Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 50
Текст из файла (страница 50)
4. Существует такая система Шевалле (Х„), в алгебре (21, 21) ($2, п'4, определение 3), что х„= х и х „= у„ для аы В. Для любой системы Шевалле (Х ) я с этими свойствами и любого корня и ~ Р элемент Х' составляет базис решетки УД йк. Для ПАВ положим Х,=х„Х „=у,. Для а~Р— В выберем такой элемент ш~(Р', что ш(а)енВ, и такои автоморфизм ф алгебры Ли й, что 9ф=ф9, ф(У) =У и ф(12) = ш '(Ь) при й ы а (следствие 2); положим Х =ф (х,„,), Х „= ф(у м2). Тогда [Х,, Х„1=ф([у„,,„,, х ы|) =ф(Н,,) =ш-'(Н, „,)=Н„, 9(Х ) =9ф(х ) =ф9(х ) = р(у ) =Х Следовательно, (Х,), — система Шевалле.
Кроме того, УП9'=ф(УП21' ")=ф(~х ко)=~Х„ (32) У()й '=ф(УПй еа)=ф(~12„„,)=~Х Р Пусть (Х„), я — такая система Шевалле, что Х,=х„ Х', = у, при а ~ В, и 5 — множество таких корней а еи Р, что Х;= ~ Х„. Ввиду предложения 7 из $2, и'4, 5 — замкнутое множество корней. Так как 5 ~ В()( — В), то 5 =Р (гл. Ч1, $ 1, п'6, предложение 19). Из формул (32) и (33) следует, что УП 9'=ХХ„' при всех и ~ Р. Замечания. 6) Рассмотрим систему Шевалле (Х ), я, построенную выше.
Если а, [), а+ ~~ Р, то, полагая [Х„Х ) = =й(, аХь+а, мы получаем, что [Х,, Х ) ~УП9"+~ и, следовательно, Л',,а сии (см. $2, и'4, предложение 7). 6) Мы получили здесь новое доказательство существования системы Шевалле (см. $4, п'4, следствие предложения 6), не зависящее от леммы 4 $2.
7. Порядки Шевалле Пусть (2К 1)) — расщепленная редуктивная алгебра Ли над полем Я„ а Р— ее система корней. Выберем а) дозволенную решетку йа в подалгебре Картана 1) (и'6, определение 1), б) решетку У' в подпространстве й" для каждого а ~ Р. Положим У=Я® Х У", Это решетка в алгебре Ли а. Обо- а~я значим через И Х-подалгебру алгебры (7(6), порожденную 230 Гл. ч|||. РАсщепленные полхпРостые АлгеБРы лп 7 элементами (и ен Я, и ен 1Ч) и элементами х'"'(х ~ У', а ~/с, ,й, и ен >(). Наконец, для а ~ й и х ~ й>' — (0) положим ш„(х) = (ехр аб х) (ехр аб у) (ехр аб х), где у — единственный элемент пространства й, для которого [у, х] = Н„. В этих обозначениях имеет место Теогемх 2. Следуя>щие условия эквивалентны; (!) Существует такая система Шевалле (Х ), я расщепленной алгебры Ли (й, !!), что У =ХХ, при всех а е-:В.
(й) ИП 6 = У и [У", У '1 =ХИ, при всех а е- :В. (ш) Для любэ!х аен В, х я У, не- :М зндоморфизм (ай х)"/п! алгебры Ли и отображает решетку У в себя, и [У', У '] = ХН,. ((ч) Для любого а ~ В и любого базиса х пространс>'ви У' автоморфизл! ш„(х) переводит решетку У в себя (т. е. ото ражает подпространство У в подпространство У' ' при всех [!ен)>>). (1)=Р(й) Пусть (Х,) „— такая система Шевалле расщепленной алгебры Ли (й, !>), что У"=-ХХ, для любого а~В, и  — базис системы В.
