Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Ч.т.Д. еГруппа бь является алгебраической группой с алгеброй Ли аб йе. ПРедложение б. Предположим, что поле Ь алгебраически замкнуто, а алгебра 7и 9 полупроста. Пусть 6 — группа авто. морфизмов алгебры Ли 9, содержащая группу Ан1,(9), а (х, Ь, у) и (х', Ь', у') — две й!я-тройки алгебры Ли 9. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) элементы Ь и Ь 6-сопряжень1; (й) е!з-тройки (х, Ь, у) и (х', Ь', у') 6-сопряжены. Достаточно доказать импликацию (1) =е.
(11), и мы можем ограничиться случаем, когда Ь=Ь'. Пусть 9Я и б„такие же, как в лемме 8. По следствиго предложения 2 из $ 1, и'2, мы получаем, что к~9' и (х, 9о)=9'. Следовательно, множество 6„к содержит открытое и плотное в топологии Зарисского подмйожество множества 9', то же самое можно сказать и о множестве 6„х'. Следовательно, существует такой элемент а ~ 6„, что а(х)=х'.
При этом а(Ь)=Ь и, значит, а(у)=у' (и'1, лемма 1), Следствие 1. Отображение, которое каждой е1;тройке ставит в соответствие ее простой элемент, определяет посредством факторизации биективное отображение множества классов 6-сопряженных й!;троек на множество классов простык 6-сопряженных элементов. Слвдствие 2. Если г9(9) = 1, то число сопряженнь!х классов относительно группы АИ1,(9) ненулевык нильпотентных элементов не превоскодит 3 . Это утверждение вытекает из следствия 1, следствия предложения 2 и следствия предложения б.
Следствие 3. Если г9(9) =1, то число сопряженных классов относительно группы АИ1,(9) подалгебр алгебры Ли 9, изоморфнык й((2, Ь), не превосходит 31, Это вытекает из следствия 1, предложения 1 и следствия предложения 5. х!х ГЛ УП! РАС!ИЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 4 4, Главные элементы Опэеделение 3. Предположим, что й — полупростая алгебра 7и.
(!) Нильпотентный элемент х алгебрь! Ли й назь!вается главнь!м, если размерность пространстви Кегайх равна рангу алгебрь! Ли й. (И) Простой элемент Ь алгебры Ли й называется гливным, если Ь вЂ” регулярный элемент и если собственные; значения эндоморфизма аб Ь в алгебраическом зал!ыкании поля Ь принадлежат множеству 2Х. (ш) М,-тройка (х, Ь, у) в алгебре Ли й называется главной„ если длина пространства й, рассматриваемого как модуль над алгеброй 7и Ьх+ ЬЬ+ Ьу, равна рангу алгебры Ли й. ПРедложение 7.
Предположим, что алгебра Ли й полупроста. Пусть (х, Ь, у) есть а!Гстройка в алгебре Ли й. Тогда следующие условия эквивалентны: (!) элемент х главный; (И) элемент Ь главный; (И!) Р(;тройка (х, Ь, у) главная. Положим 8~= Кег(абй — р), где реп Х. Пусть й'= 2 йэР. Рег Если рассмотреть пространство й как модуль над алгеброй Ли а =йх+ ЬЬ+ Ьу, то й' будет суммой простых нечетномерных подмодулей 5 1, и'2, следствие предложения 2). Пусть 1 (соотв. 1') — длина пространства й (соотв. й'), рассматриваемого как а-модуль. Ввиду $ 1, и'2, мы получаем, что дпп (Кег ай х) =1~ 1' = б!Гп(Кег ай Ь) ~ )гд(й).
Отсюда сразу вытекает эквивалентность условий (1) и (!И). Однако условие (И) означает, что б(гп(КегайЬ) = гп(й) и й'= й или, иначе говоря, что й!Гп (Кег ай Ь) = гй (й) и У = 1. Отсюда следует эквивалентность условия (И) другим условиям. ПРедложгние 8. Предположим, что алгебра Ли й полупроста и ~ О. Пусть (! — расщепляющая подалгебра Картина в )х — система корней расщепленной алгебры Ли (й, (!),  — базис системы Я и Ьь — такой элемент подалгебрь! !), что а(Ь') = 2 для любых не- :В. (!) Элемент Ьь простой и главный.
