Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 43
Текст из файла (страница 43)
2. Размерности Посты» й-модилей Если 1Аеп»", то положим У(еа) = Х е(гс)е Р, см. гл. у], Вт В" 5 3, и'3. Таояемл 2. У/усть Š— простой конечномерный й-модуль, ) — его старший вес и (.[.) — положительно определенная не- вырожденная симметрическая РТ-инвариантная билинейная форма на пространстве»'. Тогда ат Я+ ат Я+ Пусть Т вЂ” независимая переменная. Для любого у ~Р обозначим через /, гомоморфизм кольца е [Р] в кольцо К [[Ти, который отображает элемент е' в элемент е<'нот при любом иеп Р.
Таким образом, б1щŠ— свободный член ряда /,(с)4Е). При любых 14, т ~ Р выполняются равенства [,(У(еи)) = ~ е(п«)еим а~т ВЕ4У Х а(ю) е(" ' ~а) т /а(У(еи)). т т 4т В частности, учитывая формулы (3) из гл. Ч1, 5 3, и'3, при- ходим к равенству )р(У(еа)) = Уи (У(еь)) =есыь~т Ц (1 —.е-мпот) атя4, Следовательно, полагая Сагдф+) =Лг, получаем, что (У(еа))=— Тн Ц (14]а) (що4)Тном|К[[Т]]).
Из равенства У(еА+ь) =сЬ(Е).У(еа) (теорема 1) следует, что Т ч Ц (Х + р ] а) — = [Р (сЬ Е) . Тн Ц (р ] а) (щоо Тн+'К ][Т]]), атл+ а те+ 7 й>рьа«и 194 Гл. т!и. Раси!еплеш!ые полупгостыа Алгваеы ли а откуда мы получаем, что а а =( П а !-Р! !)/( П ма) = П (! -~ь( —.",). а а я+ пав+ аа а+ Но если асио+ и если корень а отождествить с элементом пространства (), пропорциональным элементу На, то (Л+ о) а)/(р) а) =(Л+ р, На)/(р, На).
Примеры. 1) Рассмотрим пример из и'1. Мы приходим к формуле Йш 1' (ьч) = ( 2 а + 2-) (Н,)/2 (На) = пг + 1, которую мы получили другим способом в 5 1. 2) Пусть а — простая расщепляемая алгебра Ли типа Пм Воспользуемся обозначениями из гл. П, таблица !Х. Снабдим пространство !)"„такой положительно определенной 1Г-инвариантной симметрической формой (.(,), что (а! ~ а,) =1. Тогда Р=а!!+ а!а и Следовательно, если п„па — целые числа ~)О, то размерность простого модуля со старшим весом п,й, + и;й, равна (1 + и!/2) (1 + Зпа/2 ) (1 + п!/2+ Зпг/2 ) (1 + п, + Зпа/2 ) ~ =(1+ )(!+на)(1+ и'+'и')(1+'и'+'и') х Х(1+ и'+и') (1+ и'+'и') = 1 + !!>) (1 + и!) (2 + и! + па) (3 + п~ + 2п!) (4 + п1 + Зп!) (5 + 2п! + Зпа) В частности, размерность фундаментального представления со старшим весом й, (соотв.
й,) равна 7 (соотв. !4). (й! ~а!) ='/ю (й, ( ат + а,) = '/ю (й, ! аа + За, ) = з/„ (йа | а!) = О, (й~)а +а)= /, (йа ~ а, + За!) = '/и (й,(аа) =О, (й!(а, + 2а!) = 1, (й,! 2аа + За!) = з/м (й,)а ) ='/„ (йа) +2а!)= /, (й,( 2а, + За!) = 3. 9 а ФОРМулА гермАнь Венля 195 8.
Краткости весов простых а-модулей Пнедложенне 1. Пусть взвар++. Тогда для любого Х~Р кратность веса Х в модуле Е(в) равна ть= Х в(и)%(ш(99+ Р) — (~+Р)). и е В' По теореме 1 и лемме 1 мы получаем, что сЬ Е (99) = Кг-Рй сЬ Е (99) = Ке Р ~„в (в) е" 1"+91, ФФЧГ поэтому сЬЕ(99)= ~ в(ш)ф(у)е Р+""+Р' т ФФ%', тес+ т„= Е в(ш)% (у) вФ ВГ, У~ОФ, т — А-Р+Ф и+И Следствие. Если А — вес модуля Е(99), отличный от веса ьз, то т„= — ~ в(ш) тьяр р, ЭИВ'. Ф ф! Применим предложение 1 при ьз = О.