Для ае= В положим х,=ХР, у„=Х Пусть И' — бипорядок, ассоциированный с решеткой вв и элементами х„и у согласно предложению 3 из и'6. Ясно, что И' с И. По следствиям 3 и 4 предложения 3 х!"> я И' при всех, а еи !т', х ен У и п ен 1Ч. Следовательно, И =И, т. е, условие (й) выполнено.
(й)=Р(й!). Это очевидно ввиду леммы 2 из п'5. (ш)=ь(1ч). Пусть аенВ, а х — базис решетки У' Так как [У~, У ~) =ХН„, то однозначно определенный элемент у ~ й для которого [у, х]=Н„принадлежит решетке У '. Так как по условию (ш) решетка У устойчива относительно эндоморфизмов ехр аб х и ехр аб у, то она устойчива также и относительно эндоморфизма ая(х).
((ч)=Р(1). Пусть  — базис системы корней й. Для любого аенВ выберем базис х„решетки У'. Пусть у„ен6 "— такой элемент, что [у„х,] = Й„. Из формул (5) 3 1, и'5, мы получаем, что у„=и>,(х„).х,; следовательно, по условию (!ч) у„— базис решетки У '. Пусть У' — порядок в алгебре Ли в, определенный решеткой вб и элементами х„и у, (п'6, следствие ! предложения 3). Тогда решетка У' устойчива относительно эндоморфизмов (аб х„) /и!, (аб уч) /и! (та.и же) п, следовательно, относительно ыа(ха).
$ и ИОРядкп шсвхллв 23! Пусть теперь (1енй. Существуют такие корни а„а„..., а„что (1=э„з,, ... з„, (аь) (гл. Ч!, 5 1, п'5, предложение 15). Тогда по условию (1ч) эндо- морфизм щ, (х, ), ш,,(х, ) ... шчч(х„,) отображает ре- шетку У" на решетку У~ и по предыдущему отображает У Пй" на У ()й~. Так как У ()й =-У (предчоженис 3 (В)), то У () й =У . Следовательно, 6 г У'=2РВ Х (У'()йа)=дую Х Уг=У, а~я а~я а это ввиду следствия 4 предложения 3 завершает доказа- тельство. Опгедвленив 2. Если вьтолняются эквивалентные условия (1) — ()ч) теоремы 2, то порядок У называется порядком Шевалле расщепленной алгебры г7и (а, 1)) Замечание.
Порядки Шевалле в алгебре Ли (й, 5) всегда существуют. Действительно, порядком Шевалле является множество Ж9 ~ 2Х„, где (Х,)„я — система Шевалле алгебры а~я Ли (а, 11), а Ж вЂ” такая решетка в подалгебре Картана у, что ЯЯ'т) с Ус Р()7'т)9с (где с — центр алгебры Ли 3). Теогемк 3. Сохраним обозначения начала п'7, и предположим, что У вЂ” порядок Шевалле расщепленной алгебры Ли (3, 11). (1) % — бипорядок в алгебре 0(а). (й) Пусть  — базис системы корней )7 и (Х,)„в, — та. кое семейство элементов алгебры Ли й, что У'= 2Х„при а ~ г п1 ~ В()( — В). Тогда 2-алгебра % порождается элементами ( т,п т и Х',"~ (Ь ен Ж, а ~ В 0 ( — В), и сн М).
Если алгебра Ли й полу- прости и М = Я(йч), то 2-алгебра% порождается эле.иентами Х~ю (а ен В Ц( — В), и ~ 1Ч). (ш) Пусть  — базис системы корней й, Й+ — соответствуюисее множество положительных корней', й = — 17, пе = 2. аыя+ и = ~ й", Тогда ьыя И =(И() 0(п )). (ьсг () (г 9)) ° (ьгг П П (и -)).
222 гл. у!!1, Р гсшепленные полупРостые Алг ееРы лн а Пусть (йг)г — базис решетки Рэ. Для каждого а~ В пусть Х вЂ” базисный вектор решетки У . Снабдин множество ! () )сг совершенным порядка.и (мы предположим, что г'П Д= Я). Для Х~ г'() Д и лен(а( положим елл~=~ 1, если Ая!, и е,"~=ХА", если А ен )с.
