Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 39
Текст из файла (страница 39)
сЬ (Е) = ~„(д(ш Е') еА ен Е [Л]. А~А (5) Пусть Е', Е, Е" суть градуированные векторные пространства ГА 1 /РА с градуировкой типа 11, подпространства Е, Е, Е которых имеют конечную размерность над полем к, н О- Е'- Е-+ -РЕ"- Π— точная последовательность гомоморфизмов степени О. Мы сразу же получаем, что сЬ (Е) = сЬ (Е') + сЬ (Е").
(6) В частности, если Р1, Р, — такие векторные пространства с градуировкой типа о, что пространства Р1 и Р, имею1 конечную размерность над полем к, то выполнено равенство с)1 (Р!ЭРЕ) с)1 (Р1) + с)1 (Ре) (7) 7. Характеры Е-модулей Пусть б — коммутативный мононд с аддитивной записью закона композиции, Х[б[ = 7,'~' — алгебра моноида Л над Х (А!д., с)1ар. !П, $ 2, п' 6). Обозначим через (еА) канонический базис в алгебре л [А[.
Тогда еА+Р =ехеи при любых Л, 1А изб. Если Π— нейтральный элемент моноида о, то еа — единичный элемент алгебры 7, [А[; этот элемент мы оудем обозначать через 1. Пусть Е есть градуированное векторное пространство над полем й с градуировкой типа Л и (ЕА) А — эта градуировка. Если каждое пространство Е конечномерно, то характером модуля Е называется элемент (б!т Е ) д алгебры Е ; характер А Ь обозначается через с)1 (Е). Если сам модуль Е конечномерен, то г 1 г. Коннчномегнын модули 175 Если же пространства Р, и Р, конечномерны, то верно также равенство с)з(Р чр Р ) )1 Р,.с)трз.
(8) Пример. Предположим, что Ь=(Ч. Пусть Т вЂ” независимая переменная. Супгестеует единственный изоморфизм алгебаоы л 1(Ч) на алгебру л(Т). при котором для любого пан и элемент е переходит в Т . Для каждого конечномерного градуированного векторного пространства о типа М образ элемента сй (Е) в алгебре и (Т) совпадает с многочлеиом Пуанкаре пространства и (гл.
Ч, э 5, п'1). Пусть Š— такой й-модуль, что Е = ~, Е и каждое проз ьюв» ь ьт странство Е конечномерно. Семейство (Е 1 . определяет градуировку векторного пространства Е. В дальнейшем мы сохраним обозначение сй(Е) для характера пространства Е, рассматриваемого как градуированное векторное пространство типа «'. Характер с)з(Е) является, таким образом, элементом группы Хе . Если Š— конечномерный модуль, то с(т(Е) ~ Х[Р]. Всчедствие формулы (6) и леммы 3 из и'6 существует единственный гомоморфизм группы Я(й) в группу Х[Р], который любой конечномерный й-модуль Е переводит в сй(Е).
Этот гомоморфизм мы тоже будем обозначать через с)з. Соотношение (8) показывает, что с)т является еомоморфизмом кольца Я(й) в кольцо Е [Р]. Замечание, Любой элемент группы Р определяет простой 1-мерный «-модуль Следовательно, определен гомоморфизм группы л (Р) в группу Э1 («), который будет инъективиым гомоморфизмом колец. Летно проверить, что композиция гомоморфнзмов ж(й)-ьд(Р1 +м(«) совпадает с гомоморфизмом, определенным канонически вложением подзлгебры Картана «в алгебру Ли й (п'6).
Группа Вейля (Р' действует с помощью автоморфизмов на группе Р, а следовательно, на кольце ке. Для любого )ьни Р и любого гс ен (Р' мы получаем равенство гсеь = е"ь. Пусть Х[Р]нг — подкочьцо )Р'-инвариантных элементов кольца Х[Р]. Лемма 6. Если да рье, то с)г[7.] енХ[Р]ж. Единственный максимальный чл н элемента с)г[).] (гл. П, $3, п'2, определение 1) равен еь, Первое утверждение вытекает из следствия 2 предложения 2 и'1, а второе — из предложения 1(В) $6, и'1. Тнорвмл 2.
(1) Пуста (га,)„жэ — семейство фундаментальньгк весов относительно базиса В, а (Т,)„ в — семейство независимьи !76 Гл. ш11. Рьсщспленные полупРостые ьлгеБРы лн переложенных. Тогда отображение ) [(([ы„])„~в) кольца Е[(Т„)„л) в кольцо Я(й) являетсл изоморфизмом колец. (И) Голюморфизм сй кольца Я. (3) в кольцо Х [Р] индуцирует иэоморфизм кольца Я(й) на кольцо л[Р]ч', (1И) Пусть Š— конечномерный я-модуль. Тогда, если с)1Е= лтхс(1 [Х], то длина иэотипной компоненты, отвечающей хя я++ старшему весу Х модуля Е, равна тм Семейство ([Л])„Р является базисом Е-модуля Я(й), а семейство (сЬ [Ц) р — базисом Х-модуля У.[Р]ч' (лемма 6 и предложение 3 гл. Ч!, $ 3, п'4).