(И) Элементы х в алгебре й, для которых существует Ь~-тройка вида (х, Ьь, у), — это те элементы пространства х й", компоаыэ ненты которых в каждом подпространстве й" отличнь! от нуля, 4 Ь сс. Кльссы сисльпотнстссых элемгсстОВ и:,с-тРОпки о13 Такие элементы йа рассматривались в З 7, п'5, лемма 2 (см. там же, формула 1). Из этой леммы следует, что Ь' — главный элемент и что если хан ~ й' — элемент, каждая компо- аыВ нента которого в пространстве йа отлична от нуля, то сушествует ь(т-тройка вида (х, йо, у). Обратно, пусть (х, Ьо, у) есть р(в-тройка. Тогда [Ь", х[= 2х; следовательно, хе= ч=я, чсьч-е Точно так же у~ ~ 6 '. Представим йс, х н у аыв «ыв в виде йо= ~ а,Н„где а,> О для всех аеи В, а гл В х = ~„Х„где Х, ~ йа для всех а ен В, аыв у= ~ Х, где Х,~й а для всех а~В. аые Тогда ~„а,Н„=Ь«=[у, х[= ~. [Х, Х,) = ~ [Х „Х,[„ откуда вытекает, что [Х-„Х,[ Ф О при любых а ~ В.
Сладствиз. В расщепляемой полупростой алгебре Ди существует нильпотентный главный элемент. В перасгдеплпемой полупростой алгебре Лп О может быть единственным ппльпотентпым элементом. Придложвнии 9. Предположим, что поле й алгебраически замкнуто, а алгебра Ли й полупроста. Тогда все простые (соотв. нильпотентные) главные элементы сопряэкеньс относительно группы Ап(, (6). Воспользуемся обозначениями из предложения 8. Пусть й — простой главный элемент. Он сопряжен относительно группы АИ1,(й) с таким элементом Ь' е= (с, что а(й') я (О, 1, 2) для любого аен В (и'3, предложение 5). Так как й' — простой главный элемент, то а(Ь') чь О и а(й') ~22 для любых а ~ В; следовательно, а(Ь') = 2 для любых корней а ен В, откуда вытекает, что й' = йо.
Это доказывает утверждение относительно простых главных элементов. Пусть х, х' — нильпотентные главные элементы. Тогда существуют б(т-тройки (х, Ь, у) и (х', й', у'). По предложению 7 Ь и Ь' — простые главные элементы; следовательно, они сопряжены относительно группы Ап(,(й). Таким образом, элементы х и х' сопряжены относительно группы АИ14(8) (предложение 6). е!4 ГЛ. У1П. РАСЩЕПЛЕШ!ЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 4 Лемма 9. В обозначеничх предложения 8 положим 8Р = =Кег(ад Ь' — р) для любого р еиЕ. Пусть й' — множество тех ЭЛЕМЕНТОВ ПРОСтРаНСтВа й'= ~ йа, КОМПОНЕНтЬ1 КатОРЫХ В Кажаав дом пространстве йа отличны от нуля.
Пусть 1т+ — множество положительных корней относительно базиса В, и+ — — ~, й и а ~ я+ хаий;. Тогда е" +.х=к+ [и+, пР[. ясно, что е' "+.хс:к+ [и+, и+[. Пусть се= [и+, и [. Докажем, что х+ о Бее"~ "+. х. Положим и!Р'= ~, 9~, Доста° >р точно доказать, что х+ о ~е +.к+и'Р' для любых р)2. Это ясно при р=2, поскольку и!'! = [и, и [ (5 3, и'3, предложение 9(!!!)).
Предположим, что мы нашли ЭЛЕМЕНТ г я П+, дЛя КОтОрОГО О+ Х вЂ” Е'гак Ен и'Р!. ТаК КаК СущЕ- ствует Б(г-тройка вида (х, Ьь, у) (предложение 8), то из следствия предложения 2 5 1, и'2, вытекает, что [х, й"Р '[= йеР; поэтому существует такой элемент г'ен фэ ' с: п+, что о+х — еы х еи [г' х[+ и!Р+и Таким образом, о+хене'!<+м!х+пР+'!, и наше утверждение доказывается по индукции. ПРедложю!ие 10. П редположим, что алггбра Ли й полупроста. Пусть 5 — расщепляющая подалгебра Картана в й, )т — система корней расщепленной алгебры Ли (й, [!),  — базис системы )т, )т+ — множество корней, положительных относительно базиса В, и пэ = х„й . Тогда нальпотентные главные элементы, приа ы я+ надлежащие п+, — это те элементь! из и+, у которых при каждом а ее В компонента, принадлежащая пространству отлична от нуля.
