Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Теперь иам надо определить фундаментальные представления, соответствующие старшим весам й!, и й!. Пусть !,) — квадратичная форма х ~ — Ч!(х, х). В и'2 (1Г) мы определили спи- 2 норное представление Х алгебры Клиффорда С Я) в пространстве Х = др'. г!епосредственно проверяется, что подпространство Л! (соотв. Л! ) пространства !у, равное сумме подпространств /~'р для четных р (соотв. для нечетных р), устойчиво относи- Э м, глсшшшягмыв хлгссгы ли клхссичссксчо тппх эат тельно ограничения представления Л на С ' Я). Следовательно, представления Л.ь и Л алгебры С '(1Е) в пространствах М, и М соответственно — полуспинорные представления алгебры С+((1) (Ллг., гл.
1Х, $ 9, и'4); они пеприводпмы, имеют раз!†! мерность 2 и неэквивалентны. Пусть р+ — — Л,~1 и о = Л О)'— соответствующие неприводимые представления алгеоры Ли й (п'2, лемма 1 (ч))). Вследствие леммы 1 (1) 1 1 1 )(Н;)= — (е,с ~ — е;ед=е;е; — — = — — е,е„ и мы видим, как и в п'2 (1Н), что при й ~ 11 и 1(1', < ... ...
< (ь~(1 имеет место равенство Ло) (и) (е; Д,, Д е, ) = =( —,, (в~+ ... +в,) — (г, + ... +в, ))(Ь)(е;, тЛ ... де;„), Следовательно, старшим весом представления р (соотв, р ) будет й, (соотв. й~ ~). Представления р г и р называются полрспинорными представлениями алгебры Ли й. Все веса этих представлений просты. Представление р = Л01 = р+ 9 р называют спинорным предстпвлениеч алгеоры 7и а. (Н) При ! <г < I — 2 фундаментальные представления /~'а ортогональны, и расширение формы Ч' на пространство Д')т инвариантно относительно этих представлений.
Рассмотрим теперь спинорное представление р алгебры Ли й. Как и в п'2, можно показать, что при 1<1, 1<1, 1~1 1 (Х... ) = -+- е;е;, )(Х,, )=асеев 1(Х ...)=~е,е 1. Отсюда следует, что певырождепная билинейная форма Ф, введенная в п'2(!'), инвариантна относительно р19). Таким образок, спинорное представление р оставляет инвариантной невырожденную билинейную форму, симметрическую при /= — О, — 1(гпод 4) и знакоперемеиную при (==-1, 2(шод 4).
Если 1 чстно, то ограничения формы Ф на пространства 1Н~ и й( невырожденны, и полуспинорные представления будут ортогоиальными при 1=0(шод4) и симплектическнми при 1.=2 (тод 4). Заметим, что 'ос= — ! (гл. Н1, $4, п'8(Х1)). Наоборот, если 1 нечетно, то пространства Уэ и Л' вполне изот копны относительно формы Ф.
При этом — гс,(а,) =а, при 1:.!(1 — 2, — шс(а1) =а1 ~ и — шд(а,,)=ас (гл. Н1, $4, вев гл гп> Рлсп>голан!>ын полупгостыа ллгггги лп и 8(Х!)), откуда следует, что — ьз>(й>) = б>,,; ш>луспипороые представления не являются ин ортогональнымп, нп симплектяческими, и каждое из них изоморфно представлению, дуэльному к другому. (Ъ'!) Для любого х ьв В характеристический миогочлен эндоморфизма о(х) имеет вид т" +),(х)та'-'+ ...
+ !>,(х), Как и в и'3, )> —— !>=);= ... =О. Ввиду и 8(1Х) из гл. Ч1, Э 4, и теоремы 1 из $ 8, и'3, существует такая полиномиальная функция ) на алгебре Ли й, что функции ),, )о 1.порождают алгебру!(8') инвариантных полиномиальных функций на й; эти фУнкции алгебРаически независимы и )з = ( — !)'(п. Для любого элемента хайне мы имеем '(Ьх) ='х3 = — Ьх, следовательно, можно рассмотреть пфаффиан Р1(3х), который является полиномиальной функцией от х. Однако )и (х) = де! х = ( — 1)' де! (Ях) = ( — 1)' (Р( (8х))'. Следовательно, можно положить ) (х) =- Р1($х). (Ч!1) Напомним 5 5, п'3, следствие 1 предложения 5), что группа Ац1(8))Ац(а(й) отождествляется с группой автоморфизмов Ац1 (О) графа Дынкнна 0 расщепленной алгебры Ли (й, (>). Когда 1 Ф 4, Ац( 0 — группа порядка 2, образованная теми перестановками корней а„ ..., ао которые не меняют корней аь ..., а,, Когда 1=4, группа Ац(0 образована перестановками корней а„..., а„, оставляющими корень а, на месте; эта группа изоморфна группе б> (см.
