Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(о — Х вЂ” 1)(п — Х) х= 1!л-1 (ох — йх). Л Ввиду а) отсюда следует, что сх — йхеииИ при всех п~ 1Ч, поэтому (о — Х)х=О. 234 Гл. ГН1. РАсщепленные полупРостые АлГеБРы ли 8 г) Пусть ). — собственное значение эндоморфизма о, и пусть (А — а, Л+ Ь) — отрезок в множестве Х, содержащий все собственные значения эндоморфизма о. Рассмотрим многочлен Р(Т) ( 1) ь ( Т вЂ” ). — ! ) ( Т вЂ” Л вЂ” 2) ... (Т вЂ” Л вЂ” Ь) х (Т вЂ” Л+ 1) (Т вЂ” А+ 2)... (Т вЂ” Л+ а) х а! Тогда Р(Х)сХ, Р(Л)=1, Р(р)=0 при )Г~Х()(Л вЂ” а, Л+Ь) и )Г ~ л. Вследствие а) Р(о)(м) с м. Ввиду в) эндоморфизм Р(о) проектирует пространство М Эх(1 на собственное подпро- странство, соответствующее собственному значению Л.
Ч. Т. Д. Зал1ечание. 1) Если мы предположим только, что эндомор- физм о приводится к диагональному виду с целыми собствен- ными значениями, то эндоморфизм и не обязательно будет приводиться к диагональному виду (рассмотрим, например, М=Х~, полагая и(х, у) =(у, х) при всех (х, у) ~ М). Пусть й, (), )7, Я, У", У, И такие же, как в п' 7, и пред- положим, что У вЂ” порядок Шевалле в расщепленной алгебре Ли (й, 1)).
Опгеделгние 3. Пусть Е есть й-л(одуль. Скажем, что ре- шетка ег в л1одуле Е допустима (относительно решетки У), если выполняются следуюи(ие эквивалентные условия: (1) алгебра И отобраусает решетку 8' в себя; (й) для любых а ~ )7, х ен Уь, пя Р), бы Ж решетка 8 устой/Ь~ нива относительно эндоморфизмов ~ ) и хм', 'хп ! Замечания.
2) Пусть р — присоединенное представление алгебры Ли й в пространстве П(й) и а, х, п, 6, такие же, как в приведенном выше условии (й). По лемме 2 р(х("1)ИсИ. С другой стороны, если рен)ч), то ((")) в =('")»- =-("'"')"' т)т й 'Г') (и' 5, формула (!3)), поэтому рЦ )).И с И. Это доказы- Р вает, что И вЂ” допустимая решетка в алгебре ()(й) и, следа. вательно, У вЂ” допустимая относительно присоединенного представления решетка в алгебре Ли й. 3) Пусть Š— консчномерный й-модуль, д' — допустимая решетка в модуле Е и с — центр алгебры Ли й.
По лемме 6 каждый элемент центра с определяет в модуле Е эндоморфизм, в 'э 1е поездки шевэлле 23о который приводится к диагональному виду. Следовательно, модуль Е полупрост (гл. 1, э 6, и' 5, теорема 4). Таким образом, Š— прямая сумма простых ль й-модулей, на которых ь действует как гомотетия. По лемме 6 д' = т!э (д* () Ех), и для любого веса Л модуля Е Л(М) с Х. 4) Если алгебра Ли й полупроста и если Ж=!'„!(Ич), то по теореме 3 (й) условия (1) и (й) определения 3 эквивалентны условию (й!) для любых аен Р, хэви", п еи М решетка д' устойчива относительно эндоморфизмов хы>.
5) Пусть  — базис системы корней Р; в приведенных выше условиях (й) и (ш) можно заменить условие „аеир" на „аИ ~ В()( — В)" (там же). Теоэвмл 4. Пусть Š— конечномерный й-модуль. Тогда следую. щие условия эквивалентны: (1) в модуле Е существует допустимая решетка; (й) каждый элемент решетки эв определяет в модуле Е эндоморфиэм с иелыми собственными значениями, который можно привести к диагональному виду.
