Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Л е, н устойчивое относительно алгебры Ли й, совпадает со всем пространством Л'У. Это непосредственно видно при г = О и г = 1 (см. формулу (2)). При г =2 (следовательно, 1 2) представлеяне /~еа и присоединенное представление алгебры Ли 9 (которос нспрпводпмо) имеют одну и ту же размерность 1(21+1) и один и тот же старший вес в,+е, (гл. Ч!, э 4, 24Е Гл. Чп!. Расщепленные полупРостые АлГеБРН ли т п'5. 1Ч). Отсюда мы делаем вывод, что представление /дав эквивалентно присоединенному представлению и, следовательно, неприводимо.
Это доказывает наше утверждение при 1=1 и 1=2. Проведем индукцию по 1, предполагая, что 1) т ) 3. Заметим сначала, что если В' — неизотропное надпространство в у' нечетной размерности, ортогональное подпространству 1(У', то ограничение Ч'!Р формы Ч' на В' невырожденио и алгебру Лп в(Ч'!Р) можно отождествить с подалгеброй в й, образованной элементами, которые действуют на ЧУ' нулевым 'образом. Если б!Пп В' < б(т )/ и если Ч'!Р— форма максимального индекса, то из предположения индукции следует, что пространство Т„содержащее ненулевой элемент вида щ' Л ш, где щ'я ~' В/' и !оен/1, В' (0</г «г), содержит также ш' Л Л Д" 1Р. Действительно, а, (щ' Л щ) = ю' Л а.
Еп при всех аена('!"е,). Докажем теперь индукцией по реп(0, т), что пространство Т„содержит элементы х=е;, Л Ле, Ле;, Л,. Ле! при 1<1! « ... !', <1 и — 1<1, « ... 1,<0. При р =0 это следует нз неприводимоств действия алгебры Ли 01(Г) в пространстве /д'г (и'1), так как в алгебре Ли й содержатся элементы, оставляющие устойчивым подпространство р =)'! —— = с, йе! и индуцирующие на нем произвольный эндоморфизм 1-! (см. формулу (2)). Если р= 1, то пусть дев(1, 1) — такое число, что арчь — 1! и что существует /ь~(1, г — р), для которого д = гв.
Если р ) 2, то пусть д ен(1, 1) — такое число, что — д ан (1!, ..., 1 ). С точностью до перестановки элементов е! можно предполагать, что д= 1. Тогда возьмем в качестве В' пространство, ортогональное к пространству В" = йе, + /се ,. Если р = 1, то х ен е! Л е1!' В', так как пространство Т, содержит вектор е! Л ... Л е„то мы видим, что Т„содержит вектор х. Если р)2, то или х~е ! Л Л' !В', или хане, Л е-! Л Л В ° Так как по предположению индукции пространство Т, содержит е !ЛеаЛ . Ле,, пе !Ле!,ЛетЛ . Ле.
т.томывидим, что Т, содержит вектор х. Это завершает доказательство. а Г Другое доказательство непрнводнмостн представленнн Л и см. в упражненнн 6. Теперь мы определим фундаментальное представление со старшим весом й!, Лемма 1. Туусть à — конечномерное векторное пространство, 1г — невырожденная квадратичная форма на у', Ч' — билинейная симметрическая фор,па, асса!4иированная с фор.чой (г, С(с/)— алгебра Клиффорда пространства у' относительно формы 14 и г 5 1к Рлсеаепляемь!е АлГеБРы лп кллсспческОГО тппА 249 !ь — композиция канонических отображений г(Ч') — Р 9!(У)-Р У®1'"-Р УЗ У-+С+(Я) (первое отображение — каноническое вложение, третье отобра- жение определено с по.Мощью канонического изоморфизма про- странств У и У, устанавливаемого формой Ч', а четвертое— с полющью умножения в алгебре С(()), см.