гл. Ч1, ч 4, п'8(Х1)). Во всех случаях подгруппа группы Ац10, образованная элементами, оставляющими на месте корень аь имеет порядок 2. Обозначим через Ац('(8) соответствующую подгруппу в группе Ац!(8). Если 1Ф 4, то имеет место равенство Ац!'(8) =Ац1(й), а если 1=4, то (Ац1(8): Ац('(6)) =3; кроме того, (Ац('(8): Ап(а(й)) = 2. Элемент з ен Ап1(й) принадлежит группе Ац1'(8) тогда и только тогда, когда эндоморфизм поз эквивалентен эндоморфнзму о (это следует из того, что ь» — старший вес представления о).
Отсюда мы, как и в п'2(>Г!!), заключаем, что группа Ац('(8) отождествляется с группой Х(н', где у — группа преобразований подобия пространства г' относительно формы Ч'. Пусть з ен Х, и пусть Л(з) — коэффициент подобия элемента з. Тогда де1(з) =Х(з)', если з — прямое преобразование подобия, и 4е1(з) = — Х (з)', если з — обратное преобразование подо- е Е гх глсщеплягмые ллггегы ли кллсснческого тип . згэ бия (Алг., гл. !Х, 5 6, и'5). Прямые преобразования подобия образуют подгруппу У„индекса 2 в группе г.. Имеет место включение Х„:з й'.
Группа 2/й" совпадагг с подгруппой Ап!в(й) группы Ап!'(9) =-2/л', Действительно, это достаточно доказать, когда поле й алгебранчески замкнуто; тогда группа Лн(,(й)= = — Ан1,(й) равна своей производной группе ($11, и'2, предложение 3) н, следовательно, содержится в Х,/Я', а так как обе группы имеют в т/л" индекс 2, то они совпадают. С другой стороны, как и в и'3(Ч!1), мы видим, что имеет место точная последовательность 1- 80(Ч)/(1, — Ц- У,/й"--йтй"->1. Отождествим $0(Ч')/(1, — !) с подгруппой группы 2/й'=Ан1„(й). Так как группа й //г г коммутативна, Лп1,(й) ~ ЯО(Т)/(1, — 1), На самом деле можно доказать (упражнение !!), что группа Ац(,(8) изоморфна образу в $0(Ф)/(1, — 1) приведенной ортогональной группы О+(Ч') формы Ч' (Алг., гл. 1Х, $ 9, п'5). (ЧИ1) Каноническая билинейная форма Фв на пространстве (!' задается формулой Ф (е,е, + ...
+ф,ео е',е,+ ... +г,'е,) = ! 4(! — !! ( ~~~+ ''' +~(в1) (гл. Ч1, $4, и'8 (Ч)). Следовательно, ограничение на !! формы Киллинга имеет вид Ф(~,Н, + ... + й,Нп й',Н, + ... +~,'Н,) = =4(! — 1) (ЕД', + ... + $!".,'). (!Х) Рассмотрим элементы Х, (иен/т), определенные формулами (11). Легко проверить, что [Х„, Х,) = — Н, при аен/(.
С другой стороны, отображение 8: а- — 'а — автоморфизм алгебры Ли й и 8(Х,) = Х, при любых а ен /с. Следовательно, (Х )„„— система Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, !!). Предположим, что !г =Я. Вследствие и'8 (ЧП1) из гл. Ч!, 5 4, в подалгебре Картана !! имеются три дозволенные решетки, если ! нечетко, и четыре, если ! четно. Отметим, что решетка Уе', порожденная элементами Но дозволенная. Но эта решетка совпадает с множеством диагональных матриц с целыми элементами нз алгебры Ли 8. Отсюда мы получаем, что ез(2!, Е) — порядок Шевалле М+ ~,Е,Х, алгебры Ли й. Так как Хе=О при любых аен|~, то решетка У' в пространстве Ч, порожденная базисом Витта (е,) — допустимая решетка в пространстве Ч 2«о Гл, мц1 гзгщсплгнныв полупгогтые хлгсвгы лн 4 относнтельн и >рядка га(21, Х).