(1)=~.(й). Это следует из замечания 3. (й)~(!). Предположим, что условие (й) выполнено, и докажем, что выполнено условие (!). По теореме 4 из гл. 1, 5 6, и' 5, можно предположить, что элементы из центра с определяют гомотетии модуля Е и что Š— простой Ый-модуль. Пусть  — базис системы корней К и й = и 9 ч(!эп+ — соответствующее разложение алгебры Ли й. Пусть Л вЂ” старший вес сдй-модуля Е и етая Ех — (О), Положим д'= И.е. Ясно, что Я. д'~:Ю. Так как модуль Е прост, то В(й),е=Е и решетка д' порождает модуль Е как векторное пространство над ье. При и еи эе' /Ь'! /Л(й)! и пя)Ч! имеет место равенство !Л )е=!Х )е ~Ее. Следо- 1,п) х и вательно, (% ('! У (Ф)) .
е = Хе. Таккак У(п+),е=О, то д'=(сь() У(п )).е ввиду предложения 3. Тогда из теоремы 3 (Рй) следует, что д' есть Х-модуль конечного типа. Следствии. Если алгебра гуи й полупроста и если М =(г(Йч), то у любого конечномерного й-,яодуля есть допустимая решетка. 236 гл. юп. гхсгаяплзнные полэпгостыя хлгззгы лп ! $13.
Расщепляемые простые алгебры Ли классического типа В это,я параграфе для каждого типа классических раси(епляемых простых алгебр 7и будут явно описаны: (1) алгебра этого типа, ее размерность и ее расщепляющне подалгебры Картана; (П) ее дуальная система корнеи; (Ш) ее подалгебры Бореля и параболические подалгебры; (1Ч) ее простые фундаментальные представления; (Ч) те простые фундаментальные представления, которые являются ортогональными или симплектическимн; (Ч1) алгебра инвариантных полиномиальных функции; (Ч11) некоторые свойства групп Ап! й, Ап1э3 и Ап(,й; (Ч111) ограничение формы Киллинга на подалгебру Картана; (1Х) порядки Шевалле. 1, Алгебра Ли типа А~ (1~~1) (1) Пусть Ч вЂ” векторное пространство размерности 1+ 1 над полем й, й — алгебра Ли 6!(Ч) эндоморфизмов пространства )т со следом нуль и (е,),<,<,~, — базис пространства Ч.
Отображение, которое каждому элементу алгебры Ли й ставит в соответствие его матрицу в этом базисе, позволяет отождествить алгебру Ли й с алгеброй Ли й!(1+ 1, й) матриц со следом нуль. Известно, что й полупроста (гл. 1, $ б, п' 7, предложение 8). Напомним (А1а., свар. 11, $10, п' 3), что через Еп мы обозначаем такую матрицу (и р), что аы — — 1 и а„, = 0 при (т, р)Ф ~(1, 1). Матрицы Е, (! (1, 1~К1+ 1, 1Ф!), Е,, — Е,+и,+~ (1 «(1(» 1) образуют базис алгебры Ли й. Таким образом, б!пч й =1(1 + 2). Г1усть !1 — множество диагональных элементов алгебры Ли 31(1+ 1, й); семейство (Еи),<,<,~, является базисом векторного пространства й.
Пусть (е;),<,<,+, — базис пространства дуальный к базису (Еи),к,<,, Для любого й~й !й, Е;~] =(з;(Ь) — з;(й)) Еы (1) вследствие формул (5) из гл. !, $1, п 2. Пусть ч — множество элементов пространства В со следом нуль, и пусть е,=й,~ 1>. '1огда ч — подалгебра Картана алгебры Ли й (гл.
