Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Любой элемент пространства 8 (~~') является линейной комбинацией над полем я элементов вида рГ (ЕХр(А)) =(рГ о ф) (ЕА), где Х~Р (лемма 1). Следовательно, элементы пространства 8 (9')1т — это линейные комбинации элементов вида Я ((Р1' о ф) (Е )) = (Р~ о ф) [ ~„и1(Е~)), оо ю М ~оо~ 1т которые принадлежат рг (ф(я [Р]"')), ПРедложение 2.
Пусть Š— нонечнол1ерный й-модуль. Пусть У (11) = 8 (е) — универсальная обертывающая алгебра подалгебры Картана $. Тогда, если и ~ У(й), то ил1еет место равенство Тг (ив) = (ф (СЬ Е), и). Достаточно рассмотреть случай, когда и=й1 ... Ь, где Ьи ..., Ь„еи З. Пусть 4о б(гпЕ" для любого Аеи Р.
Ймеем СНЕ= 1~с(хе", а следовательно, ф(СНЕ) = Х с(хехр(Х), и, таким образом, (ф(СЬ Е), и) = 2, с(А(ехр Л, 61 ... 6 ) = Х =Хд,7.(й1) ... Х(й.) (п' 1) =Тгие. Следствие 1. Пусть У(й) — универсальная обертывающая ал- гебра для й. Пусть 71 У (й)* -Р У ($)' = 8 (й)' — гомоморфизм, 8 8 8. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 179 сопряженный к каноническому вложению У(з)- У(й). Тогда следующая диаграмма коммутативна: Я(й) У [Р] тг,[ ьь п(9) ~ 8(з)*.
Это только переформулировка предложения 2. Следствие 2. Пусть т — целое число )О. Тогда любой элемент пространства 8 (ч )~ является линейной комбинацией полиномиальных функций на подалгебре Картана 8 вида х ~ТТ(р(х) ), где р — конечномерное линейное представление алгебры Ли По предложению 1 имеет место равенство 8 (5*)"' = =(рг ° ф)(й[Р]н).
Таким образом, Х[Р]тт=спЯ(й) 5 7, п'7, теорема 2 (й)). Поэтому, согласно лемме 3 из гл. Ч!, 5 3, и'4, ф(п [Р]~) совпадает с подпространством векторного й-пространства 8(з"), порожденного множеством ф(со Я(й)) =ь(ТЕЯ(й)). Следовательно, 8 (з*)~ совпадает с подпространством векторного пространства 8 (з*), порожденным множеством (рг„РЬЯН Тт)(Я(й)). Таким образом, если р — конечномерное лииепное представление алгебры Ли й, то для любого х~ 5 имеет место равенство ((ргмоьоТг)(р))(х) =((~~ТТ)(р), — '",) = —, Тг(р(х) ). 3, г1нвариантные многочлены Пусть а — конечномерная алгебра Ли. Сохраняя принятые в п'1 соглашения, отождествим между собой алгебру 8(а'), алгебру 8(а)"8' и алгебру полиномиальных функций на алгебре Ли а.
Через 0(а) для любого ая а обозначим такое дифференцирование алгебры 8(а), что 0(а)х=[а, х] для всех х~ а. Известно (гл. 1, 5 3, и'2), что О является представлением алгебры Ли а в пространстве 8(а). Пусть О'(а) — ограничение эндоморфизма — 80(а) на пространство 8(а*). Тогда О" — яьпедставление алгебры Ли а. Если 1'ец8" (а"), то О'(а)1я 8 (а*) и для хи ..., х„ен а (О' (а) )) (хи ..., х„) = Х ](хь ..., х; и [а, х,], х,+и ..., х„). (1) !~~<а Из формулы (1) легко следует, что О" (а) — дифференцирование алгебры 8(а"1. Инвариантный относительно представления 0 160 Гл.