Алг., гл. 1Х, $9, и 1). Положим ! = 2 [ы ! (1) Если (е„), (е,') — такие базисы пространства У, что Ч'(ен е',) =Ьпп то !" (а) = г~' (ае,)е„' при всех вен г(Ч1). (Е) Если а, Ь еи о (Ч"), то ~1 (ае,) (Ье,') = — ~ (ИЬе,) е,'. Г Г (!!!) Если а ен о (Ч') и о я У, то [! (а), о] = ао. (!ч) Ес.1И а, Ьенг(ЧГ), то [[(а), )(Ь)] = !( [а, Ь) ), (ч) Множество ) (г (Ч')) порождает ассоциативную алгебру С+ (1;!), (ч!) Пусть Лà — некоторыи левый С ((г)-модуль и р — соот- ветствующий гомоморфизм алгебры С (1;!) в Епбь(ЛГ). Тогда ро! — представление алгебры Ти о(Ч') в пространстве ОГ.
Если 1Аà — простой С~((г)-модуль, то представление ро!' неприводимо. Утверждение (!) очевидно. Если а, Ь~с(Ч'), то (полагая Ч'(х, у) = (х, у)) ~„(ае„)(Ье,') = ~ (ае,, е,')(Ье,', е,)е,е,'= = ~' (ен ае,')(е,', Ье,)е,е,'= 2'„(ае',, Ье,) е,е,'= = — ~ (е',, аЬе,) е,е', = — Х'„(абе1) е'„ т,1 что доказывает утверждение (И).
Далее, ввиду (1) для каждого оен 1' имеем [[(а), о) = — — ~ ((ае,) е,'о — о(ае,) е,') = ((ае,) е,'о + (ае,) ое,' — (ае„) ое,' — о (ае,) е,') =- Г = 2 ~~' ((ае,)(е,', о) — (ае,, о)е,') = = 2 а ~~', (е„, о)е,~+ — ~(е,, ао) е,'= Г ! ! 2 2 = — ао+ — ао=ао ззо Гл и>>!. Рзс!цсплви>>ыв полупгостыг злгсзгы л>! что доказывает утверждение (ш). Теперь >>!.>, >>!>>=[>! >.
~Ко;>;) ь-. а>= — (1) (а), ЬеД е, + (Ье,) 11 (а), е,') ) = г — ((аЬе,) е„'+ (Ье,) (ае,')) (ввиду (ш)) = г — ((аЬе ) е — (Ьае ) е ) (ввиду (>!)) = Г =1((а, Ь) ) (ввиду (!)), что доказывает утверждение (!»). При доказательстве утверждения (ч) можно, расширив основное поле, предполагать, что поле Ь алгебраически замкнуто. Выберем такой базис (е,) в пространстве Г, что Ч'(е,, е,) = Ь> е откуда е' „= е,. Если ! чь), то Еы — Епо: — о(Ч') и ! 1 (Ен — Е>!) = — (е>е! — е;е,) = е>е>, но элементы е>е! порождают алгебру С+ (Я). Утверждение (ч1) следует из утверждений ()ч) и (у). Ч. Т.Д. Воспользуемся теперь обозначениями нз начала этого пункта. Положим Р =Р+ г', и пусть () (соотв. Ч>) — ограничение формы („> (соотв.
Ч') на пространство г'. Тогда Я вЂ” невырожденная квадратичная форма максимального индекса ! на пространстве Р размерности 21, и алгебра Клиф>>орда С(! >) центральная простая алгебра размерности 2' (А,>г., гл. 1Х, 5 9, и'4, теорема 2). Пусть М вЂ” внешняя алгебра максимального изотропного надпространства г"', порожденного векторами е-!... е-!. Отождествим пространство Г и дуальное к нему пространство Р' с помощью билинейной формы >у; обозначим через Ь(х) (соотв. через л(у)) при хейг' (соотв. при у~у) эидоморфизм левого внешнего умно>кения на х (соотв. левого внутреннего умножения на у) в пространстве Л>.
Если аь ..., аьепг"', то ~ (х).(а! Л ... Л аь)=х Л а, Л ... аы )!(у),(а! Л ... Л а!)= = Х( — 1)! ' Ч'(а;, у)а! Л ... Л а;, Л а>, Л ... Л по >-! г з и. глсщяпляямые ллгввгы ли кллссического типл 2з! Легко проверить, что Л(х)о=л(у)о=О и !о(х) )о (у) + Х (у) л (х) = Ч'(х, у) .