Тогда, если и ен ~ Р— (0), то 0= ~ в(ш)7(шр+р — р), яки откуда следует, что 7(р) = — ~ в (ш) 7 (р + шр — р). яю1т, ю Ф! Таким образом, предложение 1 показывает, что ть= — ~, в(ш) ~„в(ГВ') 7(ш(99+ р) — (Х+ р)+ ш'р — р), ФФВГ Ф'Ни, Ф' Р ! поскольку ш(99+ р) Ф "р. +р для всех шеи )т' (5 7, предложе- ние Б(ш)). Следовательно, ть = — ~, в(Гс') ~; в(Го)9р(в(Гь+р) — (А+ р — ш'р+ р))= ыФ в, Ф'Ф! ыяв — е (в') ть+, р (предложение 1). Ф'~В', В'~ь! 4.
Разложение тензорного произведения двух простых и-модулей ПРедложение 2. Пусть А, реп Р„+. В кольце й1(9) имеет место соотношение И 1р)= Е т(1 р )И УФ РФФ Гл. У1п. РАсщепленные полупРОстые АлГеБРы лн где т(2„1А, ч) = 2 е(вв')7(в(Х+ р)+ в'(1А+ р) — (у+ 2р)). Р, аУе1Р Пусть Е, Р— конечномерные простые й-модули со старшими весами Л, р. Пусть 1„— длина изотопной компоненты со старшим весом т в модуле ЕЭР. Достаточно показать, что е(вв')ф(в(Х+р)+в'(11+р) — (У+2р)), (2) Р,а а1Р ПОЛОЖИМ С,=СЬ(Е)= Я т Е', С,=С)1(Р), да /(ЕР), ГдЕ ЭЛЕ- ааР мент / определен так же, как и в п' 2. Имеет место равенство 11 с)1 ф] = с11 (Е 3 Р] = с 1сы вяР++ откуда, умножая на д и применяя теорему 1, получаем, что 12/ (Ее+а) = С1а'(ЕР УР) = ( ~, таЕ'1 ( ~ Е,(В) Е М+Р1) = ВаР++ (ааР ) (ю~аг = ~ 1 ~„е(в)т,+Р 1Р+,1)е'+Р. (3) аеР (Раж Но если ВЕЕР~э, то $+р принадлежит камере, определенной базисом В (гл.
у'1, 5 1, и' 10); для элементов в ев 1Р', отличных от 1, мы получаем, что в(2+ р) ф Р+э. Следовательно, коэффициент при е'+Р в выражении ~ 11У(ев+Р) равен 1,. Ввиду ++ форм лы (3) У 1.= Е е(в)т. Р- 1Р+Р1 В я и' или вследствие предложения 1 е (в) в (в') 7 (в' (Х + р) — (т + р — в (П + р) + р)), что доказывает формулу (2). Пример, Рассмотрим пример из и' 1. Пусть 2,=(п/2)а, 11= =-(р/2)а и у =(д/2)а, где п~) р, Тогда т(Х, 11, у) =1])( — а+ — + — а+ — — — а — а)— Гп и р а а ~2 2 2 2 2 Гп а р а д — 4( — и+ — — — а — — — — а — а)— Э~2 +2 2 2 2 и а р а а — 'р( — — а — — + — и+ — — — а — а) + 2 2 2 2 2 и а р а а + 1Р ( — — а — — — — а — — — — а — а) =- 2 2 2 2 2 =1])(" а) — р(" Р Е ) 4 1в. мАксимллы1ые подАлгевРы 1!ОлупРОстых АлггеР ли 197 Это число равно нулю, если и+р+д не делится на 2 илн если д)~п+ р.
Если д=п+ р — 2г, где г — целое число )О, то т (А, р, т) = $ (га) — Я(г — р — 1) а); следовательно, т (А, )ь, т) = 1, если г ~ р, и т ()с, )г, т) = О, если г > р. Таким образом, й-модуль У'(и) З )г(р) нзоморфен модулю )г(п+ р))т))'(и+ р — 2)г)у)г(п+ р — 4)1тг ... )т) )г(п — р) (формула Клебига — Гордона). Э 10. Максимальные подалгебры полупростых алгебр Лн Теорема 1. Пусть )г — конечномерное векторное пространство, й — редуктивная подалгебра алгебры Ли й! ()г), ~! — подалгебра алгебры Ли й и Ф вЂ” билинейная форма (х, у) ь Тг(ху) на 2Х3.
