Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 57
Текст из файла (страница 57)
+ 1,Е1) = = 4! + В (-Д~+ +".1Р1) (гл. И, Ч 4, п'6(у')). Следовательно, обратная к Фк форма, т. е. ограничение на 1! формы Кнллннга, имеет вид Фй,!1, + .. +$,НР Е',н,+ ... +Е',Н,)= =4(! +!)(еД,'+ ... + й,$;). (1Х) Рассмотрим элементы Х„, определснные формулами (6) (а ее й).
Легко проверить, что (Х„, Х „) = — Нв при а ее /т'. С другой стороны, отображение 0: а !. — 'а — автоморфизм алгебры Ли й и 0(Х„) = Х Р для любого корня а ~ !т. Следовательно, (Х„)„— система Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, 1)). Предположим, что й= Я. Подалгебра Картана 11 'содержит ! две дозволенные решетки Я()(У)=~~ Е. Н! и РРУ)=(1(/(У)+ ( + — Е .
~ Н, (гл, И, $4, п' 5 (И!1)). Легко видеть, что 1=! 4)()сэ) — множество матриц из !1 с целыми коэффициентами. Следовательно, порядок Шевалле ЯЯч)+ ~ л. Х, совпадает 1К К с множеством эр(2(, .Е) матриц из алгебры Ли й с целыми коэффициентами. $ !к Расщепляемые ллгевгы ли клзсш!Ческого т!!пз Рассмотрим редуктивную алгебру Ли ер(Ч')+ !1. 1.
Легко видеть, что множество ее элементов с цель!ми коэффициентами является в ней порядком Шевалле; следовательно, его проекция на алгебру Лп ер('!') параллельно ь). ! — порядок Шевалле Р(К~) + ~ Х, Х„. Далее, для любого корня ась 11 имеем Х„=О. Отсюда следует, что решетка У' пространства г', порожденная векторами еь допустима относительно порядка Шевалле вР(21, Х).
То же верно для решетки Е„() тх'УЛ в пространстве Е,. 11аконец, пространство Е, содержит допустимую относительно порядка Шевалле Р (1('~) + ~. Х . Х „ зв я решетку только при четном г; Е,() тх'У' — одна из таких решеток. б. Алгебры )Ти типа Р! (1) 2) (1) Пусть т' — векторное пространство четной размерности 21)4, и пусть Ч' — невырожденная симметрическая билинейная форма максимального индекса 1 на пространстве г', Ввиду п'2 из Алг., гл, 1Х, й 4, пространство $' можно представить в виде прямой суммы двух максимальных вполне изотропных подпространств Р и Р'.
Пусть (е,)... — базис пространства Р, а (е,). ! . — дуальный базис пространства Р (относительно двойственности между пространствами Р и Г, определенной формой Ч"). Тогда е,, ..., ео е,..., е, — базис пространства т'. Будем называть его базисом Витта пространства $'. Матрица билинейной формы 'Р в этом базисе — квадратная матрица 5 порядка 21, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, расположенных на побочной диагонали и равных 1. Алгебра Ли й = з(Ч') отождествляется с алгеброй о (21, й) тех квадратных матриц и порядка 21, для которых д= — 5'д5.
Ее размерность равна 1(21 — 1). Простое вычисление показывает, что й совпадает с множеством матриц вида где А, В, С, Р— такие квадратные матрицы порядка 1, что В = — э Вэ, С =- — э Сэ и 0 = — — з Аэ (з — матрица порядка 1, 1 все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, расположенных на побочной диагонали и равных !).
264 гл. «1!ь РАсшвпленпыг полгпгостые /1лгввгы лн Пусть !/ — множество диагональных матриц, принадлежащих алгебре Ли й. Это коммутативная подалгебра алгебры Ли й, базис которой образуют элементы Н; = Е/, / — Е,; при 1 </</. Пусть (е;) — базис пространства //", дуальныи к базису (Н;). Положим для ! < / < / < ! Х./ . =Еь — Е Х-е.+х = — Е/,/+ Е-/.-/ Хе ах =Ес, / Е/ / Х вЂ” а-т.=Š— / ~+Š— / /' (1 1) Эти элементы образуют базис дополнительного к // в й надпространства. Если // ~ /), то [//, Ха[ а(//) Хо для любого а еи Р, где /! — множество элементов нида +.
е, ~ е/ (/ < /); следовательно, !/ — расщепляющая подалгебра Картана в й и корнями расщепленной алгебры Ли (й, //) будут элементы системы )т. При этом система корней /! расщепленной алгебры Ли (й, !/) имеет тип О/ при /~) 3 и тип А/ Х А, (иначе говоря, тип 0,) при /= 2 (гл. И, 5 4, и'8 (1), с учетом случая !=2). Следовательно, если ! ~ ~3, то й — //аеи/епляел/ал простая алгебра Ли типа В/. Любая расщепляющая подалгебра Картана в й получается из подалгебры !> с помощью элементарного автоморфизма алгебры Ли й, т. е.
с помощью элемента группы 0('!') (см. (И1)), и, следовательно, совпадает с множеством // тех элементов алгебры Ли й, матрица которых относительно некоторого базиса Витта р диагональна. Непосредственно проверяется, что единстненными инвариантными подпространствами относительно // будут подпространства, порожденные некоторым подмножеством элементов базиса !!. Так как у алгебр Ли оз(4, й) и «! (2, й) Х 4!(2, й) одинаковые системы корней, то они изоморфпы. По аналогичным соображениям изоморфны алгебры Ли оз(6, й) и о1(4, /г) (см. также упражнение 3). Далее мь/ предполагаел/, что ! ь3. (1!) Определим систему корней Р", используя и'8 («/) из гл.