1. Отсюда мы получаем (Алг., гл. !Х, 9 9, и'1), что существует единственный гомоморфизм (обозначим его также через л) алгебры С(1)) в Епд У, который продолжает отображение л: г" О Р' - Епа' У. Так как й!т У = 2', а у алгебры С (4 есть только один класс неприводимых модулей размерности 2 (Алг., гл. 1Х, $9, и'4, теорема 2), то представление алгебры С(® в пространстве У, определенное гомоморфизмом л, неприводимо. Это спинорное представление алгебры С4) (там же).
Рассмотрим теперь отображение ря е»еоо пространства г' в С (Я). Для оеи 'г' имеем (еоо) =- — еоо = — Я (ео) (;! (о) = Я (о) = 1г (о) 2 2 3 и отображение р единственным образом продолжается до гомоморфизма (обозначим его также через 1л) алгебры С (ф в С Я). Так как алгебра С4) проста и б1т С" Я) = 4 пи С (1;1) = 2, то мы видим, что 1л — изомор(йизм, Следовательно, отображение л ~ и — ' определяет на пространстве У структуру простого С" (1г)-модуля и р=) он 'о! — неприводимое представление алгебры Ли й в пространстве У (лемма 1(ч1)). С другой стороны. ввиду леммы 1(!) имеем 1 1(Н,) = —,(е,е, — е;ео).
Так как е,е, = — е,'е,е, =е„е,е,е, и е,.е,, + е,е, =1, то 1 1 1л ' 1(Н1)= — — е,е,= — — +е,е о 2 2 Отсюда мы получаем, что при 1 (1, ( ... < 1л (! р (Но)(е,, Л ... Ле; )= 1 — —,е; Л Л е чя если 1еи(1„..., (л), ! — е;,Л ... Ле ... если 1Ф(!о...,!л), и для Ьеий р(й)(е, Л ... Л е;„)= = ~ — (е, + ...
+е,) — (е, + ... + е; ))(й)(е,,Л... Ле,л). (5) 252 Гл. уп1. РАсшепленные полупРОстые АлГеБРы ли е Это показывает. что й, — старший вес представления р. Представление р называется спинорноем представлением алгебрь1 Ли й. Заметим, что все его веса просты (к тому же й, — микро вес). (Ъ') Так как 1со= — 1, то каждое простое конечномерное представление алгебры Ли й — или ортогональное, или симплек-. тическое. Ввиду и'5(1Г1) гл. И, $4, сумма числовых координат веса й, относительно базиса (ап ..,, и,) — целое число при 1 ( Г ( ! — 1. Следовательно, представление Л'а ортогонально, Более того, расширение Ч'1,! формы Ч' на пространство Д'$' инвариантно относительно этого представления. Для спинорного представления сумма числовых координат ! веса й1 относительно базиса (а1,..., и,) равна — (1+... + 1)= 2 1гам же).
Следовательно, это представление орто- ! (! -1- 1! гоиальное при 1†= или — 1(гпоб 4) и симплектическое при 1 = — 1 или 2(той 4). Рассмотрим дополнительную билинейную форму Ф на пространстве й! =ДР', определенную следующим образом: если х ои ДРР' и у ~ ДУР', то Ф(х, у) = О при р+д~1 и Р1Р+И х Л у=( — 1) ' Ф(х, у)е 1Л Ае.-„ при р+ д=1. Легко проверить, что Ф вЂ” невырожденная форма, симметрическая при 1 = — О, — 1(той 4) и знакопеременная при 1=1, 2(гпоо)4).
Далее, ввиду леммы ! (1) мы получаем, что при 1(1(! )(Х,е)=вове, !'(Х 1)= — еое и а при 1(1(1<1 ! 1е(Хе,.- )= — (е;в ! — е-!ее)=е;е ! — — е,е;е,е и Аналогично 1е (Хе — 1) = — еов1еов 1, 11 (Хесье ) = еоеееое! 1 (Х е1 е ) = еое 1еое р р о 11(Хее) =е1, !1 ' о!о(Х ее) = — в поэтому и р ~о)(Хеесое!)=сеь1е ! при 1(1, 1((, 1~1, Где сан(1 ц Легко проверить, что форма Ф й-инвариантна (см. упражнение 18). г 4!3 РАсщепляемые АлГеБРы ли клАсспчГскоГО тппА ззз (У1) Запишем характеристический многочлен эндоморфизма о(х) для хен8 в виде Т"+'+ ~~(х) Т" + Цг(х)Т" '+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