Предположим, что ортогональное дополнение и подпространства й в й относительно формы Ф вЂ” подалгебра Ли, состоящая из нильпотенгных эндолюрфизмов пространства )г. Тогда ~1 — параболическая подалгебра алгебры Ли й. а) й — нормализатор подалгебрвг и в й. Обозначим его через р. Пусть х я й и у е и. Для любого х я й имеем [г, х! я й, поэтому Ф( [х, у), г) = Ф (у, [г, х) ) = О.
Следовательно, [х, у! Енп. Таким образом, й ~ р. Так как и— идеал в алгебре р, состоящий из нильпотентных эндоморфизмов пространства )г, то пространство р ортогонально к и относительно формы Ф (гл. 1, $ 4, и' 3, предложение 4г)). Так как форма Ф невырожденна '), то р ~ 4, что и доказывает наше утверждение, б) Существует такая редуктивная подалгебра ' ш алгебры Ли й!()г), что подалгебра 4 будет полупрямым произведением п) ив. Обозначим через пг(й) наибольший идеал алгебры Ли 1, состоящий из нильпотентных эндоморфизмов пространства Тогда идеал пу(й) содержит и и является ортогональным дополнением к 1 (там же); следовательно и =ну(!). Так как по предположению подалгебра Ли й редуктивна в й!()7), то опав разделяющая подалгебра (гл.
))11, 3 5, п'1, предложение 2). Поэтому алгебра Ли 1, являющаяся пересечением подалгебры й с нормализатором подалгебры и в й! ()г), тоже будет разделяющей подалгеброй Ли (там же, следствие 1 предложения 3). Теперь наше утверждение следует из предложения 7 гл. И1, э 5, п'3. ') Пусть в — ортогональное дополнение к 6 относительно 1В. Это идеал алгебры Ли 9. По лемме 3 из гл, 1, 4 б, каждый элемент идеала б иильпотеитен. Тождественное представление алгебры 9 полупросто (гл.! $6 след ствие 1 предложения 7), поэтому каждый элемент идеала 6 полупрост (гл. 1, $6, теорема 4).
Таким образом, 4=0. 1за ГЛ. ЧП1. РАСШЕПЛЕППЬ1Е ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 1 Выберем некоторую подалгебру Картана Р в алгебре Ли Б1, обозначим через й, централизатор подалгебры Ф в алгебре Ли й и положим 11 = 31 П р, и, = п П ц1. в) Алгебры Ли 31, р1 и в, удовлетворяют предположениям, сделанным относительно й, р и п, Так как подалгебра Ли е[ редуктивна в 31(ч), то алгебра Ли 5 коммутативиа и состоит из полупростых эндоморфизмов пространства (т (гл.
ЧП, $2, и'4, следствие 3 теоремы 2). Тогда 61= ц" (ч) и подалгебра Ли й, редуктивна в алгебре Ли й (гл. ч'11, 5 1, и'3, предложение 11), поэтому она редуктивна и в 31()т) (гл. 1, 5 6, следствие 2 предложения 7). Ясно, что подалгебра Ли и, состоит из нильпотентных эндоморфизмов пространства 11. Так как 5 — подалгебра алгебры Ли р, редуктивная в й(()1), то присоединенное представление алгебры Ли р в р полупросто. По определению р1— это множество инвариантов для ад,9); следовательно, р =р1+ + [й, р] (гл 1, $3, и'5, предложение 6). Так как Ф(йп [в, р]) =Ф([р, 31], р) =О, то элемент подалгебры 31 ортогонален к р, тогда и только тогда, когда он ортогоналеи к р.
Таким образом, и, = й, П и— ортогональное дополнение к р, в йь г) Оодалгебра Картана (1 алгебры Ли БГ является подалгеброй Картана алгебры Ли р. Так как р = в1 9 п и (1 = п1 П й„то ясно, что р, = ~1 9 БР При этом [ч, и1] = О, подалгебра 5 коммутативна, а подалгебра и, иильпотентна; значит, алгебра Ли р, нильпотентна. Ввиду а) и в) алгебра Ли р, является нормализатором и, в йп поэтому подалгебра Ли р, совпадает со своим нормализа* тором в й, и, таким образом, это подалгебра Картана алгебры Ли 31. Так как алгебра Ли 31 редуктивиа в й((ч'), то ввиду следствия 3 теоремы 2 из гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