Тогда произведения вида Ц е(А"А), где (п ) пробегает Р)г"Я, образуют базис Х-модуля И. Произведения П~„) ), где (пк) пробегает г (г, образуют базис Х-модуля т,лк ) ,.и! И() ПЙ). Произведения Ц Х(клк), где (и,) пробегает гл( +, образуют базис Х-лгодуля И() П(п+). Пусть В и (Х„)„зш э, такие же, как в утверждении (й), причем (Х „, Х,] = Н,. Обозначим через И' Х-подалгебру (л! алгебры П(й), порожденную элементами ~ ) и Х, (п~ Ж, ~,п) а ~ В() ( — В), л ~ ((). При доказательстве ичпликации (!)~(й) в теореме 2 мы видели, что решетка И' совпадает с И и является бипорядком в алгебре 0(й). Это доказывает утверждение (!) и первую часть утверждения (й); вторая следует из леммы 4(й).
Утверждение (й!) следует из теоремы ! (п' 3) и предложения 3 (и" 6). 8. Допустимые ') решетки Обобщая терминологию, принятую в теории векторных пространств, мы будем говорить, что эндоморфизм и модуля М приводится к диагональному виду, если существует такой базис модуля М, что матрица эндоморфизма и в этом базисе диагональная.
Лемма 6. Пусть М вЂ” свободный Х-модуль конечного типа, и — эндомор4изм модуля М, а о — эндомор4изм иЗ! модуля Мг3га(г. Предположим, что для всех л~й! имеет место включение (М) с: М. Тогда зндомор4изм и приводится к диаго: нальному виду. а) Для любого многочлена Р я Я (Т), для которого Р (Х) с: Х, выполнено включение Р(с) М с: М (и' (, следствие предложения 2); следовательно, с(е(Р(о) ан Х. '! В оригинале аг!гн!аа!и!еа, ен.
нричечанне к стр. 22о. — Приаг. нерее. $12 ПОРядки шеаллле б) Обозначим через т,, (1) =1л + а1!"-1+ ... характеристический многочлен эндоморфнзма о. Пусть йене, иеиХ. При/Т вЂ” й т меняя рассуждение а) к многочлену ~ ), мы видим, что число / о — й'т а„= 11е1! ) = — „де1(о — й) де1(о — й — 1) ... и бп! ... де1 (и — й — и+ 1) = 1-11". („„+, ( +„,) 1л 1)з целое. Пусть й — 1 < — а1/1(. Тогда мы получаем, что тл (й + и — 1) = па + (а1 + (й — 1) И) пз ' + ... !ал1= ' 1ал 1!.
1ХР (й+ л — 1! ! Следовательно, если а„ФО при всех пеи1), то, начиная с достаточно больших п, последовательность !а„! строго убывает, что невозможно. Отсюда следует, что эндоморфизм о имеет собственное значение, равное целому числу Х. Положим М'= =Кег(и — Л.!) и Мл=М/М', Тогда М' совпадает с пересечением модуля М и некоторого векторного подпространства пространства М ®хЯ; следовательно, Х-модуль М" — модуль без кручения конечного типа, т.
е. М" — свободный модуль ранга < д. Будем доказывать наше утверждение индукцией по И и применим предложение индукции к эндоморфизму модуля М", полученному по эндоморфизму и. Мы приходим к заключению, что все собственные числа эндоморфизма и в некотором алгебраически замкнутом расширении поля Я целые. в) Покажем, что эндоморфизм о приводится к диагональному виду, Пусть Х вЂ” собственное значение эндоморфизма о, и пусть хек М Эх Я вЂ” такой элемент, что (и — й)ах=О. Тогда и (ох — Хх) = Х (пх — йх); следовательно, — (о — Х вЂ” н+ 1)(о — Х вЂ” и+ 2) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
