Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 53
Текст из файла (страница 53)
образованным диагональными матрицами со следом нуль вида х+(!+1) а.1, где коэффициенты матрицы х — целые числа и где иена. Отсюда следует, что алгебра э((!+ 1, Х) является порядком Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, Сс), ассоциированным с дозволенной решеткой ЯЯ!с) и с системой Шевалле (Х ). Легко проверить, что Д'Е~~~ — допустимая решетка в пространстве Л'Я + относительно э((! + 1, л) 5 12, и' 8, определение 3).
С другой стороны, й!(! + 1, Х) — порядок Шевалле в расщепленной редуктивной алгебре Ли 01(! + 1, 1;1); его проекция на ь!(1+ 1, Щ параллельно центру 11.1 алгебры Ли 01(1+ 1, (1) есть порядок Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, «), определенный дозволенной решеткой Р(ст12) в пространстве сс и системой Шевалле (Х,). Заметим, что алгебра Ли й!(!+ 1, 2) не совпадает с прямой суммой своих пересечений с 6!(!+ 1, (г) и с центром алгебры й!(1+ 1, Я). 2.
Алгебры Сеи типа Вс Г!~ )!) (1) Пусть 12 — конечномерное векторное пространство, а Чс — невырожденная симметрическая билинейная форма на !'. Множество эндоморфизмов х пространства (с, таких, что 244 гл. глп. ндсгцеплпи~ыи полвпностыи длгны ы ли г (еп ..., еь ео е „... е,) — базис пространства )г и я (~: х,е,.) = — хо + ~ х,х,, поэтому матрицей билинейной формы Ч' в этом базисе будет квадратная матрица порядка 21 + 1 0 0 ... 0 ! 0 0 ...
1 0 Я= 0 — 2 О, з= з 0 0 О 1 ... 0 0 1 0 ... 0 0 где з — квадратная матрица порядка 1, все коэффициенты которой равны нулю, кроме тех, что расположены на побочной диагонали ') и равны !. Базис пространства !', который обладает этими свойствами, будет называться его базисом Витта. Таким образом, алгебра Ли й=о(Чг) отождествляется с алгеброй Ли оз(21+ 1, й) квадратных матриц а порядка 21+ 1, для которых а= — 5 ''аЯ (Алг., гл. 1Х, $ 1, и' 10„формулы (50)). ') Побочной диагональю квадратной матрицы (аа) называется 1~г, г'..Со множество элементов а, где !+1 и -!-!.
Ч'(хо, о')+ Ч'(о, хо')=0 при любых о, о'еи )г, — подалгебра алгебры Ли Ь1((г). Зта подалгебра полупроста, если г)!гп )г ~ 2 (гл. 1, В б, и'7, предложение 9). Обозначим ее через о(Ч') и назовем ортогональной алгеброй гУи, ассоциированной с формой Чг. Предположим, что à — пространство нечетной размерности 21 + ! ) 3, а Ч" — форма с максимальным индексом 1, Обозначим через Я квадратичную форму, с которой ассоциирована билинейная форма '1', При х~ )г мы получаем, что Я(х)= = — Ч" (х, х), Согласно Алг., гл.
!Х, ~ 4, и'2, мы можем пред- 2 ставить пространство )г в виде прямой суммы двух максимальных вполне изотропных подпространств г" и Г и неизотропного одномерного подпространства 6, ортогонального к р + г'. С точностью до умножения формы Ч" на ненулевую константу можно предположить сугцествование такого элемента еееи 6, что Ч'(е„, е„) = — 2. Далее, Ч' устанавливает двойственность между пространствами г и Р', пусть (е;),, — базис прог ~ чз.=с странства Р и (е з),<,<, — дуальный к нему базис пространства Г.
Тогда с 5 ск РАсщепляемые АлГСБРЫ лн клАсс11ческого Т11пА 245 Легко вычислить, что а — множество матриц вида (2) где х н р — матрицы, состоящие из 1 строки и 1 столбцов, а А, В, С, Р— такие квадратные матрицы порядка 1, что В= = — з'Вз, С = — е'Сз и Р = — е'Аз. Так как отображение А з'Аз пространства йсс(й) в себя — это отражение относительно побочной диагонали, то дина=21+В+2 =1(21+1). Пусть» — множество диагональных элементов алгебры Лн й. Это коммутатнвная подалгебра алгебры Ли а, базис которой состоит из элементов Нс = Ес, с — Е-с, -с (! ~ (с <~ 1).
Пусть (ес) — базис пространства»', дуальный к базису (Нс). Положим =2Ес,о+ Ео, — с Хе. Х-ес = — 2Е- с, о — Ео, с Легко проверить, что эти элементы образуют базис надпро- странства, дополнительного к» в пространстве й, и что если й~», то (й, Ха! а(й) Ха (4) для любого а ы В, где В состоит из и: е, н ~ ес ~- ес (1( с < 1=1). Отсюда вытекает, что подалгебра» совпадает со своим нормализатором в алгебре Ли й (а следовательно, она — подалгебра Картава в й) и является расщепляющей подалгеброй, а корни расщепленной алгебры Ли (а, ») — элементы из В.