Это доказывает утверждения (И) и (ш). Утверждение (!) следует из утвер;кдения (И), леммы 6 и теоремы 1 из гл. Ч!, $ 3, п'4. Следствие. Пусть Е, Е' — коне ьномерные й-модули. Тогда для изоморфности модулеи Е и Е' необходимо и достаточно, чтобы их характеры совпадали: сй Е = сЬ Е'. Доказательство следует из теоремы 2(И) и полупростоты модулей Е и Е', $8, Симметрические инварианты В этом параграфе через (а, 11) обозначается расщепленная полу- простая алгебра Ли, через )у' — ее группа Вейля, а через Р— ее группа весов.
1. Экспонента линейной формы. Пусть )т — конечномерное векторное пространство, а 8 (Г) — его симметрическая алгебра. Структура коалгебры на 8((7) определяет на 8 (У)" структуру ассоциативной и коммутативпой алгебры (А1а., сЬар. П1, 3 1О, и' 4). Векторное пространство 8()т)* канонически отождествляется с пространством П 8 (Г)", а 8 (Г)' м~ь канонически отождествляется с пространством тп-линейных симметрических форм на пространстве )т. Каноническое вложение пространства )7' = 8'()7)' в алгебру 8(у')' определяет инъективиый гомоморфнзм алгебры 8(Г*) в алгебру 8(У), образом которого является алгебра 8(1')'е" = ~ 8 ()т)' (А(д., сЬар.
1П, аль $ 11, п'5, ргорозййоп 8). Алгебры 8 ()'") и 8 (1т)*е' можно отождествить при помощи этого гомоморфизма; алгебру 8(Г) можно отождествить также с алгеброй полиномиальных функций на пространстве у'(гл, И1, дополнение 1, п'1). % 3 спммстгичгскпя иивлгиьпты 177 Элементы (и ) еи Ц 8 (Г)', такие, что иь=О, образуют ы>0 идеал / алгебры 8(Г)'.
Алгебра 8(!7)* снабжается У-адической топологией (Комм, алг., гл. П1, э 2, и' 5), относительно которой она полна, а алгебра 8(Г) плотна в алгебре 8(Г)'. Если (е,.*) — базис пространства Г, а Т,, ҄— независимые 1=и<и переменные, то гомоморфизм н(Ти ..., Т„'! в 8()7*), который переводит Т,. в е",. (1 » (!<и), является изоморфизмом алгебр и продолжается до непрерывного изоморфизма алгебры й !(Т,, ..., Т„)] на алгебру 8((7)'. При любом Л ~ Г* семейство Л"/и! суммнруемо в алгебре 8((7)'.
Его сумма называется экспонентой линейной формы Л и обозначается через ехр(Л) (в соответствии с гл. 11, э 6, и' 1). Пусть х„..., х„е= Г; мы получаем, что (ехр(Л), х, ... х„)= — „, (Л", х~ ... х„)=(Л, х,) ... (Л, х„) по формуле (29) из А1д., свар. П1, $11, п'5. Отсюда сразу же следует, что ехр(Л) — единственный гомоморфизм алгебры 8(Г) в поле й, продолжающий Л. Для любых Л, р ~ 17' имеет место равенство ехр(Л+ р) = = ехр (Л) ехр (р) (гл. П1, $6, п' 1, замечание). Отображение ехр: (7* — » 8((7)" будет, таким образом, гомоморфизмом аддитивной группы пространства Г" в мультипликативную группу обратимых элементов алгебры 8()7)*. Множество (ехр(Л)) „„— свободное семейство в векторном пространстве 8()7)*(А1д., свар. 1Ъ', $ 7, и' 3, (пеогегпе 1).
Лемма !. Пусть П вЂ” подгруппа аддигивной группы )7', порождающая Г как векторное пространство, и т — целое число ь О. Тогда множество рг (ехр (П)) порождает векторное пространство 8 (г'*). Согласно А1д., с!7ар. 1, Э 8, п' 2, ргороа!!!оп 2, произведение любых т элементов из 17" является линейной комбинацией над полем и элементов вида х, где х ~ П. Но х =о1! рг (ехр(х)).
ч. т. д. С помошью переноса структуры любой автоморфизм пространства )7 определяет автоморфизмы алгебр 8(17) и 8()7)'. Отсюда следует, что имеются естественные линейные представления группы 61. (!7) в пространствах 8()7) и 8(Р)". 2, Вложение й(Р! в 8® Отображение р «ехр р группы Р в 8(17)* определяет гомоморфизм аддитивной группы Р в мультипликативный моноид 8(ч)' 178 ГЛ. ЧИ1. РАСШЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕГРЫ ЛИ 2 (п' 1).
Следовательно, существует единственный гомоморфизм 1Р алгебры й [Р] моноида Р в алгебру 8(ч)*, для которого Чо(ЕА) =ЕХр(А) (7о ~ Р) (мы воспользовались обозначениями из $7, и' 7). Ввиду и' 1 ф — инъективный гомоморфизм. С помощью переноса структуры получаем, что Чо(и1(е")) = в И>(ех)) для любого Х ен Р н любого в ~ )Р'.
Следовательно, если через й [Р]т" (соотв. через 8(й)'1т) обозначить множество инвариантных относительно 1Р' элементов алгебры й [Р] (соотв. 8 (Ф)'), то имеет место включение Чо(я[Р]1т) с: 8(9)'~. ПРедложение 1. Пусть 8 (ч')1Р— множество элементов из 8 (11'), инвариантных относительно йг. Тогда рг (ф(й [Р]1т)) = =8 (й")'~. Из предыдущего ясно, что рг (Ч1(я [Р]1т)) ~ 8" (11*)п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