11Н. РАсщепленные полупРостые АлГеБРы лн э (соотв. 0") алгебры Лн а элемент алгебры 8(я) (соотв. 8(а')) называется инвариантным элементол1 алгебрь1 8(а) (соотв. 8(а")). Лемма 2. Пусть р — конечномерное линейное представление алгебрьс Ли а и гп — целое число з:О. Тогда х ° Тг(р(х) )— инвариантная полиномиальная функция на алгебре Ли а, Положим д(х1, ..., х )=Тг(р(х1) ... р(х )) при хн .., ..., х ~0. Если хееа, то — (0*(х) а) (х1, ..., х„) = Тг(р(х1) ... р(х1 1)[р(х), р(х))р(х1 ы) ... р(х ))= 1<1<ги =Тг(р(х)р(х,) ... р(х )) — Тг(р(х1) ...
р(х )р(х))=О; следовательно, 0*(х) а = О. Пусть й — полилинейная симметрическая форма, определенная равенством 1 ч Ь(х1, ..., х„)= —, т д(х,оь ..., х,1,). ью и '1огда 0'(х)Ь=О и Тг(р(х)")=п(х..... х) для любого хе=а. Лемма 3. Пусть Š— конечномернь1й й-модуль и х 1и Е. Для того чтобы х бь1л инвариантным элемента,ч д-модуля Е, необходимо и достаточно, чтобы ехр(ае).х=х для любого ни,гьпотентного элемента а иэ алгебры Ли й. Очевидно, что условие леммы необходимо.
Предположим теперь, что оно выполнено. Пусть а — нильпотентный элемент алгебры Ли й. Существует такое целое число и, что а" =О. Тогда для любого 1еи й имеет место равенство О=ехр(1ае).х — х=(а х+ —,1 д х+ ... +, 1" ае х, откуда следует, что авх = О. Но алгебра Лн порождается своими нильпотентными элементами (5 4, и' 1, предложение 1), Следовательно, х — инвариантный элемент й-модуля Е. Ч. Т. Д. При произвольном $ ее 61.(й) обозначим через 8 (Е) автоморфизм пространства 8(й), который продолжает автоморфизм $, а через 8'(е) — ограничение на пространство 8(й*) контрагредиентного к 8 (е) автоморфнзма.
Тогда и 8 и 8* — представления группы О1.(й). Если а — нильпотентный элемент алгебры Ли й, то дифференцирование 0(а) локально нильпотентно в алгебре 8(й) и 8(ехрада)=ехр0(а), следовательно, 8" (ехр ад а) = ехр 0' (а). а а. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 18! Предложение 3. !!усть ! — полиномиальная 4ункция на алгебре Ли й, Тогда следующие условия эквивалентны: (1) 7 ч е = ! для всех э ее А п(, (й); (й) ! ч э = ! для всех э ен Ап(о(й); (ш) функция ! инвариантна. Эквивалентность условий (1) и (ш) следует из формулы (2) н леммы 3, Расширив основное поле, получаем, что нз условия (1й) следует условие (й).
Импликация (й)=ь.(1) очевидна. Следует иметь в виду, что, вообще говоря, полниомиальиая функция ! может удовлетворять условиям предложения 3 и не быть инвариантной относительно группы АШ(П) (упражнения 1 и 2). Теоремк 1. Пусть 1(й') — алгебра инвариантных полиномиальных 4ункций на алгебре Ли й. Пусть й 8 (й*) — 8 (1)')— гомоморфиэм ограничения. (1) Отображение ПТ(й ) — иэоморфиэм алгебры Т(6 ) на алгебру 8 (()')~. (й) Пусть !" (й') для любого целого числа п>Π— множество однородных элементов алгебры 1(й*) степени и.
Тогда !" (й*) .— множество линейных комбинаций функций вида х Тг(р(х)"), где р — конечномерное линейное представление алгебры Ли й. (ш) Пусть 1=гд(й). Тогда существует ! алгебраически независимых однородных элементов алгебры /(й*), которые порождают алгебру !(й'). а) Пусть ! е= Т(й*) и и ~ ур. Существует такой автоморфизм ге= АИ1,(й, ))), что е)() =и (5 2, и'2, следствие теоремы 2). Так как функция ! инвариантна относительно автоморфизма э (предложение 3), то 1(!) инвариантна относительно автоморфизма ю.
