Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 44
Текст из файла (страница 44)
чП, 3 2, п'4, подалгебра р1 состоит из полупростых эндоморфизмов пространства ч'. Однако подалгебра Ли и, состоит из иильпотентных эндоморфизмов пространства )1, поэтому и, =О. Следовательно, ч = р, — подалгебра Картана в 61, а так как подалгебра ли й, нормализует 5, то () =йь Таким образом, доказано, что все элементы подалгебры Ли 5 полупросты в й и что централизатор подалгебры Ли в й равен э. Поэтому 5 =йв(5) и, следовательно, подалгебра Ли () является подалгеброй Картана алгебры Лн й.
д) р — параболическая подалгебра алгебры Ли р. Как показано выше, 5 — подалгебра Картана в й, подалгебра и состоит из нильпотентиых элементов алгебры й и [(), и] с:и. Обозначим через Й алгебраическое замыкание поля й. По определению р является параболической подалгеброй в алгебре () тогда и | е |0.
ылнспмхльпые подллгеБРы полупРОстых АлгеБР ли 199 только тогда, когда й Зь~) — паРаболическаЯ подалгебРа в алгебре Ли й За 9. Так как рассматриваемые свойства сохраняются при расширении поля скаляров, то можно проводить доказательство, предполагая, что подалгебра $ расщепляющая. Пусть )1 — система корней расщепленной алгебры Ли (й, ()). Ввиду предложения 2(ч) из 9 3, п'1, существует такое подмножество Р множества )1, что Р Д ( — Р) = Я и и = ~ оаР Обозначим через Р' множество таких корней а, что — аЬй Р. Тогда Р'()( — Р') =)1 и ортогональное дополнение 9 подпространства и в й совпадает с ()+,1 йо. Тем самым показано, омР' что подалгебра 9 параболическая, Ч. Т.
Д. Лемл|а 1. Пусть й — полупростая алгебра Ли, (л — конечно- мерное векторное пространство, р — линейное представление алгебры Ли й в пространстве )Л, 0 — надпространство векторного пространства )л, Ь вЂ” подалгебра Картана алгебры Ли й, Ь (соотв. Ь') — множество такис элементов хек й, что р(х) Ос 0 (соотв. р(х)0=0), и |Р— билинейная форма на й, ассоциированная ') с представлением р. (!) Если подалгебра 1) расщепляющая, то подпространства Ь и Ь' в Ь рациональны над полем Я. (й) Если отображение р инъективно, то ограничение формы |Р на Ь (соотв. на Ь') невырожденно.
Предположим, что подалгебра Картава 1) расщепляющая. Пусть д — размерность подпространства О, Положим 1(т = Д" ()л) и а= /~" (р). Обозначим через (е|, ..., ег) базис пространства О, и пусть е = е, лх ... лх ел — разложимый с(-вектор, соответствующий подпространству О. Пусть Р— множество весов представления а относительно подалгебры Ь и Ят" — надпространство пространства %', соответствующее весу 1л. Положим е= ~, ев опР (где е" ен )р'" при всех )лен Р) и обозначим через Р' множество весов 1А, для которых евФО, а через Р" — множество разностей элементов из Р'. Если хан Ь, то х я Ь в том и только том случае, когда в поле и существует такой элемент с, что р(х),е = с.е (гл, ЧП, $5, и'4, лемма 2 (1)). Так как р(х).еь =)л(х).ев, то ясно, что условие хек Ь эквивалентно тому, что 1л(х) =О для всех р ~ Р".
Так как Я-структура на пространстве Ь задана (1-подпространством Ьа, порожденным элементами Н„и любой элемент )л из Р" принимает рациональные значения на Ьа, то мы получаем (А1д., сйар. П, $8, п'4, ргороз!!!оп 5), что надпространство Ь пространства Ь рационально над Я. ') Иначе говоря, Ф (х, у) =Тг (р(х) р (у)) для всех х, у ~ 9.