То гке верно для решетки /~"У' в и рос гра нс г не «х' !'. 1 г~ Напротив, если взять Р()г~)=Е. — х«Н,+УФ в качестве дозво- 1-1 ленной решетки н У = Р()г'») + ~„2. Х„в качестве порядка ()!еваллс, то мы видим, что в пространстве /~')» допустимая решетка сушествует только при четном г; при таких г решетка гх «»' допустима. Рассмотрим редуктнвцу~о алгебру о('!') + (1. !.
Ясно, что ч)=(а(Ч')+(). !) () !)!(2/, Х) — порядок П1евалле. Порядок Шепалле (Р совпадает с про"кцией порядка Ы ца алгебру .'1и е(Ч') пара»шельн > центру Ь!. !. ! !аконец, как и в и 2, мы видим, что реп!етка,!', (соотв,,!' ), по, о кленнаи элеменгами е . Л ° ° . Л е-г (соатв. е ~ Л ... нь ... Л е; ), допустима относительно полуспипорного представления порядка Шевалле ь)()«')+ ~ х.. Х,. Однако в пространа -а СтВаХ г!'„. Н 2!' Нвт РЕШЕТОК, ДОПУСТИМЫХ ОтНОСНтЕЛЬНО ПОРядКа а. (21, Е). ТАБЛИЦА ! Каждому Фундаментальному весу поставим в соответствие ! (соотв.
— 1, 0), если отвечающее ему неприводимое представление ортогональное (соотв, симплектическое, соотв. не ортогональное и не симплектическое). Вычисление этого числа для алгебр Ли типов 4о Во Со 0~ было сделано в 5 !3. Ниже указаны также результаты для алгебр Ли типов Е„Е-, Е,, Еь ба (достаточно применить предложение 12 из ф 7 и пп'9 (Ч1), 9 (Х!), !0(Ч!), !О (Х1), 1! (Ч1), ! ! (Х!), 12 (Х!), 12 (Ч!), 13(Ч!), 13 (Х1) из гл.
Ч1, ~ 4) А, (! 1) В, (1)2) г+! при гФ й, ! при г~1 ( !)Гн+ща !+1 при к=в 2 С, (1)~2) Й Й;ийг ( — 1)' Е! Й~ ! й, ! Йг Еб Й~ 0 Й, 1 Й, О й, 1 йа 0 О, (1~ 2) 1 при г~( — 1, ! О, если 1 нечетно ( — !), если / четно Еа о>~ 1 Й, 1 й, ! гза ТАБЛИЦА 2 Аз (1) 1) Вз (1~~2) Г!+ 1з й„(1 'г !) 1 г й,(1(г(! — 1) 0з (1~) 2) Сз (1= 2) й,(1<г <!) / 2!'з й„(1 <г(! — 2) ( ) г 2 2 й1 27=За йз 78=2.3.13 й~ 133 = 7 . 19 йз 912 = 2' 3 19 вз 8 645 = 5 7 !3 19 в, 365750 2 5з 7 11 !9 вз 27 664 = 2'. 7. 13.
19 йз 1539=3',19 в, 56=2'.7 йз 351 = 3' ° 13 в„2 925 = 3'. 5'. 13 йз 351 = 3'. 13 йз 27=3' Для каждого фундаментального веса укажем размерность соответствующего неприводимого представления, вычисленную при помощи теоремы 2 иа 3 9 УПРАЖНЕНИЯ Мы предполагаем, что хорсктеристикп основного лола й равна нулю. Если ке оговореко лрогивкое, то расс.татриваельсе алгебры Ли предполагаются кокечкоиернььии. й 1 Через 6 обозначим алгебру Ли ЬЬ(2, й). 1) Пусть (? — универсальная обертываюпсзя алгебра аля й. Показать, что элемент С=Н вЂ” 2(Х+Х + Х-Хь) Нт+2Н вЂ” 4Х Хь принадлежит центру универсальной обертыеаюецей алгебры 0 и его образ в представлении, ассоциированном с модулем У(е), является гомотетией с коэффициентом т (го+ 2).
2) Пусть ?. ы й и 2 (?.) — векторное пространство с базисом (ек), где а=О, 1, ..., н Х+, Х, Н вЂ” эндочорфизмы пространства Х (Л), определенные формулами (2) из прслложеняя 1. а) Показать что таким образом па 2(Л) задается структура й-чолуля, б) Предположим, что Л ие является целым положительным числам. Показать. что й-модуль 2 (Л) прост.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
