. Положим ф =е'~ "ье'~гье'~ "ь, ф,=е'~гае'~" е' Так как <р,) й =фз ~й ($2, и' 2, формула (1)), то ф< — — фг. Положим <р<=фг=ф.
Имеет место равенство 0<рО '=ф, так что О и ф перестаиовочны. С другой стороны, <р<в =и вследствие леммы 1 из $2, и'2. Следствии 3. Пусть аеи)<. Если хгиУ() йь инеи Х, го х<">~ И и эндоморфизм (адх) <п1 переводит решетки У и И в себя. Это непосредственно вытекает из построения решетки И и следствия 1, если а гп В. В общем случае существует такой элемент <с еи %', что ш (а) ~ В (гл. «"1, О 1, п'5, предложение 15). По следствию 2 существует автоморфизм ф алгебры Ли который переводит решетки У и И в себя, а подпространство йь в й <', откуда мы получаем доказываемое следствие, используя перенос структуры под действием <р. 2 1а пОРядки шеаклле Следствиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