Система корней И расщепленной алгебры Ли (й, ») имеет тип В, Прн 1Ъ 2 И тнн Ас (ИиаЧЕ ГОВОря, тнП В,) Прн1=! (Пеб(1) ГЛ. 1С!, з 4, распространенный на случай 1=1). Следовательно, а— полупросгая расщессляеечая алгебра Ли типа Вс. Хе.-е. с Х.,+., Х-ес-ес =Еес — Е = — Ее;+Е =Ее, с — Ес, Š— с,с+Š— с,с (1 <1 <1), (! < 1<~1), (1(с<1<1), (1(с<1(1), (1<1<1<1), (1 < с < 1 < 1). Гл. нп!. Рлсшеплс!и!ые полхпРостыГ. АлГеБРы Ли Каждая расщепляющая подалгебра Картана алгебры Ли а (Че) получается из !! с помощью элементарного автоморфизма алгебры Ли а (Ч'), т. е.
с помощью элемента группы О (Ч') (см. (Н!)). Следовательно, расщепляющей подалгеброй Картана будет множество тех элементов !!! алгебры Ли и, матрицы которых в не- а котором базисе Витта !! пространства )Г диагональны. Сразу же проверяется, что единственными векторными подпространствамн, инвариантнымн относительно (!„, являются те, которые порождены некоторым подмножеством базиса (3. Если ! = 1, то у алгебр о(Ч') и Б((2, й) одинаковые системы корней и, следовательно, они изоморфны (см. также $1, упражнение !6).
С этого момента мы будем предполагать, что ! . 2, (1!) С помощью и'5 (Н) из гл. А!1, Э 4, определим систему корней егн. Мы получаем, что Не. =2Не, Не, е = Н! — Нп Не..Ге = Н! + Нь (1И) Положим а, =е,— е„..., а,, =Б!, — е!, а! =Бп Ввиду и'5 (И) гл, н(, $4, (ап ..., а,) — базис В системы корней !Г; положительными относительно базиса Б являются корни е, и ее:~ е!(! ( !). Соответствующая подалгебра Бореля Ь вЂ” это множество верхних треугольных матриц алгебры Ли й.
Непосредственно проверяется, что единственными устойчивымн относительно подалгебры 5 векторными подпространствами пространства )Г, отличными от (О) и )Г, являются элементы максимального флага, соответствующего базису (е!), т. е., с Бдной стороны, вполне изотропные подпространства )Г„..., У!, где )Г! порождено векторами еп ..., еп а с другой стороны, ортогональные к ннм подпространства )Г !, ..., )Г !, где ортогональное к н'! пространство )Г ! порождено векторами еп ... ..., еп а„е и..., е,, и не является вполне изотропным. Однако если некоторое векторное подпространство устойчиво относительно какого-то элемента из алгебры Ли й, то относительно этого элемента устойчиво и ортогональное дополнение к этому подпространству.
Следовательно, подалгебра Бореля 5 совпадает с множеством элементов алгебры Лн й, относительно которых устойчив флаг ()Г„ ..., )Г!). Скажем, что флаг изогропен, если каждый его элемент является вполне изотропным подпространством. Флаг ()Г!, ... ..., )Г!) — максимальный изотропный флаг. Так как группа Ли 0(Ч') действует транзитивно и на подалгебрах Бореля алгебры ,1!и й (ср. (!!И)) и на максимальных изотропных флагах (Алг., гл. 1Х, $4, и'3, теорема 1), то мы видим, что для каждого максимального изотропного флага Ь пространства )Г множество ЬБ элементов алгебры Ли й, относительно которых устойчивы элементы флага б, является подалгеброй Бореля в й, ! % !3 РАС!ЦИ!ЛЯЕМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ КЛАССИЧЕСКОГО ТИПА З47 а 6» Ь, — биектявное отображение множества максимальных изотропных флагов на множество подалгебр Борсля алгебры Ли й.
Пусть 6 — изотропный флаг, и пусть рь — множество элементов алгебры Ли й, относительно которых элементы флага 6 устойчивы. Если бс: (У,, ..., У!), то рь — параболическая подалгебра алгебры Ли й, содержащая Ь, и легко проверить, что единственными устойчивыми относительно подалгебры рь вполне изотропными подпространствами Ф (О) будут элементы флага 6. Таким образом, мы получаем 2 параболических подалгебр в й, содержащих Ь. Как и выше, мы видим, что 6 ~рь — биективное отображение множества изотропных флагов пространства У на множество параболических подалгебр алгебры Ли й. Более того, рь-» рь тогда и только тогда, когда б ~ бй (1Ъ') Согласно гл. Л, $ 4, п'5 (Ч1), й,=е,+ ... +в; (! <г<1 — 1), 1 2( ' — фундаментальные веса, соответствующие простым корням ао ..., а!.
Пусть о — тождественное представление алгебры Ли й в пространстве У. Внешняя степень Л'о действует в пространстве Е = Д'У. Если и ~ Ь, то о(п).в!=в!(й)в, при — 1~(г(!. Отсюда следует, что при 1<г<! е,+ ... +е,— старший вес представления Д'а, причем элементы веса а, + ... +в, пропорциональны вектору в, Л ... Л в,. Мы покажем сейчас, что при 1 < г <! — 1 представление Д'а — 7(»ундаментальнов представление алгвбры Ли й со стар!аам весом й,. Для этого достаточно показать, что представление /~'о иеприводимо при О <~г(~21+.1.
Билинейная форма Ф на пространстве И~У Х Х Ле! !! 'У, определенная формулой ЛЛу=Ф(х,у)в!Л Ле,ЛЕ„ЛЕ !Л, Лв „ инвариантна относительно алгебры Ли й и устанавливает двойственность ме'кду пространствами /~" 17 и /~ ' ' '1Л Следовательно, представление /~"о дуально представлению /~з! ь! 'а, и достаточно доказать, что представления /~'о при О » <г <» ! неприводимы или, хотя бы, что наименьшее надпространство Т, пространства /~'У, содержащее вектор в, Л ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