Следовательно, ! (! (й )) ~ 8(р )~. б) Пусть ! е= Т(й") — такая полиномиальная функция, что !(!)= О. Докажем, что ! =О. Расширив, если нужно, основное поле, можно считать, что поле й алгебраически замкнуто. По предложению 3 функция ! обращается в нуль на подалгебрах э(Ц для всех автоморфизмов е ее Ап(,(й).
Следовательно, полиномиальная функция ! обращается в нуль на любой подалгебре Картана алгебры Ли й (гл. Ъ'Н, 5 3, и'2, теорема 1) и, в частности, на множестве регулярных элементов алгебры Ли й. Но зто множество плотно в пространстве й в топологии Зарисского (гл. Ъ'11, $ 2„п'2). в) Пусть и — целое число ) О и !.' — множество линейных комбинаций функций вида х -.Тг(р(х)") на й, где р — конечно- мерное линейное представление алгебры Ли й. По лемме 2 имеет место включение !."~ !" (й').
Следовательно, ! (!.") с ! (!" (й*)) с: 8" ())*)и'. 1Ве Гл. угн, РАсщеплГнные полупРостые АлГеБРы ли г Согласно следствию 2 предложения 2, 8" (9') с:г'(1."). Значит, г' (1" (д')) = 8" (Ъ*), что доказывает утверждение (!), а также равенство г'(1,")=г(1" (д*)), откуда ввиду б) следует, что 1."= =1" (д"). Таким образом, мы доказали (й). г) Утверждение (1й) следует из утверждения (!) и теоремы 3 гл. Ч, Я 5, п' 3.
Следствие 1. Предположим, что алгебра Ли д просто, Пусть т,, ..., тг — показатели группы Вейля алгебры Ли д. Тогда существуют однородные элелгенты Рь ..., Р, алгебры 1(д') степенеи и,+1, ..., и,+1, которые алгебраически независимы и порождают алгебру 1(д*). Доказательство следует из теоремы 2 (!) н из предложения 3 гл.
Ч, 5 6, п'2. Следствие 2. Пусть  — базис системы корней И, И+ (соотв. гг' ) — множество положительных (соотв. отрицательных) корней расщепленной алгебры Ли (д, Гг) относительно базиса В, и „= — ~ д', и = ~, д", 8 (~г) — симметрическая алгебра сгроа =я+ аеестранства 1й 1 — идеал алгебры 8(д), порожденный пэ () и (!) 8(д)=8(д)91 (й) Пусть 1 — голгоморфизм алгебры 8(д) на алгебру 8(гг), определенный !гкаэаннылг выше разложением алгебры 8 (д). Пусть 1(д) — множество инвариантных элементов алгебрьг 8(д), а 8 (д)гт — множество инвариантных относительно (Р" элементов алгебры 8(!1). Тогда отображение 1)1(д) — изоморфизм алгебры 1(д) на алгебру 8(11)гт. Утверждение (!) очевидно, Форма Киллинга определяет изоморфизм векторного пространства д" на векторное пространство д, который продолжается до изоморфизма $ д-модуля 8(д*) на д-модуль 8(д).
При этом е(1(д')) =1(д). Ортогональное дополнение к подпространству ~г относительно формы Киллинга совпадает с подпространством и+ 9п 5 2, и' 2, предложение 1). Если отождествить пространство !1' с ортогональным к и+ + и подпространством пространства д', то д(д*) = 5, а следовательно, е(8(ч'))=8(ч) и е(8(г") ) =8(гг) . Наконец, ~ '(1) является множеством полиномиальных функций на алгебре Ли д, обращающихся в нуль на подалгебре Картана г). Это доказывает„ что отображение $ переводит гомоморфизм 1, определенный в теореме 1, в гомоморфизм 1, определенный в следствии 2, Таким образом, утверждение (и) следует из теоремы 1 (!).
ПРедлож~ние 4. Пусть а — полупростап алгебра Ли, 1 — ее ранг и 1 (соотв. 1') — множество элементов алгебры 8(а*) (соотв, 3 % 8. СИММЕТРНЧЕГКИЕ ИНВ»РИЛПТЫ 183 8 (а)), инвариантных относительно представления алгебры Ли а, полученного продолжением пригогдиигиного представления. Пусть 2 — центр универсальной обгртывающгй алгебры алгебры Ли а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