И, $4. Мы получаем, что Н...,=Н; — Н, Н... =Н,+ Н. (1П) Положим а/ = е, — е.„аз =а,— е„..., и/ / — — е,, — е/, а, =е/ /+ еь Согласно гл. И, 3 4, и'8 (П), (аь ..., а,) — базис В системы корней Р; положительными корнями относительно этого базиса будут е; -Ь е; (/ < /). Соответствующая под- 4 » Гь РАсщгг1ляГмыь АлГКБРы лп кл»сспческого тппА эвэ алгебра Бореля Ь совпадает с множеством принадлежащих алгебре Ли й верхних треугольных матриц.
Легко проверить, что единственными нетривиальными инварнаитными относительно подалгебры Бореля Ь подпространствами являются вполне изотропные подпространства Уь ... ... Уп У,', где У,. порождено векторами еп ..., еп а У,' — векторами е„..., е~ ь в „а также ортогональные дополнения У „..., У,+, подпространств УБ ..., У,, Ортогональное дополнение У; подпространства У; порождено векторами еь ..., еп е и ..., е пэп, Но простое вычисление показывает, что если элемент аз= й переводит подпространство У~, в себя, то его матрица имеет вид А о ( ) д О О Р где А, В, Р— квадратные матрицы порядка 1 — 1, х (соотв.
у)— матрица, состоящая из 2 столбцов и 1 — 1 строк (соотв. 2 строк и 1 — ! столбцов) и А ~ й. Из этого следует, что пространства У, и У,' также устойчивы относительно элемента а. Следовательно, Ь совпадает с множеством элементов а ~ й, относительно которых устойчивы все элементы изотропного флага (У„..., У,,). Заметим, что, как следует из предыдущего и теоремы Витта (А ы., гл. 1Х, 5 4, и'3, теорема 1), У, и У,'— единственные максимальные абсолютно изотропные подпространства, содержащие 1'~ Назовем изотропиый флаг квазимпасил~альньки, если он состолт из 1 — 1 вполне изотропных подпространств размерностей 1, ..., 1 — !. Так же, как и в п'2, мы видим, что для каждого квазимакспчального пзотропного флага 6 множество Ь» элементов а»и!1, относительно которых элементы флага б устойчивы, является подалгеброй Бореля в й, а Ỡ— «Ь» — биективное отображение множества квазпмаксимальных изотропных флагов на множество подалгебр Борсля.
Будем называть изотропный флаг собственным, если он не содержит одновременно и 1-мерного и (1 — 1)-мерного надпространств. Пусть б — такой изотропный флаг, и пусть «» — множество элементов а~й, оставляющих устойчивым элементы флага б. Если бс:(Уп ..., Уп У;), то р — параболическая подалгебра в й, содержащая подалгебру Ь, н легко проверить, что единственными абсолютно изотропными чь(0) подпростраиствамн, устойчивыми относительно р», будут элементы флага б. Так как существует 2' -' собственных изотроппых флагов, со- 266 гл !'и! Расшгпленпьп! полупаостыа ллгсвгы ли 4 держащихся в флаге (!г„..., 1гн 1",) и содержащих элемент Г,, (соотв.
Г'„оотвв. 1"„соотв. не содержащих ни Г,, ни Го ни Г',), то существует 2' параооличсских подалгебр, содержащих подалгеору Бореля 8. Как и вып!е, можно показать, что Ь вЂ” г 1!л — биективное отображение множества собственных изотропных флагов на множество параболических подалгебр алгебры Ли й. (1Г! Вследствие и'8 (Г1) из гл. Г1, $4, фундаментальными весами, соответствующими простым корням ао ..., ао будут й,.=е,+е,+ ... +е! (!(л(1 — 2), 1 й! ! — — 2 (и!+ е,+ ...
+е! э+а,, — е!), 1 й!= 2 (в!+е!+ ... +е! г+и !+а!). Пусть о — тождественное представление алгебры Ли й в пространстве Г. Внешняя степень гх'и представления и действует в пространстве Е=Д' 1'. Если бе= !!, то при 1(!'<! имеем о(г!)е, =в;(а)е!, о(6)е; = — е,(Ь)е о Отслода следует, что для ! (г(( сумма е, + ... + и,— старший вес представления (х'о, и алел!снты веса и, + ... + в, совпадалот с элементами, пропорциональными элементу е, Л... ...
Ле,. Покажем, что при 1 - г я-.! — 2 предсгавление /~'о — фундаментальное представление веса й,. Для этого достаточно показать, что представление ГХ'о неприводимо при ! я-г~(( — 1 (заметим, что гх и прнводимо, см. упражнение !О) пли что наименьшее подпространство Гг пространства гх'!Л содержащее вектор е, Л ...
Л е, и устойчивое относительно алгебры Ли и, совпадает со всем пространством г1'Г. Ясно, что это так црп г = 1. При с = 2 получаем, как и в п'2, что представление гллзо эквивалентно присоединенному представлению алгебры Лн и, которое неприводимо, так как !! проста, Далее доказательство проводится индукцией по ! так же, как и в п'2, но в предположении, что ! — ! ~~г -3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