зов Гл. Рн!. РАГшгплБ1111ые полупРостыГ АЯГеБРы лп 1 Пусть р„для любого р еи Р— проектор на подпространство Г'Р, определенный разложением Р = 9 )1", а Р1 — мно- РШР жество тех !л Би Р, для которых рь(й)ФО. Понятно, что 6' совпадает с пересечением ядер (в пространстве 5) элементов из Рь Вследствие этого такое же рассуждение, как для подпространства 6, показывает, что подпространство Б' пространства 5 рационально пад полем !л. Тем самым утверждение (1) доказано.
Расширив, если нужно, поле скаляров, мы можем при доказательстве утверждения (!11) предполагать, что поле й алгебраически замкнуто и, как следствие, что подалгебра (1 расщепляющая. Пусть и1 — некоторое подпространство векторного пространства 5, рациональное над (1. По следствию предложения 1 из $ 7, и'1, для любого нулевого элемента х из жа =ж ()5а выполнено неравенство Ф(х, х) > О. Таким образом, ограничение формы Ф на жч невырождснно, и ограничение формы Ф на подпространство ж тоже невырождснно, так как 1и канонически изоморфно пространству й Эата. Опяяделение !.
Пусть я — подалгебра полупростой алгебры Ли 3. Подалгебра 1 называется разделяющей подалгеброй в алгебре Ли 3, если для любого элементп х ~ я полупростая и нильпотентнпя компоненты элемента к в плгебре 3 принадлежат и. Обозначим через и, (и) множество тек элементов х радикала алгебры 11, для которык эндоморфизч ай„(х) нильпотентен. Пусть р — точное представление алгебры Ли 8 в конечно- мерном векторном пространстве )т. Тогда (гл.
1, 5 6, и'3, теорема 3) элемент х алгебры Ли 3 полупрост (соотв. нильпотентеи) в том и только том случае, когда эндоморфизм р(х) пространства )1 полупрост (соотв. нильпотентен). Поэтому а — разделяющая подалгебра в алгебре Лн 3 тогда и только тогда, когда р(4) — разделяющая подалгебра в алгебре Ли 31()т) в смысле определения 1 из гл. ч'1!, $5, п' !.
Аналогично, используя обозначения из гл. Н1, $ 5, и 3, получим р (и (и)) = и, (р (я)). Тиогемь 2. Пусть 3 — полупростая плгебра Ли, и — подалгебра в 3, состоящая из нильпотентных элементов, и 4 — норл1алиэатор подалгебры и в алгебре Ли 3. Предположим, что и совпадает с л1ножеством нильпотентных элементов радикала алгебры Ли 5.
Тогда подалгебра Ли 1! ппраболическая. Отметим сначала, что подалгебра я разделяющая (гл. ч'11, $5, и'1, следствие 1 предложения 3). Ввиду теоремы 1 достаточно доказать, что и совпадает с ортогональным дополнением 1Р подалгебры и относительно формы Киллинга Ф алгебры и.
Ясно, что 11 ~ и' (гл, 1, 5 4, п'3, предложение 4 г)). Ввиду предложе- ь 1О мьксимьлы1ые подялгеьгы полупгостых АлгеБР ли эо! ния 7 из гл. 711, $5, и'3, существует такая подалгебра ж алгебры д, редуктивная в д, что алгебра д явчяется полупрямым произведением ж и и. Покажем, что ограничение формы Ф на 1и невырожденно. Пусть с — центр подалгебры ж. Тогда Ф([п1, ш], г) =0 по предложению 5 из гл. 1, 3 5, п'6, и ограничение формы Ф иа подалгебру [ж, и1] невырожденно ввиду предложения 1 из гл.