Предложение 8 и лемма 9 доказывают, что такие элементы являются нильпотентными главными элементами. Докажем об. ратное утверждение. Очевидно, можно предположить, что алгебра Ли й проста. Пусть Ь' и йР такие же, как в предложении 8 и лемме 9. Пусть ы — наибольший корень. Положим ы(ьь) =2д, тогда а=ь — 1, где ь — число Кокстера системы )т (см.
гл. Л, 5 1, и'11, предложение 31). При этом 9'"=йа, 6 'а= 8-" и 9~В =О пРи [Ь! > о. СУществУет главнаЯ ь(э-ТРойка (хь, Ьь, уь). По следствию из предложения 2 % 1, и'2, мы получаем, что (ад х')еа(й-") = 9'"; следовательно, (ад х')т" Ф О. Пусть х — нильпотентный главный элемент алгебры Ли й, принадлежа. ! З 1а пОРядки шевллле 2!д щий п.Р. Если я — алгебраическое замыкание поля я, то элементы х®1 и ха®1 сопряжены относительно автоморфизма алгебры Ли й ®„я (предложение 9); следовательно, (аг) х)за Ф О. Поэтому существует такой корень Лен лх, что (адх)'айх ~ О.
Положим х= ~ х„, где х„нз йза. Тогда «М~ (аг(х)м йх с:(аг(х ) айх+ ~, йл =(адх1) айх, й)~аль ыч поскольку 4д+ Л(йа)'= 4д — 2д = 2д. Таким образом, (аг(х,)'айх ~ ~ йы+х<"ч, откуда вытекает, что Л= — ы. Аналогично мы получаем, что (адх,)'ай =йа. Имеет место равенство а= л„яаа, а~В где п,> О при всех а си В (гл. 'Ч1, з 1, п'8, замечание). Если существует такой корень аа я В, что х, я 2 йа, то из агав, а ааал соотношения лв Ф вЂ” в + )' яа аав, ааа а, следует, что 9" ~й (адх,)Р й " для любого р; но это невозможно, следовательно, содержащаяся в подпространстве йа компонента элемента х, отлична от нуля при всех а еи В.
5 12. Порядки Шевалле 1. Решетки и иврядки Пусть У вЂ” векторное пространство над полем 11. Решеткой в пространстве У называется такой свободный У.-подмодуль У' модуля У, для которого ь1-линейное отображение аг, Р'. Ул Эхь1 — У, индуцированное вложением У' в У, биектнвно. Если пространство У конечяомерно, то это условие равносильно тому, что У' является Х-подмодулем конечного типа, порождающим Я-пространство У (напомним, что по следствию 2 из Алг., гл. ЧИ, % 4, и'4, Х-модуль конечного типа без кручения свободен); впрочем, тогда наше определение становится частным случаем определения 1 из Комм. алг., гл. Ч!1, з 4, и'1 (там же, пример 3). Если à — векторное подпространство пространства У и У' — решетка в пространстве У, то У П )У вЂ” решетка в Ф'.
Если У есть 1е-алгебра, то порядком в ней называется решетка л в векторном пространстве У, которая является Е-подалгеброй алгебры 1'. При этом отображение а,г будет нзоморфнзмом 1е-алгебр. Если У есть (1-алгебра с единицей, то унитарным порядком в алгебре 1' называется порядок в У, содержащий единицу. Предположим, что )т — биалгебра над Я с коумножением с и коединицей у. Если У' — решетка в векторном пространстве )т, то каноническое отображение 1: У'®БУ' )т®о)т инъективно. Бипорлдком в бцалгебре )т называется такой унитарный порядок У в алгебре с единицей 'у', для которого у(У') с: е, и с(У ) с:1(У' ЭХУ').
Отображения У' — РХ н сх1 "У'-РУ' ®зУ', построенные по отображениям у и с, снабжают порядок У' структурой биалгебры над Е, и отображение а;, У будет изоморфизмом Я-биалгебр. 2. Разделенные степени в биалгебре Пусть А — некоторая й-алгебра с единицей, хеиА, Иый, п~ М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