ЧП, $2, 1 $ 1х РАсшеиляемые АЛ1ГГРы ли клАссичвского тииА Рзт п' 1, упражнение 4). Соотношение (1) доказывает, что это расгцепляюшая подалгебра Картана и что корнями расщепленной алгебры Ли (6,6) служат элементы е1 — е, (1'чь)). Пусть 6е— множество элементов пространства 6*, сумма координат которых в базисе (6,) равна нулю. Отображение Х ~Х~ 6 пространства 6е в 6' биективно, Таким образом, система корней расщепленной алгебры Ли (6, 6) — система типа А, (гл.
И, 5 4, п' 7). Следовательно, алгебра Ли 6 проста (э 3, п' 2, следствие 1 предложения 6). Таким образом, 6 — простоя рпсщеплягмая алгебра .!7и типа Ао Любую расшепляющую подалгебру Картана 5' алгебры Ли 6 можно получить из подалгебры 5 с помощью элементарного автоморфизма (э 3, п' 3, следствие предложения 10). Так как Ап1, 6 совпадает с множеством автоморфизмов х «ехе-' алгебры Ли 6 для з~$1.((т) (гл.
Ч11, 5 3, п 1, замечание 2; см. также (ЧП)), то существует такой базис 6 пространства Г, что 6' совпадает с множеством 666 тех элементов алгебры Ли 6, матрицы которых в базисе р диагональны. Так как множество 5 содержит эндоморфизм, собственные значения которого попарно различны, то единственные векторные надпространства пространства ~', устойчивые относительно элементов 6, — это те, которые порождены каким-либо подмножеством множества Отсюда следует, что отображение 11 «6 определяет при факторизации изоморфизм множества разложений пространства в прямую сумму (+ 1 подпространств размерности 1 на множество расщепляющих подалгебр Картана алгебры Ли 6.
(П) Пусть а = е, — е! (! Ф /) — некоторый корень. Тогда 6'=6Е1р Так как (Еи Ег1) =Еп Еи и а(Еп — Еи) =2, то (% 2, и' 2, теорема 1 (й)) Н„= Е1, — Еи. (П1) Положим а,=е, — е,, а,=е,— ез, ..., а, =е1 — е1«ь Вследствие п' 7(1) гл. Л, 6 4, мы видим, что (аь..., а1)— базис В системы корней Й", положительными корнями относительно базиса В являются корни е, — е; при 1<1; соответствующая подалгебра Бореля 6 совпадает с множеством верхних треугольных матриц со следом нуль.
Флагом в пространстве )т называется множество векторных подпространств пространства (т, отличных от (О) и (т, которое совершенно упорядочено по включению. Упорядочим по включению множество флагов пространства (т. Максимальными флагами будут множества (16'„..., (Р'!), где (6'! — векторное 288 Гл.
чп!. Расщеплен!!ыа полупРОстыг ллгсзгы лп подпространство размерности ! и К!с ... сЮ!. Например, если Г; — подпространство в Г, порожденное элементами ео ..., е!, то (Г,, ..., Г!) — максимальный флаг. Немедленно получаем, что 5 — множество элементов алгебры Ли й, сохраняющих элементы максимального флага (Г„..., Г!). Обратно, поскольку алгебра Ли б содержит 6 и матРицы Еп пРи ! <1, то мы видим, что единсгвенными нетривиальными подпространствами, устойчивыми относительно 6, будут векторные пространства Г!. Пусть 6 — максимальный флаг в пространстве Г.
Из предыдущего следует, что множество 6л элементов алгебры Лн й, относительно которых устойчивы все элементы флага 6, — подалгебра Бореля алгебры Лп 8. Поскольку все подалгебры Бореля алгебры Ли й получаются с помощью элементарных автоморфизмов из подалгебры 6, то мы видим, что отображение 6» — йл будет биективным отображением множества максимальных флагов на множество подалгебр Бореля алгебры Ли й, Пусть б — базис пространства Г. Ввиду (1) и вследствие предыдущего подалгебрами Бореля, содержащими ча, являются те подалгебры, которые отвечают максимальным флагам, каждый элемент которых порожден подмножеством множества р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