1, э 6, п'1. Остается показать, что ограничение формы Ф на с невырожденно. Обозначим через ! подалгебру Картана алгебры Ли [и1, ж]; тогда !9с — коммутативная и редуктивная подалгебра алгебры Ли д. Пусть 5 — подалгебра Картава алгебры Ли д, содержащая ! Я с (гл. ЧП, $ 2, п'3, предложение 10). Тогда ч Дд — коммутативная подалгебра алгебры д, содержащая 1кТУ с, и эндоморфизм ад,х полупрост при любом х ~ ч Д ф Следовательно, подалгебра !) П д содержится в некоторой подалгебре Картана !1' алгебры д (гл.
АтП, $ 2, п'3, предложение 10). Обозначим через [ проекцию алгебры Ли д на и! с ядром и, тогда [((1') — подалгебра Картава алгебры Ли пг (гл. Л!, 5 2, п'1, следствие предложения 4), содержащая !9г, и, следовательно, совпадающая с !9с. Вследствие этого 1(ч Пд) =!(!) с, и так как каждый элемент подалгебры ч полу- прост в д, то (! [) д =!Я с. Тогда с=[х~ 11~ [х, и] ~п и [х, [1и, в1]]=0], По лемме ! ограничение формы Ф на с невырожденно. Пусть д' — ортогональное дополнение надпространства д в д относительно формы Ф.
Предыдущие рассуждения показывают, что дД 11" =и. Предположим, что д чьи', следовательно, д'Ф и (и дч ~ п). Так как подпространство д устойчиво относительно эндоморфизмов абэп, то устойчиво и дь. Из теоремы Энгеля следует, что существует такой элемент х еп д', что х Ф и и [х, и] с и. 1-1о тогда х еп 1'Дд =п, что приводит нас к противоречию.
Значит, 0 = и". Следствие !. 1!усть и — некоторый максимальный элемент мноакеетва всех подалгебр алгебры Ли д, отличных от д. Тогда подалгебра 1 параболическая или редуктивная. Можно предполагать, что д — подалгебра алгебры Лн д! (!') для некоторого конечномерного векторного пространства Пусть е(д) ~ д — разделяющая оболочка подалгебры д. Если с(11) = д, то подалгебра д — идеал в д (гл.
ч!1, 3 5, и'2, предложение 4); следовательно, она полупроста, и, таким образом, подалгебра д редуктивна в д. Предположим, что е(д) ~ д. Тогда г(д)=д, поэтому и — разделяющая подалгебра, Предположим, что алгебра Ли 1 нс редуктивна д. Обозначим через и множество нильпотентных элементов радикала алгебры Ли ф Тогда пФО (гл. 1т!1, 3 5, и'3, предложение 7 (!)).
Пусть Р— нормализатор подалгебры и в д. Тогда р ~ ! и р ~ д, поскольку 202 ГЛ. УП!. РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 1 алгебра й полупроста. Следовательно, р= 0 и подалгебра 0. па- раболическая (теорема 1). Следствие 2. Пусть и — подалгебра алгебры 7и й, состоящая из нильпотентных элементов. Тогда существует параболическая подалгебра 0 алгебры 7и й, обладающая следующими свойствами: (1) "с: пв(е1)! (В) нормалиэатор подалгебры и в алгебре Ли й содержится в Ч' (!и) любой автомор4изм алгебры Ли й, сохраняющий подалгебру и, сохраняет и ф Если алгебра й расщепляема, то и содержится в некоторой подалгебре Бореля алгебры Ли й. Пусть 01 — нормализатор подалгебры и в алгебре Ли й и п1 =и,(01).
Определим по индукции Б, как нормализатор подалгебры и; 1 в алгебре й и и; как п,(01). Последовательности (и, п1, пм ...) и (111, йм ...) возрастающие. Существует такой номер 1, что 01 — — 0Г.Р1, т. е. подалгебра 0Г совпадает с нормализатором подалгебры и, Ц1) в й. Следовательно, 0! — параболическая подалгебра (теорема !), причем и с: п;= п, Ц;) и 01~1)ь Если подалгебра и устойчива относительно какого-либо автоморфизма алгебры Лп й, то подалгебры пп пм ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
